平方差与完全平方专题含问题详解

1、实用文档乘法公式的复习、复习 :2 2 2 2 2 2 2 2(a+b)(a-b)=a 2-b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a 3 b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化， x y y x x2 y2 符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2 指数变化， x2 y2 x2 y2 x4 y422 系数变化， 2a b 2a b 4a2 b2 换式变化， xy z m xy z m22xy z m22xy z m z m2 2 2 2x y z

2、zm zm m2 2 2 2x y z 2zm m 增项变化， x y z x y z22x y z2x y x y z2 2 2x xy xy y z2 2 2x 2xy y z22 连用公式变化， x y x y x2 y22 2 2 2x y x y44xy 逆用公式变化， x y z 2 x y z 2x y z x y z x y z x y z2x 2y 2z4xy 4xz例 1已知 a b 2 ，22ab 1，求 a 2 b 2的值。实用文档解： (a b)2 a2 2ab b2a2 b2 =(a b)2 2ab a b 2，ab 1 a2 b2=22 2 1 2例 2已知 a

3、b 8，ab 2，求 (a b)2的值。22 2 22 2解： (a b)2a22ab b2(a b)2a22ab b22 2 2 2 (a b)2 (a b)2 4ab (a b)2 4ab=(a b)222 a b 8， ab 2 (a b)2 82 4 2 562例 3：计算 19992-2000 1998解析此题中 2000=1999+1， 1998=1999-1 ，正好符合平方差公式。解： 19992-2000 1998 =1999 2-(1999+1)( 1999-1 )2 2 2 2 2=19992- ( 19992-1 2)=19992-1999 2+1 =1例 4：已知 a+

4、b=2，ab=1，求 a2+b2和 (a-b) 2的值。解析此题可用完全平方公式的变形得解。2 2 2解： a2+b2=(a+b) 2-2ab=4-2=222( a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5：已知 x-y=2 ， y-z=2 ， x+z=14 。求 x2-z 2的值。解析此题若想根据现有条件求出x、y、z 的值，比较麻烦，考虑到 x2-z 2是由 x+z和 x-z 的积得来的，所以只要求出 x-z 的值即可。22解：因为 x-y=2 ， y-z=2 ，将两式相加得 x-z=4 ，所以 x2-z 2=（ x+z ）（x-z）=14 4=56。例 6：判断（ 2+1）（2

5、2+1）（24+1）（ 22048+1）+1 的个位数字是几？解析 此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案， 故有一定的规律可循。 观察到 1=（ 2-1 ）和上式可构成循环平方差。解：（2+1）（22+1）（ 24+1）（ 22048+1） +12 4 2048= （2-1 ）（ 22+1）（ 24+1）（ 22048+1）+1=24096实用文档=161024因为当一个数的个位数字是 6 的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为 6。例 7运用公式简便计算22（ 1） 1032（2）19822222解：（1） 1032100321002210033210000

6、6009106092222（ 2） 1982200222002220022240000800439204例 8 计算1） a 4b 3c a 4b 3c（ 2） 3x y 2 3x y 2解：（ 1）原式a3c4ba 3c4ba3c 24b 2a26ac 9c2 16b22）原式3xy 23xy 29x2y 24y 49x2y24y4例 9解下列各式1)已知2)已知3)4)分析：a2 b2 13，ab 6，求 a b 2， a b 2 的值。a b 2 7， a b 2 4，求 a2 b2，ab 的值。22a2 b2 ab 的值。a a 1 a2 b 2，求11 x3 ，求 x4 的值。xx在

7、公式 a b 2 a2 b2 2ab中，如果把 a b，a2 b2和 ab 分别看作是一个整体，则公已知已知式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。22解：（1） a2 b2 13， ab 6a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 2522（ 2） a b 7 ， a b 422a 2ab b 7 222a b a b 2ab 13 2 6 122a 2ab b 4 得 2 a2 b2 11，即 a2 b2 11 得 4 ab 3，即 ab 3423）由 a a 1 a2 b 2实用文档22ab2ab 1 a2 b2 2ab 1 a b 2 1 2 214）由 x 1x3 ，得 x

