初中数学总复习

1、初中数学总复习提纲 第一章实数 重点实数的有关概念及性质，实数的运算 内容提要 一、重要概念 7.绝对值： 代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。 a(a 0) -a(a 0） 常见的非负数有: a (a 0) a2 (a为 切实数） 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为 0。 3倒数：定义：如果两个数的乘积为 1.那么这两个数互为倒数 性质：A.a丰 1/a （土 1） ;B.1/a 中，a丰0;C.0 vav 1 时 1/a 1;a 1 时，1/a v 1;D.积为 1。 4. 相反数：定义：如果两个数的和为 0.那么这两个数互为相反数

2、. 求相反数的公式：a的相反数为-a. 性质：A.a工0时，-a;B.a与-a在数轴上的位置关于原点对称 ；C.两个相反数的和为 0, 商为-1。 5. 数轴： 定义（“三要素”）：具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴 作用：A.直观地比较实数的大小；B.明确体现绝对值意义；C.所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有 的无理数如2都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点 与实数是对应关系。 6. 奇数、偶数、质数、合数（正整数一自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n （ n为自然数） 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的

3、点到原点的距离。 Ia I 0,符号“II”是“非负数”的标志 ； 数a的绝对值只有一个； 处理任何类型的题目，只要其中有“II”出现，其关键一步是去掉“II”符号。 11.科学记数法：N=a 10n （K av 10, n是整数）。（1 ）当N是大于1的数时，n = N的整数位数减去1。 如：3241.563.24156 103 .（2） 当 N是小于1的数时，n = N的第一个有效数字前0的个数. 如:0.00003241563.24156 10 5 12有效数字：从左边第一个不是0的数字起到右边的所有数字止，所有的数字叫这个数的有效数字。如： 0.004015,有效数字是 4,0,1,5

4、. 共四个.又如000401500,有效数字是 4,0,1,5,0,0,共六个. 二、实数的运算 1运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2运算定律（五个：加法交换律，加法结合律；乘法交换律，乘法结合律,乘法对加法的分配律） 1 3运算顺序：高级运算到低级运算，同级运算从左到右（如5+ X 5）,有括号时由小中大。 5 4逆运算：加法与减法互为逆运算，乘法与除法互为逆运算，乘方与开方互为逆运算。 三、应用举例（略） 附：典型例题 1.已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：Ix-a I + I x-b I =b-a. a xb 2.已知：a-b=-2且ab 0 时，an 0；a v 0

5、时, an 0 （n是偶数）， an v 0 (n是奇数) 母也是单项式。如：a、0、-3。 几个单项式的和或差，叫做多项式。 说明：根据除式中有否字母，将整式和分式区别开；根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。 进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。 如， 零指数公式: 负整指数公式: 0 a =1 (a 0) 2 x =x, x = I x I 等。 x 4. 系数与指数 区别与联系：从位置上看；从表示的意义上看 5. 同类项及其合并 条件：字母相同；相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6. 根式 表示方根的代

6、数式叫做根式。 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理_ 注意：从外形上判断；区别：,3、是根式，但不是无理式，是无理数。 7. 各种方根的概念 1平方根：如果一个数的平方等于另一个数，那么这个数叫另一个数的平方根 即：2 a,叫a的平方根记作Ta 2算术平方根：一个正数的平方等于另一个数，这个正数叫另个一数的算术平方根。 a的算术根记作：.a 、运算定律、 乘、 分式的加、减、 分式的性质 基本性质: 符号法则: 二（a a 法则 0, p是正整数） 性质、 除、乘方、开方法则 bm / c、 (说0) a am b a 繁分式：定义; 整式运算法则（去括旦 幕的运算性质： a a ;化简方法

7、（两种） 号、添括号法则） 同底数幕相乘: am an = am n ;同底数幕相除: mn m nm、n mn a十a =a ;幂的乘万：（a ） =a ；积的乘万: n （ab）n = an bn；分式乘方：（空）n 壬（注意：凡是公式都可以倒用） b b 技巧：（匸）p （空）p a b 5.乘法法则：单X单；单X多；多X多。 6 乘法公式：（a b）2 a2 2ab b2 , a （a 0,b 0）（注意：凡是公式都可以 .b 正数a的正的平方根（.a a 0 与“平方根”的区别）; 算术平方根与绝对值 联系：都是非负数，.a2 = I a I 区别：|a|中，a为一切实数；a中，a为

