初中数学一题多变一题多解(五)

1、一题多解，一题多变（五）原题条件或结论的变化所谓条件或结论的变化，就是对某一问题的条件或结论进行变化探讨，并针对问题的内涵与外延进行深入与拓展，从而得到一类变式题组。通过对问题的分析解决，使我们掌握某类问 题的题型结构，深入认识问题的本质，提高解题能力。例1求证：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。变式 1 求证：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。变式 2 求证：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。变式 3 求证：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。变式 4 顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？变式 5 顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？变式

2、6 顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化沟通了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生 的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣。一、几何图形形状的变化如图 1，分别以 rt abc 的三边为边向外作三个正方形，其面积分别为 s 、s 、s之间的关系是1 23s 、s 、s 1 23，则as1s3cs2bas1s3cs2bas1s3cs2b图 1图 2图 3变式 1：如图 2，如果以 rtdabc 的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别为s 、s 、s 1 23，则s 、s 、s 1

3、 23之间的关系是变式 2 ：如图 3 ，如果以 rt dabc 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别为s 、s 、s ，则 s 、s 、s 1 2 3 1 23之间的关系是变式 3：如果以 rtdabc 的三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为s 、s 、s 1 23，为使s 、s 、s 1 23之间仍具有上述这种关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论。变式 4：如图4，梯形abcd 中, ab / dc , adc +bcd =90,且dc =2 ab, 分别以da 、ab、bc为边向梯形外作正方形 ，其面积分别为 s 、s 、s ，则 s 、s 、s1 2 3 1 2之间的

4、关系是3s1s2a bs3s1as2bs3s1as2bs3de cdcdc图 4图 5图 6变式5：如图5，梯形abcd中, ab / dc , adc +bcd =90,且dc =2 ab, 分别以 da、ab、bc为边向梯形外作正三角形，其面积分别为s 、s 、s ，则 s 、s 、s1 2 3 1 2之间的关系是变式6：如图6，梯形abcd中, ab / dc , adc +bcd =90,且dc =2 ab, 分别以3da、ab、bc为直径向梯形外作半圆，其面积分别为s 、s 、s ，则 s 、s 、s1 2 3 1 23之间的关系是上述题组设置由易到难，层次分明，把学生的思维逐渐引向

5、深入。这样的安排不仅使学生复习了勾股定理，又在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了基础知识，也充分认识 了问题的本质，可谓是一举两得。二、图形内部结构的变化例 2.已知：如图 7，点 c 为线段 ab 上一点，dacm、dcbn 是等边三角形。求证：an=bmnnmfm pdeqa cba c b图 7证明：qdacm和dcbn是等边三角形 mc =ac , cn =cb , acn =mcb图 8 dacndmcb an =bm变式 1：在例 2 中，连接 de，求证：（1）ddce 是等边三角形（2）de/ab分析：(1)可证dadcdmec，则 dc=ec,因为dce=60,所以d

6、dce 是等边三角形。(2)由（1）易证edc=acm= 60,所以 de/ab变式 2：例 2 中，连接 cf，求证：cf 平分afb分析：过点 c 作 cgan 于 g,chbm 于 h,由dacndmcb，可得到 cg=ch,所以 cf 平分afb变式 3：如图 8，点 c 为线段 ab 上一点，dacm、dcbn 是等边三角形，p 是 an 的中点，q 是 bm 的中点，求证： dcpq 是等边三角形证明：q dacndmcb an =bm,abm =anc又 q p、q分别是 an、bm的中点 dbcq dncp cq =cp, bcq =ncp pcq =ncp +ncq =bcq

7、 +ncq =ncb =60 dcpq 是等边三角形图 7 是一个很常见的图形，其中蕴含着很多的关系式，此题还可适当引导学生探索当点 c 不在线段 ab 上时所产生的图形中的一些结论，通过该题的变式训练，让学生利用自己已有的知识去探ab索、猜想，进而培养了学生思维的创造性。 三、因某一基本问题迁移的变化pl例 4 如图 9，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 a、b 两镇b供气，问泵站修在什么地方使所用的输气管线最短？图 9分析：设泵站应建在 p 处。取点 b 关于 l 的对称点 b,如图 1，pb=pb,要使 pa+pb 最小只要 pb+pa 最小，而两点之间距离最短，连接 ab与 l

8、 的交点 p 即是泵站所建的位置。本题 特点：一直线同旁有两定点，关键要在直线上确定动点的位置，使动点到定点的距离之和最短，我们常常把这类问题称作“泵站问题”。变式 1：如图 2，在dabc 中，ac=bc=2,acb=90,d 是 bc的中点，e 是 ab 边上一动点，则 ec+ed 的最小值是a fec d b图 2解：c、d 是两定点，e 是在直线 ab 上移动的一动点，以 ca、cb 为边作正方形 acbf，则 c关于 ab 的对称点一定是 f,连接 df 交 ab 于 e,这时 ec+ed 最小。因为 d 是 bc 的中点，在直 角三角形 fbd 中，ec +ed =ed +ef =

9、df = bd 2 +bf 2 = 2 2 +12 = 5.变式 2：如图 3，点 p 是边长为 1 的菱形 abcd 对角线 ac 上一动点，m、dgn 分别是 ab、bc 边上的中点，则 pm+pn 的最小值apc分析：m、n 是两定点，p 是在直线 ac 上移动的一动点，作 n 关于 acmn的对称点 g，由于四边形 abcd 是菱形，所以 g 一定在 dc 上，且为 dc的中点，连接 mg 交 ac 于 p, 四边形 amgd 为平行四边形，连接 pm、bpn，则 pm+pn 最小，pm+pn=pm+pg=mg=bc=160变式 3：如图，梯形 abcd 中，ad/bc,ab=cd=a

10、d=1, b=,直线 mn 为梯形的对称轴，p 为 mn 上一点，那么 pc+pd 的最小值为amdp解:c 、d 是两定点， p 是直线 mn 上一动点，因为图形 abcd 中，bcad/bc,ab=cd=ad=1,所以四边形 abcd 为等腰梯形，而直线 mn 为梯形nabcd 的对称轴，则 d 关于 mn 的对称点是 a 点，连接 ac 交 mn 于点 p,连接 pd,则有 pa=pd,要使 pc+pd 的值最小，就要使 pa+pc 最小，所以 pc+pd=pa+pc=ac,因为b=60，可证得dabc为直角三角形，ac=abtanb=1tan60=3,则 pc+pd的最小值为3.变式 4：如图，已知o 的半径为 r , c、d 是直径 ab 同侧圆周上的两点，弧 ac 的度数为 96，弧 bd 的度数为 36,动点 p 在 ab 上，则 cp+pd 的最小值为c解：如图，设 d是 d 关于直径 ab 的对称点，连接 cd交 ab 于 p，则dp 点使 cp+pd 最小。