奥数数的整除讲义练习含答案教学教材

1、奥数数的整除讲义、练习含答案精品文档数的整除（ 1）性质、特征、奇偶性【知识要点】：整除性质： （1）如果数 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和（ a+b） 或差（ a b）也能被 c 整除。（2）如果数 a能被自然数 b 整除，自然数 b 能被自然数 c 整除，则 数 a 必能被数 c 整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么， 它们的积也能被这个数整除。（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数 能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整 除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征： （ 1）若一个数的末两位数能被 4（

2、或 25）整除，则这个 数能被 4（或 25）整除。（ 2）若一个数的末三位数能被 8（或 125）整除，则这个数能被 8（或 125）整除。（ 3）若一个数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，则这个数能被 3（或 9）整除。（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被 11 整除。（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示 的数之差（大数减小数）能被 7（或 13）整除，则这个数能被 7（或 13）整除。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档奇偶性：（ 1）奇数奇数 =偶数（ 2）偶数偶数 =偶数（ 3）奇数 偶数=奇数（ 4

3、）奇数奇数 =奇数（ 5）偶数偶数 =偶数（ 6）奇数 偶数=偶数（ 7）奇数奇数 =奇数（ 8）【典型例题】例 1 ：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？例 2：1 200这 200个自然数中，能被 6或 8整除的数共有多少个？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档例 3 ：任意取出 1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？例 4 ：有“1”，2“”，3“”，4“”四张卡片，每次取出三张组成三位数， 其中偶数有多少个？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档精英班】【竞赛班】例 6：某市举办小学生数学竞赛，共

4、20 道题，评分标准 是：答对一题给 5分，不答一题给 1分，答错一题倒扣 1 分，如果 1999人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【课后分层练习】 A 组：入门级1、判断 306371 能否被 7 整除？能否被 13 整除？2、abcabc 能否被 7、11 和 13 整除 ?收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档3、六位数 7E36F5 是 1375 的倍数，求这个六位数。4、已知 108971能被 13 整除，求 中的数收集于网络，如有侵权请联系管理员删除7 个学生向后转，A 代表多少？精品文档5、有 8 个学生都面向南站成一排，每

5、次只有 最少要做多少次才能使 8 个学生都面向北？B组：进阶级1、有一个四位数 3AA1 ，它能被 9 整除，那么数收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2、一个一百位数由 1个 1，2个 2，3个 3，4个 4，5个 5，6个 6，7 个 7，及 72个 0组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？3、某市举办小学生数学竞赛，共 30 道题，评分标准是：基础分 15 分，答对一题给 5分，不答一题给 1分，答错一题倒扣 1 分，如果 199 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档4、已知 108971 能被 13 整除，求中的数。C组：挑

6、战级1、能不能将从 1 到 10 的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之 和都能被 3 整除？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为3、左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房 间都有通向任何一个邻室的门。有人想从某个房间开始，依次不 重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档【典型例题】例 1 ：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是 1

7、7 的倍数的数中最大的为 175=85(17 6=102) .于是所求数的前两位数字为 85.因为 8+5=13，故所求数的个 位数字为 2、5、8 时，该数能被 3 整除，为使该数最大，其个位数字 应为 8.最大三位数是 858.例 2：1 200这 200个自然数中，能被 6或 8整除的数共有多少个？ 解： 1 200中，能被 6 整除的数共有 33个( 2006=33)，能被 8 整除的数共有 25 个( 2008=25) .但 6， 8=24，20024=88， 即 1200中，有 8个数既被 6 整除，又被 8整除。故总共有： 33+25 8=50。例 3：任意取出 1998 个连续

8、自然数，它们的总和是奇数还是偶数？ 解：任意取出的 1998 个连续自然数，其中奇数、偶数各占一半，即 999个奇数和 999个偶数。 999 个奇数的和是奇数， 999 个偶数的和是 偶数，奇数加上偶数和为奇数，所以它们的和是奇数。例 4 ：有“1 ”，2“”，3“”，4“”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其 中偶数有多少个？解：组成的三位数个位数字只能是 2或 4两种情况，若个位数字是 2，百位、十位数字可从余下的数字中取，这样可组成32=6(个)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档三位偶数；若个位数字是 4，同样也可以组成 6 个三位偶数。这样总 共 12 个精英班】 解：根据