8、非负数。 3 立方根：一个数的立方等于另一个数，这个数叫另个一数的立方根。如 3 a,叫a的立方根记作 需 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 (a+b) ( a-b) =a2b2 2233 （a b） （a ab b ） =a b（注意：凡是公式都可以倒用） 7. 除法法则：单十单；多十单。 8 因式分解：定义；方法：A.提公因式法；B.公式法；C.十字相乘法；D.分组分解法；E.求根公式法。 9 .算术根的性质： I- 2( ： 、2# c , T厂 /T1 a V a = a ； W a) a(a 0)；卞 ab I

9、 a U b (a 0,b 0)；、一 X b 倒用） 10 .根式运算法则：加法法则（合并同类二次根式）；乘、除法法则；分母有理化： A 1 b A.；B. - a .ab1 ；C.F= am. an . b 第三章 方程（组） 重点一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有关应用题（特别是行程、工程问题） 内容提要 、基本概念 1. 方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2. 分类： 4.根与系数顶的关系: x1x2 b ,x1 a c x2 a 逆定理：若x1 x2 m, x1 x2 n，则以 X1,X2为根的一兀二次方程是： x2 mx n 0。 5 .常用等式:

10、 x12 x； (x1 x2)2 2x1x2 2 2 (x1 x2)(x1 x2)4x1x2 整式方程 有理方程Y 方程3c分式方程 -无理方程 一次方程 二次方程 I高次方程 五、分式方程 1 .分式方程 定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。如: 基本思想：分式方程舌为母二:、整式方程 丄1 2x x 32 如何将分式方程化为整式方程？答：去分母T去括号T移项T合并同类项T降幕排列 第1页9 二、解方程的依据一等式性质 1. a=b - a+c=b+c 2. a=b - ac=bc （c 丰 0） 三、解法 1 .一元一次方程的解法：去分母t去括号t移项t合并同类项t 系数化成1t解。

11、2 .二元一次方程组的解法：基本思想：“消元”方法：代入法 加减法 四、一元二次方程 1定义及一般形式：ax2 bx c 0（a 0） 如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式？ 答：去分母t去括号T移项T合并同类项T降幂排列 2 .解法：配方法（注意步骤和推导求根公式） b - b 4ac 八 2 （2）公式法： x12 （b 4ac 0） 2a （3）因式分解法（特征：左边 =0） 说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。对于不规则的方程首先要化成一元二 次方程的标准形式。 3 .根的判别式：b2 4ac 当 b2 4ac 0时，一元二次方程ax2 bx c 0（a0）有两个

12、不相等的实数根.反之亦然. 2 2 当 b 4ac=0时,一元二次方程ax bx c 0（a 0）有两个相等的实数根.反之亦然. 当 b2 4ac v 0时，一元二次方程ax2 bx c 0（a0）没有的实数根.反之亦然. 3x 6 2x 2 基本解法：去分母法换元法（如，7 ） x 1 x 2 验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方程的增根。 （5 ）解分式方程的步骤：去分母T去括号T移项T合并同类项T降幕排列T求出未知数的值T检验 六、无理方程 定义 乘方 基本思想：无理方程I有理方程 基本解法：乘方法（注意技巧！ ！）换元法（例，2- x2 9 17

13、 x2）验根及方法 七、一元一次不等式（组） 重点一元一次不等式的性质、解法 1. 定义：a b、av b、a b、a b、ax v b、ax b、axb a+cb+c ab acbc（c0） ab acbc（cb,bc t ac ab,cd ta+cb+d. 5 .一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6 .一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 7 .应用举例（略） 八 列方程（组）解应用题 概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： 审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。 设元（未知数）

14、。直接未知数间接未知数（往往二者兼用） 般来说，未知数越多，方程越易列，但越 难解。 用含未知数的代数式表示相关的量。 寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出） 程个数是相同的。 ，列方程。一般地，未知数个数与方 解方程及检验。 答案。 综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程） ，在由数学问题的解决 而导致实际问题的解决（列方程、写出答案） 题的关键。 常用的相等关系 1.行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt 相遇问题（同时出 A 甲T 。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用 相遇处 s甲 +s乙 = S