8、 1xx9即 x2 12 2 9x2x2 12 11xx2 x1x121即 x4 14 2 121 x14 119x例 10 四个连续自然数的乘积加上 1，一定是平方数吗？为什么？2分析：由于 1 2 3 4 1 25 5222 3 4 5 1 121 11223 4 5 6 1 361 192 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设 n，n 1，n 2，n 3 是四个连续自然数n n 1 n 2 n 3 1 n n 3 n 1 n 2 1222n 3n 2 n 3n 12 2 2 2n 3n n 3n 2 1 n 3n 1n是整数， n 2，3n都是整数n2 3n 1 一

9、定是整数2n2 3n 1 是一个平方数四个连续整数的积与 1 的和必是一个完全平方数。2 2 2例 11计算（1） x2 x 1 2 （2） 3mn p 22 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2解：（ 1） x x 1 x x 1 2 x x 2 x 1 2 x 1 x x 1 2x 2x 2x 432x 2x 3x 2x 12 2 2 2 2 2 2（2） 3mn p 3m n p 23mn 2 3m p 2n p 9m n p 6mn 6mp 2np 分析：两数和的平方的推广a b c 2 a b c 2 a b 2 2 a b c c2 a2 2ab b2 2ac 2bc c22

10、 2 2 2 2 2 2a b c 2ab 2bc 2ac即 a b c a b c 2ab 2bc 2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的 2 倍。二、乘法公式的用法（一）、套用 : 这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉， 准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。实用文档22例 1. 计算： 5x2 3y2 5x2 3y2 解：原式 5x23y2 25x4 9y4（二）、连用 :连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例 2. 计算： 1 a a 1 a2 1 a4 1解：原式 1 a2 1 a2 1 a41 a4

11、1 a41 a8例 3. 计算： 3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 1解：原式 2y 5z 3x 1 2y 5z 3x 1222y 5z 3x 14y2 9x2 25z2 20yz 6x 1三、逆用 : 学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出 公式的逆向形式，并运用其解决问题。22例 4. 计算： 5a 7b 8c 5a 7b 8c解：原式 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c10a 14b 16c140ab 160ac四、变用 : 题目变形后运用公式解题。例 5. 计算： x y 2z x y 6z解：原式 x y 2z 4

12、z x y 2z 4z22x y 2z 4zx2 y2 12z2 2xy 4xz 4yz五、活用 : 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形 或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：实用文档2221. ab2aba2b22222. ab2aba2b22 2 2 23. a ba b2 a2 b2224. a ba b4ab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。 例 6. 已知 a b 4，ab 5，求 a2 b2 的值。解： a2 b2 a b 2ab 42 2 5 2622 例 7. 计算： a b c d b c d a解：

13、原式 b c a d b c a d2 b c a d2 2 2 22a2 2b2 2c2 2d2 4bc 4ad例 8. 已知实数 x、y、z 满足 x y 5，z2 xy y 9 ，那么 x 2y 3z （ ）解：由两个完全平方公式得： ab 1 a b a b4从而 z2 1 52 x y y 9425 1 25 2y y 944 y2 6y 9 y2 6y 92 y3 z2 y 3 0 z 0， y 3 x 2 x 2y 3z 2 2 3 0 8实用文档三、学习乘法公式应注意的问题(一) 、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”例1 计算(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本题两

14、个因式中 “-5”相同，“2x2”符号相反， 因而“-5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2 中的 a，而“ 2x2”则是公式中的 b解：原式 =(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5) 2-(2 x2) 2=25-4 x422例 2 计算(- a2+4b)2分析：运用公式 (a+b)2=a2+2ab+b2时，“ - a2”就是公式中的 a，“ 4b”就是公式中的 b； 若将题目变形为 (4 b- a2) 2时，则“ 4b”是公式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b(解略)(二) 、注意为使用公式创造条件例3 计算(2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析

15、：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x”、“ 5”两项同号，y”、“ z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式解：原式 = (2 x+5)+( y-z) (2 x+5)-( y-z) =(2x+5)2-( y- z) 2=422x2+20x+25- y+2yz-z2例4 计算( a-1) 2( a2+a+1) 2( a6+a3+1) 2分析： 若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则， 则可利用 乘法公式，使运算简便解：2 6 3 2原式 =( a-1)( a2+a+1)( a6+a3+1) 23 6 3 2=( a -1)(

