2017中考数学压轴试题复习第一部分专题六因动点产生的相切问题

1、16因动点产生的相切问题课前导学一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：r、r、d，第二步分类列方程，第 三步解方程并验根第一步在罗列三要素 r、r、d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用 含有 x 的式子表示第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：r 和 d，第二步列方程，第三步 解方程并验根第一步在罗列两要素 r 和 d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含 有 x 的式子表示第二步列方程，就

2、是根据直线与圆相切时 dr 列方程如图 1，直线y43x 4与 x 轴、y 轴分别交于 a、b 两点，圆 o 的半径为 1，点 c 在 y轴的正半轴上，如果圆 c 既与直线 ab 相切，又与圆 o 相切，求点 c 的坐标“既，又”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个假设圆 c 与直线 ab 相切于点 d，设 cd3m，bd4m，bc5m，那么点 c 的坐标为(0,4 5m)罗列三要素：对于圆 o，r1；对于圆 c，r3m；圆心距 oc45m分类列方程：两圆外切时，45m3m1；两圆内切时，45m3m1把这个问题再拓展一下，如果点 c 在 y 轴上，那么还要考虑点 c 在 y 轴负半轴

3、相同的是，对于圆 o，r1；对于圆 c，r3m；不同的是，圆心距 oc5m4图 11例 42 2014 年湖南省衡阳市中考第 27 题如图 1，直线 ab 与 x 轴交于点 a(4, 0)，与 y 轴交于点 b(0, 3)点 p 从点 a 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿直线 ab 向点 b 移动同时将直线 y34x 以每秒 0.6 个单位长度的速度向上平移，交 oa 于点 c，交 ob 于点 d，设运动时间为 t（0t5）秒 （1）证明：在运动过程中，四边形 acdp 总是平行四边形；（2）当 t 取何值时，四边形 acdp 为菱形？请指出此时以点 d 为圆心、od 长为半径的 圆与直线

4、 ab 的位置关系并说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“14 衡阳 27”，拖动点 p 运动，可以体验到，当平行四边形 acdp 是菱形时，圆 d 与直线 ab 恰好相切思路点拨1 用含 t 的式子把线段 od、oc、cd、ap、ac 的长都可以表示出来2 两条直线的斜率相等，这两条直线平行3 判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小图文解析（1）如图 2，由 a(4, 0)、b(0, 3)，可得直线 ab 的解析式为 y 所以直线 ab/cd在 ocd 中，odoc34，od0.6t，所以 oc0.8t，cdt 所以 apcdt所以四边形 acdp 总是平行四边形

5、（2）如图 3，如果四边形 acdp 为菱形，那么 acap34x 3 所以 40.8tt解得 t2092平行四acdp边形此时 od0.6t4 4 5 所以 bd 3 3 3 3作 deab 于 e4 5 4在 rtbde 中，sinb ，bd ，所以 debdsinb 5 3 3因此 odde，即圆心 d 到直线 ab 的距离等于圆 d 的半径 所以此时圆 d 与直线 ab 相切于点 e（如图 4）图 2图 3考点伸展在本题情境下，点 p 运动到什么位置时，平行四边形 acdp 的面积最大？s4 3 12 12 12 5acdo (4 t) t t2 + t (t )2 3 5 5 25

6、5 25 25当 t 时，平行四边形 acdp 的面积最大，最大值为 3 2此时点 p 是 ab 的中点（如图 5）图 4图 53abc例 43 2014 年湖南省株洲市中考第 23 题如图 1，pq 为圆 o 的直径，点 b 在线段 pq 的延长线上，oqqb1，动点 a 在圆 o 的上 半圆上运动（包含 p、q 两点），以线段 ab 为边向上作等边三角形 abc（1）当线段 ab 所在的直线与圆 o 相切时， abc 的面积（如图 1）；（2）设aob ，当线段 ab 与圆 o 只有一个公共点（即 a 点）时，求 图 2，直接写出答案）；的范围（如（3）当线段 ab 与圆 o 有两个公共点

7、 a、m 时，如果 aopm 于点 n，求 cm 的长（如图 3）图 1图 2图 3动感体验请打开几何画板文件名“14 株洲 23”，拖动点 a 在圆上运动，可以体验到，当点a 在直 线 ab 与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段 ab 与圆有一个交点还可以体验到，当 ao pm 时，no、mq 是中位线，此时等腰三角形 aom 的高 mn 是确定的思路点拨1 过点 b 画圆 o 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意2 第（3）题发现 ao/mq 很重要，进一步发现 no、mq 是中位线就可以计算了图文解析（1）如图 4，连结 oa当线段 ab 所在的直线与圆 o 相切时，oaab，a

8、 为切点此时在 rtaob 中，oa1，ob2，所以 ab 3 ，abo30此时等边三角形 abc 的高为 3 sin60323 3，所以 4（2） 0 60（3） 如图 5，连结 mq，那么pmq90 当 aopm 时，ao/mq由于 q 是 ob 的中点，所以 mq12ao ，m 是 ab 的中点所以 cmab由于 o 是 pq 的中点，所以 no1 1 1 1 mq 所以 no mq ao 2 2 4 4如图 6，连结 mo在 rtomn 中， no1 15 ，mo1，所以 mn2 4 1643在 amn 中，am2an2mn2 ( )2415 24 316 16 26所以 am 2于是在 cam 中，cm 3 am 36 3 2 2 2图 4图 5图 6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图 7，过点 b 画圆 o 的切线，切点为