人教版八年级数学下册竞赛专题18 简单的不定方程、方程组.doc

1、【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】专题 18简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的 方程(组)称为不定方程(组)对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解加上这类限制后，解可能唯一 确定，或只有有限个，或无解这类问题有以下两种基本类型：1 判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2 如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数 解解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需

2、具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、 因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法根据方程(组)的特点进行适当变形，并 灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路例题与求解【例 1】满足19982+m2=19972+n2(0 m n 1 998)的整数对( m ， n )共有_对(全国初中数学联赛试题)解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其中票价为 20 元的 比票价为 10 元的多( )a20 张 b15 张 c10 张 d5 张(“希望杯”邀

3、请赛试题)解题思路：设购买 10 元，15 元，20 元的电影票分别为 x ， y ， z 张根据题意列方程组，整体求出的 z x 值【例 3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14 405，将前 三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 16 970，求此人家中的电话号码(湖北省武汉市竞赛试题)解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手【例 4】一个盒子里装有不多于 200 粒棋子，如果每次 2 粒，3 粒，4 粒或 6 粒地取出，最终盒内都剩一 粒棋子；如果每次 11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路

4、：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解 【例 5】 甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学每人有 31 个核桃，三组的核桃总数是 365 个问：三个小组共有多少名同学?(海峡两岸友谊赛试题)解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手1【例 6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐 22 人，就会余下 1 人；如果开 走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于 32 人)解题思路：设原先租客车 x 辆，开走一辆空

5、车后，每辆车乘坐 k 人，根据题意列出方程求解，注意 排除不符合题设条件的解能力训练a 级1若 a2+4b25 -a +4b + =04，则ab_2已知 4 x -3 y -6 z =0， x +2 y -7 z =0(xyz0)，则2x 2 +3 y 2 +6 z 2 x 2 +5 y 2 +7 z 2的值等于_31998 年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_岁(“希望杯”邀请赛试题)4已知 a ，b ， c 为整数，且a +b =2006 ， c -a =2005 若 a b ，则 a +b +c的最大值为_(全国初中数学竞赛试题)5 x ， y都是质数，则方程 x

6、 +y =1999共有( )a1 组解b2 组解c3 组解d4 组解(北京市竞赛试题)6如图，在高速公路上从 3 千米处开始，每隔4 千米设一个速度限制标志，而且从 10 千米处开始每隔 9 千米设一个测速照相标志，则刚好在19 千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )a32 千米 b37 千米 c55 千米 d90 千米 7给出下列判断：不定方程 2 x +3 y =0的整数解可表示为 x =-3t y =2t(t为整数)不定方程 2 x +4 y =5无整数解不定方程 2 x +3 y =1无整数解其中正确的判断是( )a b c d8小英在邮局买了 10

7、 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 o.20 元的邮票不少于 5 枚， 面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小英最少买了( )枚邮票a17 b18 c19 d20(“五羊杯”邀请赛试题)9小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子共有 99 颗，所用 大小盒子多于 10 个，问这两种盒子各有多少个?22 210中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡问鸡翁、鸡母、 鸡雏各几何?(出自中国数学家张丘建的著作算经)11已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值

8、相等，求长方形的面积(“希望杯”邀请赛试题)12已知 k 是满足 1910 p k p 20105x -4 y =7的整数，并且使二元一次方程组 4 x +5 y =k有整数解问：这样的整数k有多少个？（“华罗庚金杯”竞赛试题）b 级1如果a，b，c满足 a 2 +2b 2 +2c 2 -2 ab -2bc -6c +9 =0，那么 (a+bc)2_(“祖冲之杯”邀请试题)2已知 x ， y为正偶数，且x2 y +xy 2=96 ，则 x +y _3一个四位数与它的四个数字之和等于 1 991这个四位数是_(重庆市竞赛试题)4城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒

9、中，每个盒中只装一 种奖牌每个盒中装奖牌枚数依次是 3，6，9，14，18现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是 金牌枚数的 2 倍则有金牌_枚，银牌_枚，铜牌_枚5若正整数 x ， y 满足 x2 -72 = y 2，则这样的正整数对( x ， y)的个数是( )a1 个 b2 个 c3 个 d4 个6有甲、乙、丙3 种商品，单价均为整数，某人若购甲3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元；若购甲 4 件、 乙 10 件、丙 l 件共需 33 元，则此人购甲、乙、丙各 1 件共需( )元a6 元 b8 元 c9 元 d10 元7在方程组x +y +z =0x 3 +y 3 +z 3 =

10、-36中，x， y， z是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )a6 b3 c多于 6 d少于 3(“希望杯”邀请赛试题)8一个两位数中间插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变 成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个a1 b4 c10 d 超过 109李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看 倒置了(例如，把 1234 元看成了 3412 元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去 350 元之后， 发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?(“五羊杯”邀请赛试题)10某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看 到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。他看到的