16、a +a +1)9 2 18 9=( a -1) =a -2a +12 4 8 例5 计算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) 分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项( 2-1 )，则可运用公式， 使问题化繁为简解：248原式 =(2-1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)22 4 8=(22-1)(22+1)(2 4+1)(2 8+1)=(24-1)(24+1)(2 8+1)=(28-1 )( 28+1)实用文档=216-1(三) 、注意公式的推广计算多项式的平方，由 ( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推广得到： 2222( a+b+c)

17、 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的 2 倍 例 6 计算(2 x+y-3) 2解：原式 =(2 x) 2+y2+(-3) 2+22xy+22x(-3)+2 y(-3)22=4x +y +9+4xy -12 x-6 y(四) 、注意公式的变换，灵活运用变形公式3 3 2 2例 7 (1) 已知 x+y=10，x3+y3=100，求 x2+y2 的值；2(2)已知： x+2y=7，xy=6，求( x-2y) 2的值分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2 xy，3 3 3 2 2x3+y

18、3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-( x- y) 2 =4xy，问题则十分简单解：(1) x3+y3=(x+y) 3-3 xy( x+y) ，将已知条件代入得 100=103-3 xy 10，2 2 2 2 xy=30故 x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2 30=402 2 2(2)( x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8 6=12 2 2例 8 计算( a+b+c) 2+( a+b- c) 2+( a- b+c)+( b-a+c)2分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b) 2+( a- b) 2=2(a2+b2) ，因而问

19、题容易解决解：2222原式 =( a+b)+ c 2+( a+b)- c 2+ c+( a- b) 2+ c-( a-b) 22 2 2 2=2( a+b) 2+c2+2 c2+( a- b)22 2 2=2(a+b) 2+( a- b) 2+4 c2=4a2+4b2+4c2(五) 、注意乘法公式的逆运用22例 9 计算( a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c) 2分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简 便得多解：原式 =( a-2 b+3c)+( a+2b-3 c)( a-2 b+3c)-( a+2b-3 c) =2 a(-4 b+6c)=-8

20、ab+12ac例 10 计算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5b) 2分析： 此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式， 则运实用文档算更为简便解：原式 =(2 a+3b) 2+2(2 a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b) 22=(2 a+3b)+(4 a-5 b) 2 =(6a-2b)2=36a2-24 ab+4b2四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征 这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘， 且在这四项中有两项完全相同， 另两项是互为相反数； 等号右边是乘式中两项的平

21、方差， 且 是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公 式（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母 a、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义 的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算（x+2y 3z）2，若视 x+2y 为公式中的 a， 3z 为 b，则就可用（ a b）2=a22ab+b2来解了。（三）、熟悉常见的几种变化 有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特 征，合理调整变化，使其满足公式特点常见的几种变化是：1、位置变化 如（ 3x+5y）（ 5y3x）交换 3x 和 5y 的位置后即可

22、用平方差公式计算了2、符号变化 如（ 2m7n）（ 2m 7n）变为（ 2m+7n）（2m7n）后就可用平方差公 式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化 如 98102，992，912 等分别变为（ 1002）（100+2），（1001）2，（90+1） 后就能够用乘法公式加以解答了4、系数变化 如（4m+n ）（2m n ）变为 2（2m+n ）（2m n ）后即可用平方差公式2 4 4 4进行计算了5、项数变化 如（ x+3y+2z）（ x 3y+6z）变为（ x+3y+4z 2z）（ x 3y+4z+2z）后再适 当分组就可以用乘法公式来解了四）、注意公式的灵活运用实用文

23、档还要注意逆向（从右到左） 运用如有些题目往往可用不同的公式来解， 此时要选择最恰当的公式以使计算更简便 如计算 （a2+1）2（a21）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步 计算，则非常简便即原式 = （a2+1）（a21） 2=（a41）2=a82a4+11111即原式=（1 1 ）（1+ 1 ）（1 1 ）（ 1+ 1 ）2233111 1 ）（ 1+ 1 ）10 10322233计算（ 1 212 ）（ 1 312 ）（1 412 ）（ 1 912 ）（1 1102 ），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难， 而且容易出错则可巧解本题若注意到各因式均