15、AB ； t 甲t乙 追及问题（同时出发） B （相遇处） S甲4 SACS乙 ；七甲（AB）t乙（CB） 币遇处） 若甲出发t小时后，乙才出发, 而后在B处追上甲，则 1 函数中的三个概念：常量，自变量，因变量。 2 表示方法：解析法；列表法；图象法。 3 确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义：使实际问题有意义。 4 画函数图象：列表；描点；连线。 三、几种特殊函数 （定义T图象T性质） 1. 正比例函数 定义：y=kx（k丰0） 或y/x=k 。 图象：直线（过原点） 性质：k0,k0,k0时，开口向上;a0时，在对称轴左侧，右侧 ;a0时，图象位于，y随x;k 小角 3 .三角形的主

16、要线段 讨论：定义XX线的交点一三角形的X心性质 高线中线角平分线中垂线中位线 一般三角形特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形 4 .特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质 5.全等三角形 一般三角形全等的判定（SAS ASA AAS SSS 特殊三角形全等的判定：一般方法专用方法 6 .三角形的面积 一般计算公式性质：等底等高的三角形面积相等。 7 .重要辅助线 中点配中点构成中位线；加倍中线；添加辅助平行线 8.证明方法 直接证法：综合法、分析法 间接证法一反证法：反设归谬结论 证线段相等、角相等常通过证三角形全等 证线段倍分关系：加倍法、折

17、半法 证线段和差关系：延结法、截余法 证面积关系：将面积表示出来第九章解直角三角形 重点解直角三角形 内容提要 一、三角函数 1 .定义：在 Rt ABC中，/ C=Rt/，贝U sinA= ;cosA= ；tgA= ；ctgA= ._ 2、特殊角的三角函数值： 0 30 45 60 90 sin a cos a tg a / ctg a / a )=COS a ； 2. 互余两角的三角函数关系：sin（90 3. 三角函数值随角度变化的关系 5.查三角函数表 二、解直角三角形 1.定义：已知边和角（两个，其中必有一边）T所有未知的边和角。 2.依据：边的关系：a2 b2 c2 角的关系：A+

18、B=90 边角关系：三角函数的定义。 注意：尽量避免使用中间数据和除法。 三、对实际问题的处理 1 . .方位角、象限角: 西 k北 南 3 4 在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 四、应用举例（略） 四、四边形 分类表： 1.一般性质（角） 内角和：360 顺次连结各边中点得平行四边形。 推论1:顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2:顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 外角和：360 2特殊四边形 研究它们的一般方法： 边角对 角 线 中心对称 轴对称 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ；梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 判定步骤：四

19、边形T平行四边形T矩形T正方形 菱形f 对角线的纽带作用： 相等且互相平分 相等 垂直 四边形 互相平分 相平分平行四边形 相等且互相垂直 互相垂直平分 垂直 菱形 相等 互相垂直平分且相等 3 .对称图形 轴对称（定义及性质）；中心对称（定义及性质） 4 有关定理：平行线等分线段定理及其推论1、2 三角形、梯形的中位线定理 平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形） 5 重要辅助线：常连结四边形的对角线 “作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交” ;梯 形中常“平移一腰”、“平移对角线 转化为三角形。 6 作图：任意等分线段。 五、应用举例（略） 第七章 相似形 重点相似

20、三角形的判定和性质 内容提要 一、本早的两套疋理 第一套（比例的有关性质）： 广反比性质: b d a c a c ad be S 更比性质: d Cf a 一或一 b b d b a c d （比例基本定理） a b c d 合比性质: b d a cm a cm a _ 一(b d n 0) 等比性质: b dn b dn b 涉及概念：第四比例项比例中项比的前项、后项，比的内项、外项黄金分割等。 相似基本 定理 二 套: 推论 相 Rt 定理3 定理2 定理1 1. 五种位置关系及判定与性质：（重点：相切） 注意：定理中“对应”二字的含义 ； 平行T相似（比例线段）7平行。 二、相似三角

21、形性质 1.对应线段；2 .对应周长；3 .对应面积。 三、相关作图 作第四比例项；作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线 1. “等积”变“比例”，“比例”找“相似”。 2. 找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。- m，- m（m为中间比） b nd n n dR+r 、 d=R+r R-rdR+rA d=R-r dR -直线与圆相离 d=R -直线与圆相切 dR-直线与圆相交 五、与和正多边形 1. 圆的内接、外切多边形（三角形、四边形） 2. 三角形的外接圆、内切圆及性质 3. 圆的外切四边形、内接四边形的性质 4. 正多边形及计算 中心角： 内角的一半: 360 n 2 （右图） (n 2)180 n 1 2（右图） （解Rt OAM可求出相关元素，Sn、Pn等） 2. 切线的性质（