9、能被 7整除的数的特征， 555555与 999999都能被 7因为上式中等号左边 的数与等号右边第一个数都能被 7 整除，所以等号右边第二个 数也能被 7 整除，推知 5599 能被 7 整除。根据能被 7 整除的 数的特征， 99 - 55=44 也应能被 7 整除。由 44 能被 7 整 除，易知内应是 6。【竞赛班】例 6：某市举办小学生数学竞赛，共 20 道题，评分标准是：答 对一题给 5 分，不答一题给 1 分，答错一题倒扣 1 分，如果 1999人参赛， 问参赛同学的总分是奇数还是偶数？解：对于每个学生来说， 20 道题都答对，共得 520=100分（偶数）。若 该学生答错一题，

10、应从 100分中扣（ 5+1=6）分，无论他答错多少道题， 扣分的总数应是 6 的倍数，即扣分的总数也是偶数， 100分中扣除偶数分 仍得偶数分；同样若他不答一题，应从 100分中扣除（ 51=4）分，无论 他不答多少道题，扣分的总数应是 4 的倍数，即扣分的总数也是偶数，所收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档以 100 分中减去偶数仍得偶数，每个学生得分数是偶数，那么无论有多少 人参加数学竞赛，学生得分的总数和一定是偶数。【课后分层练习】A组：入门级 1、判断 306371能否被 7 整除？能否被 13整除？解：因为 371-306=65，65是 13的倍数，不是 7的倍数，所以 3

11、06371能 被 13 整除，不能被 7 整除。2、abcabc 能否被 7、11和 13整除?3、六位数 7E36F5 是 1375 的倍数，求这个六位数。解：因为 1375=55511=12511，根据能被 125 整除数的特征，这 个数的末三位能被 125整除，可知道 F=2，又因为这个数是 11 的倍 数，所以 7+3+2（ E+6+5） 1E是 11的倍数，那么 E=1.所以这 个六位数是 713625.4、已知 108971能被 13整除，求 中的数。解： 108-971=1008- 971+0=37+0。上式的个位数是 7，若是 13的倍数，则必是 13的 9倍，由 139- 3

12、7=80，推知 中的数是 8收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档5、有 8 个学生都面向南站成一排，每次只有 7 个学生向后转，最少 要做多少次才能使 8 个学生都面向北？ 解：对于每个人只要向后转奇数次，就能面向北。由于每一轮恰有 7 个学生向后转， 8 个学生向后转的次数总和为 78=56 （次）。因此最 少要做 567=8（次）才能使 8 个学生都面向北。B组：进阶级1、有一个四位数 3AA1 ，它能被 9整除，那么数 A 代表多少？ 解： 3+A+A+1=4+2A ，根据能被 9整除数的特征， 4+2A 是 9的倍 数。因为 4+2A 是偶数，所以 4+2A=18 ，A=7.2

13、、一个一百位数由 1个1，2个2，3个3，4个4，5个 5，6个 6，7 个 7，及 72个 0组成，问这个百位自然数有可能是完全平方数吗？ 解：任何一个自然数的平方除以 3都余 1或 0.而这个一百位数的数字 和是 140，140除以 3余 2，所以这个一百位数不可能是完全平方数。3、某市举办小学生数学竞赛，共 30 道题，评分标准是：基础分 15 分，答对一题给 5分，不答一题给 1分，答错一题倒扣 1 分，如果 199 人参赛，问参赛同学的总分是奇数还是偶数？ 解：仿照例 6：这 199 位同学的得分总分是奇数。4、已知 108971 能被 13 整除，求中的数。解： 108-971=1

14、008- 971+0=37+0。上式的个位数是 7，若是 13的倍数，则必是 13的 9倍，由 139- 37=80，推知 中的数是 8C组：挑战级收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1、能不能将从 1到 10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和 都能被 3 整除？ 解 ： 10 个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用 反证法。假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一 组共有 5组，每组的两数之和都能被 3 整除，推知 1 10的和也应能 被 3 整除。实际上， 1 10的和等于 55，不能被 3 整除。这个矛盾说 明假设不成立，所以题目的要求不能实现。2、对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？为什么？解：因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和 加上或减去那个数的 2 倍，因此总和的奇偶性没有改变。原来九个数 的总和为 1+2+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇 数，与右上表九个数的总和是 4