24、为平方差的形式而逆用平方差公式，对数学公式只会顺向 （从左到右） 运用是远远不够的，9 11 = 1 11 = 1110 10 2 10 20有时有些问题不能直接用乘法公式解决， 而要用到乘法公式的变式， 乘法公式的变式主 要有： a2+b2=（a+b） 22ab，a2+b2=（ab）2+2ab 等用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效如已知 m+n=7，mn=18，求 m2+n2，m2mn+ n2 的值 面对这样的问题就可用上述变式来解，2 2 2 2即 m2+n2=（m+n）2 2mn=722（ 18）=49+36=85，2 2 2 2m2mn+ n2= （m+n）2 3mn=72 3（

25、 18） =103下列各题，难不倒你吧？！1、若 a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12 ，（2）（a 1 ）2 的值 aa2a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1 的末位数字 （答案： 1. （ 1）23；（2）212. 6 ）五、乘法公式应用的五个层次2 2 2 2乘法公式： （a b）（a b）=a 2 b2， （a b）=a 22abb2，2 2 3 3（a b）（a 2ab b2）=a 3b3第一层次正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用例 1 计算实用文档(2)( 2x y)(2x y) 22(2) 原式

26、=( y) 2x( y) 2x=y 2 4 8 16 =（2 2 1）（2 21）（2 4 1）（2 81） 1=216 4x2第二层次逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用例 2 计算22(1)1998 2 19983994 19972；解(1) 原式 =1998221998199719972 =(1998 1997) 2=1第三层次活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有 时根据需要创造条件，灵活应用公式例 3 化简： （2 1）（2 2 1）（2 例 4 计算： （2x 3y 1）（ 2x3y5） 分析仔细观察， 易见两个因式的字母部分与平方差公式相近， 但常数不符

27、 于是可创造 条件“拆”数： 1=2 3，5=23，使用公式巧解 1）（2 81） 1分析直接计算繁琐易错， 注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“ 21”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解2 4 8解原式 =（2 1）（2 1）（2 21）（2 41）（2 81） 1实用文档解原式 =（2x 3y3 2）（ 2x3y32）=（2 3y）（2x 3）（2 3y） （2x 3）=（2 3y） 2 （2x 3）2=9y24x212x12y5第四层次变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如 a2b2=(ab)22ab，a3b3=(ab)33ab(a b)等，则求

28、解十分简单、明快2 2 3 3例 5已知 ab=9，ab=14，求 2a2 2b2和 a3b3的值2 2 2 2解：ab=9，ab=14， 2a22b2=2（a b） 2 2ab=2（9 2 2 14）=106 ，3 3 3 3a3b3=（ab）33ab（a b）=933149=351第五层次综合后用 ：将 （ab）2=a22abb2和（ab）2=a22abb2综合，2 2 2 2 2 2可得 （a b） 2 （a b） 2=2（a 2b2） ； （a b） 2 （a b） 2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷例 6 计算： (2x yz5)(2x yz5) 1 2 1

29、解：原式 = （2x+y-z+5）+（2x-y+z+5）2- （2x+y-z+5）-（2x-y+z+5）442 2 2 2 2=（2x 5） 2（y z） 2=4x220x25y22yzz2六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种(三个)乘法公式：平方差公式： (a+b)(a-b)=a 2-b 2、完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2 ；(a-b) 2=a2-2ab+b 2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设 a、b 都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图 1，两个矩形的面积之和 (即阴影部分的面积) 为 (a

30、+b)(a-b) ，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式 (a+b)(a-b)=a 2-b 2；图 2 中的两个图阴影部分面积分别为 (a+b) 2 与(a-b) 2，通过 面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 与实用文档2 2 2 (a-b) =a -2ab+b 。2、乘法公式的使用技巧： 提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例1、 运用乘法公式计算：2)(-2m-1)2222-(3x) 2=1-9x 2.(1) (-1+3x)(-1-3x) ；解：(1) (-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)

