人教版数学九年级上册四点共圆,解题妙不可言

1、人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言四点共圆是一种重要的解题方法，熟练判断四点共圆，并灵活运用圆的相关性质，能有效进 行解题.1.对角互补的四边形四点共圆证线段线段例 1 如图 1，在四边形 abcd 中，a=bcd=90，bc=cd=2 求证：ae=ce； （2）若 tand=3，求 ab 的长 （2018 年北京石景山区模拟题）10， ce ad 于点 e 分析：根据a=bcd=90，利用对角互补的四边形共圆，作出这个圆，从而把问题转化为 圆的知识，在圆的背景下求解，可以帮助同学们更容易找到求解思路.解：如图 1，因为a+bcd=180,

2、所以四边形 abcd 四点共圆，延长 ce 交圆于点 f，连接 af， 因为a=aec=90，所以 abcf，所以 bc=af,因为 bc=cd，所以 af=cd，因为eaf=ecd， f=d， 所以aefced，所以 ae=ce.（2）略点评：对角互补的四边形内接于圆，借助四点共圆，可以创造出更多解题所必需的条件，如 夹在两平行弦之间的弦相等，为三角形的全等提供“s”元素.2.对角互补的四边形四点共圆综合题例 2 如图 2，四边形 abcd 中，ac，bd 是它的对角线，adc=abc=90，bcd 是锐角.（1）若 bd=bc，求证：sinbcd=bdac；（2）若 ab=bc=4,ad+

3、cd=6，求：bdac的值.（3）若 bd=cd，,ab=6，bc=8。求：sinbcd 的值.分析：根据adc=abc=90，可以判定四边形 abcd 是满足四点共圆，且直径为 ac，作出 直径为 ac 的圆，就把普通的计算转化为圆的基本计算，充分利用圆的知识使得计算更加简 便，提高计算的效率.解：（1）因为adc=abc=90，所以四点 a,b,c,d 都在直径为 ac 的圆上，如图 2，因为 bd=bc，所以bcd=bdc，因为bac=bdc，所以bac=bcd，在直角三角形 abc 中，bc bdsinbac=，所以 sinbcd= ； ac ac（2）如图 3，因为 ab=bc=4，

4、所以 ac=42，延长 dc 到点 e，使得 ce=ad，连接 be，根据四边形的外角等于内对角，所以bce=bad，所以badbce 所以 bd=be， abd=cbe，因为abc=90，ad+cd=6，所以dbe=90，de=6，所以 bd=3 2 ，1 / 42人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言所以bd 3 2 3= =ac 4 2 4.（3）如图 4，因为 bd=cd，作直径 df，交 bc 于点 e，连接 bf，则 bedf，dbf=90，be=ec=4, 因为 ab=6，bc=8，所以 ac=df=10，易证deb bef 所以 be =de ef,所以 16=（10-e

5、f）ef,整理，得ef2-10ef+16=0,解得 ef=2 或 ef=8(（舍去），当 ef=2 时，bf=25,所以 sinbcd=sinf=be 4 2 5= = .bf 2 5 5点评：把一般几何问题转化为四点共圆问题，充分利用圆周角定理，垂径定理，把问题顺利 求解，且思路顺畅，是值得熟练掌握的好方法.3.圆定义共圆和同底同侧等角的三角形，四顶点共圆，探究综合题例 3 如图 5，abc 和ade 都是等边三角形， ade 绕点 a 旋转（保持点 d 在abc 的内部），连接 bd，ce.（1） 求证：bd=ce；（2） 当 ab=4,ad=2, dec=60时，求 bd 的长；（3）

6、设射线 bd 和射线 ce 相交于点 q，连接 qa，直接写出旋转过程中，qd,qe,qa 之间的数 量关系.分析：第一问：这是常规性的旋转问题，只要牢牢抓住旋转的全等性，借助三角形的全等结论就顺 利得出.第二问：解决起来就需要多方面的思考：一是平行线的判定问题，二是三点共线问题，三是 三点共圆问题，四是三角形的相似问题，五是一元二次方程的根的问题，都需要缜密思考， 规范解答，和谐思考才能顺利得解.第三问：看似简单，但是要真正找到三者的数量关系，还需要动一番脑筋，特别是利用同底 同侧对等角的三角形，则四点共圆，把问题转化成圆的相关知识解决，使得解题流畅，简洁， 这里的分类思想也发挥着重要的作用

7、.解：（1）如图 5，由abc 和ade 都是等边三角形，所以 ab=ac,ad=ae，bad+dac=60, cae+dac=60,所以bad=cae，所以badcae2 / 4人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言所以 bd=ce；（2）根据（1）知道：bda=cea， 因为dec=60，所以cea=bda=120，所以 ade+bda=180，所以 b,d,e 三点共线，设点 g 是 ab 的中点，则 ag=ad=ae=de=2,所以点 g,d,e 在以 a 为圆心，半径为 2 的圆上，延长 ga 交圆于点 f，连接 dg,ef，如图 6，易证bgdbef 所以bg bd=be b

8、f,所以 bg bf =bd be,所以 12=bd(bd+2),整理，得bd 2+2bd-12=0,解得 bd=-1+13或 bd=-1-13(（舍去），所以bd 的长为13-1；（3）当点 d 在三点 b,d,e 共线时的左边时，如图 7，qd,qe,qa 之间的数量关系是： qd=qa+qe.理由如下：根据（1）知道：abd=ace，所以qbc+qcb=60-abd +60+ace=120，所以bqc=60，因为dae=60，所以bqc=dae，所以 a,d,e,q 四点共圆，延长 aq 到点 f，使得 qf=qe,连接 ef，则fqe=ade=60，所以qef 是等边三角形，所以dqe

9、=afe=60，fae=qde,ef=qe，所以faeqde 所以 af=qd，所以 qd=qa+qf=qa+qe.当点 d 在三点 b,d,e 共线时的右边时，如图 8，qd,qe,qa 之间的数量关系是： qa=qd+qe.请同学们仿照上述证明，结合图形自己给出证明.点评：四点共圆是一种非常有效的解题方法，希望同学们能尽量熟练掌握，不仅能开阔自己的视野，提高解题的效率，更重要的是丰富自己的知识储备，不受知识的局限，让自己的数3 / 4人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言学解题游刃有余，提高自己数学解题能力.4.同底同侧等角的三角形，四顶点共圆，判定四边形的形状例 4 如图 9，已知

10、abc 和ade 都是等边三角形，点 d 在边 bc 上，点 e 在边 ad 的右侧， 连接 ce（1） 求证：ace=60；（2） 在边 ab 上取一点 f，使 bf=bd，联结 df、ef求证：四边形 cdfe 是等腰梯形 分析：第一问：充分利用三角形的全等，结论就顺利得到.第二问：证明抓住两个关键点，一是证明 df=ce,二是证明 cdef，利用好等边三角形的性 质，四点共圆的判定方法，可以巧妙破解.解：（1）由abc 和ade 都是等边三角形，所以 ab=ac,ad=ae，bad+dac=60, cae+dac=60,所以bad=cae，所以badcae所以abd=ace=60；（2）由 bf=bd，abd=60，所以bfd 是等边三角形，所以 bd=df=ce.因