31、=(1-3x)(1+3x)=12 2 2 22) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1) 2= 4m2+4m+1. 改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显例2、 运用乘法公式计算：1)(13a-41b )(- 14b - 3a );22) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)解：( 1) ( 31a- 41b )(-1a1111b - )=(- b+ a )(- b - a )434343=( 14b- 3a )( 4b + 3a )=( 4b)2- ( 3a)4 3 4 3 4 31 2 1 2 1 2 1 24 2 3

32、 2 = 16b2- 9a22(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x22+1/4)实用文档222=(x 解：( 1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=1-1/4) (x 2+1/4)= x 2-1/16. 逆用公式 将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b) ，逆用积的乘方公式，得 anbn=(ab) n, 等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。例3、 计算：21) (x/2+5) 2-(x/2-5)2)(a-1/2)2 2 22(a

33、 2+1/4) 2(a+1/2)解：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5)=(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x10=10x.2) (a-1/2)2 2 22(a 2+1/4) 2 (a+1/2)2 2=(a-1/2)(a 2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2 ) (a+1/2) (a22+1/4)222 4 2 8 4=(a 2-1/4 ) (a2+1/4)2=(a 4-1/16) 2=a8-a 4/8+1/256.合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因 式

34、的前面， 视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组； 再依次用平方差公式与完全平 方公式进行计算。计算：(1)(x+y+1)(1-x-y);2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).2-(x+y)22=1-(x +2xy+y )= 1-x2-2xy-y2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)2 2 2 2 2 = (2x+5) -(y-z) =(4x +20x+25)-(y -2yz+z )2 2 2 2 2 2= 4x 2+20x+25-y 2+2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z

35、2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘 多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将 其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一 . 先分组，再用公式例 1. 计算： (a b c d)( a b c d)简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式(a b c d) 运用加法交换律和结合律变形为 ( b d) (a c)；将另一个整式实用文档( a b c d) 变形为 ( b d) (a c) ，则从其中找出了特点，

36、从而利用平方差公式即 可将其展开。解：原式 ( b d) (a c) b d a c( b d)2 (a c)22 2 2 2 b2 2bd d 2 a2 2ac c2例 2. 计算： 8x y24x y4简析：通过观察、比较，不难发现，数，而且存在相同的倍数关系，若将第一则可利用乘法公式。y解：原式 2 4x4x y42两个多项式中的2二. 先提公因式，再用公式x 的系数成倍数， y 的系数也成倍个多项式中各项提公因数 2 出来，变为 2 4x4，2 4x 222y 32x28三. 先分项，再用公式例 3. 计算： 2x 3y 2 2x 3y 6简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知

37、数的系数着手观察，不难发现， x的系数相同， y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将 2 分解成 4 与 2 的和，将 6 分解成 4 与 2 的和，再分组，则可应用公式展开。解：原式 = (2x 4) (2 3y) 2x 4 2 3y(2x 4)2 2 3y 2224x2 16x 12 12y 9y2四. 先整体展开，再用公式(a 2b) 1 ，再将例 4. 计算： (a 2b)(a 2b 1)简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即实用文档第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。解：原式 (a 2b) (a 2b) 1(a 2b)(a 2b

38、) (a 2b)22a 2 4b2 a 2b五. 先补项，再用公式例 5. 计算： 3 (38 1)(34 1)(32 1)(3 1)简析：由观察整式 (3 1) ，不难发现，若先补上一项 (3 1) ，则可满足平方差公式。 多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。解：原式 3 (38 1)(34 1)(32 1)(3 1)(3 1)23 (38 1)(34 1)(32 1)(32 1)323 (38 1)(34 1)(34 1)323 (38 1)(38 1)323 (316 1)25 31622六 . 先用公式，再展开例 6. 计算：简析：第一个整式11 2 可表示为由简单的变化，可看出整式符合11111111111223344平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。解：原式 11103 1 4 2 5 3 11 9 11 2 2 3 3 4 4 10 10 20七. 乘法公式交替用例 7. 计算： (x z)(x2 2xz z2)(x z)(x2 2xz z2 )实用文档把第二个整式与第三简析： 利用乘法交换律， 把第一个整式和第四个整式结合在一起， 个整式结合，则可利用乘法公式展开。解