1.1参考系和坐标系质点

1、第一篇第一篇 力学力学 第第 一一 章章 质质 点点 运运 动动 学学 一一 掌握掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点位置矢量、位移、加速度等描述质点 运动及运动变化的物理量运动及运动变化的物理量. .理解理解这些物理量的矢量这些物理量的矢量 性、瞬时性和相对性性、瞬时性和相对性. . 二二 理解理解运动方程的物理意义及作用运动方程的物理意义及作用. . 掌握掌握运运 用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速 度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条 件求速度、运动方程的方法件求速度、运动方程的方法 . .

2、 三三 能计算质点在平面内运动时的速度和加速能计算质点在平面内运动时的速度和加速 度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、 切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 . . 四四 理解不同参考系中速度和加速度的变换理解不同参考系中速度和加速度的变换, , 并会用它求简单的质点相对运动问题并会用它求简单的质点相对运动问题 . . 1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系 质点质点 1.2 质点运动的描述质点运动的描述 1.3 质点运动学的基本问题质点运动学的基本问题 1.4 不同参考系中速度和加速度的变换关不同参考系中速度和加速度的变换关 系系 研

3、究力学要明确两个基本思想：研究力学要明确两个基本思想： 1.1.参考系参考系: : 描写物体运动选择的标准物描写物体运动选择的标准物. . 2.2.参照物参照物: : 用来描述物体运动而选作参考的物体或用来描述物体运动而选作参考的物体或 物体系。物体系。 3. 运动的相对性运动的相对性: 选取的参考系不同，对物体运动情选取的参考系不同，对物体运动情 况的描述不同，这就是运动描述的相对性况的描述不同，这就是运动描述的相对性. 4.4.坐标系坐标系: : 在选定的参考物上建立固定的坐标系，在选定的参考物上建立固定的坐标系， 可精确描写物体运动可精确描写物体运动. . 常用坐标系：常用坐标系： 直角

4、坐标系（直角坐标系（ x , y , z ）；）； 球坐标系（球坐标系（ r, ） 柱坐标系柱坐标系（ , , z ） ； 自然坐标系自然坐标系 ( s ) (1) (1) 运动学中参考系可任选。运动学中参考系可任选。 (2) (2) 参照物选定后，坐标系可任选。参照物选定后，坐标系可任选。 说明说明 质点：质点：如果我如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略们研究某一物体的运动，而可以忽略 其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的 转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质 量的点（即质点）来处理。量

5、的点（即质点）来处理。 质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型。目的是为了突出研究对象的主要性质型。目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考暂不考 虑一些次要的因素虑一些次要的因素 。 质点是有质量而无形状和大小的几何点。质点是有质量而无形状和大小的几何点。 对运动的描述有多种方式对运动的描述有多种方式. . 常用的有列表法、图线法和解析法常用的有列表法、图线法和解析法. . 列表法就是以表格形式列出有关物理量之间的对应列表法就是以表格形式列出有关物理量之间的对应 变化关系变化关系. . 一、一、描述质点运动的一般方法描述质点运动的一般方法 图

6、线法就是把某些相关物理量的对图线法就是把某些相关物理量的对 应关系在给定的坐标系中画成曲线，应关系在给定的坐标系中画成曲线， 直观形象地表示质点的运动。直观形象地表示质点的运动。 解析法就是用函数形式表示质点运动的方法。解析法就是用函数形式表示质点运动的方法。 t/s 0 1 2 3 4 5 6 x/m 0 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4 2 2 1 gtx 二、位置矢量二、位置矢量 运动学方程运动学方程 r *P x y zx z y o j i k kzj yi xr 确定质点确定质点P某一时刻在某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称坐标系里的位置的物理量称 位

7、置矢量位置矢量, 简称位矢简称位矢 。 r 式中式中 、 、 分别为分别为x、y、z 方向的单位矢量。方向的单位矢量。 i j k x = x(t)x = x(t) y = y(t)y = y(t) z = z(t)z = z(t) rxcos rzcos rycos 位矢位矢 的方向余弦的方向余弦r P r x z y o 222 rrxyz 位矢位矢 的值为：的值为：r 例例1.1 一质点沿半径为r的圆形轨道匀速运动，角速度为。试分 别 写出用直角坐标、位矢表示的质点运动学方程，并写出在直角坐标 系中质点的轨迹方程。 解解 以圆心O为原点，建立直角坐标 系OXY，如图1-5所示。取质点经过

8、X 轴上A点的时刻为计时起始时刻，即t = 0。设t时刻质点位于P，P点的直角坐标 为x,y，质点作匀速圆周运动， AOP =t，用直角坐标表示的质点运动学方 程为 x = r cost y = r sint 从圆心O向P点作位矢，用位矢表示的质点运动学方程为 从直角坐标系中质点运动学方程消去t即可得到质点的轨迹方程 x2+y 2= r2 r = x i + y j = r cost i + r sint j x y o B B r A r A r A r B B r A r x y o B x A x AB xx B y A y AB yy rrr AB AB rrr 经过时间间隔经过时间间

9、隔 后后, 质点位置矢量发生变化质点位置矢量发生变化, 由由 始点始点 A 指向终点指向终点 B 的的有向线段有向线段 AB 称为点称为点 A 到到 B 的的 位移矢量位移矢量 . 位移矢量也简称位移矢量也简称位移位移. t r 三、位移三、位移 描写质点位置变化的物理量。描写质点位置变化的物理量。 222 zyxr 位移的大小为位移的大小为 A r B B r A r x y o B x A x AB xx B y A y AB yy jyixr AAA jyixr BBB jyyixx ABAB )()( AB rrr 所以位移所以位移 若质点在若质点在三维三维空间中运动，空间中运动， 则

10、在直角坐标系则在直角坐标系 中其位中其位 移为移为 Oxyz kzzjyyixxr ABABAB )()()( 又又 222 zyxr rr 2 1 2 1 2 1 zyx 2 2 2 2 2 2 zyxr 位移的物理意义位移的物理意义 A) 确切反映物体在空确切反映物体在空 间位置的变化间位置的变化, 与路径无关，与路径无关， 只决定于质点的始末位置只决定于质点的始末位置. B）反映反映了运动的矢量了运动的矢量 性和叠加性性和叠加性. s ),( 1111 zyxP ),( 2222 zyxP )( 1 tr 1 P )( 2 tr 2 P r 注意注意 位矢长度的变化位矢长度的变化 x y

11、 O z r kzj yi xr 四、速度四、速度 描写物体运动快慢和方向的物理量。描写物体运动快慢和方向的物理量。 1、平均速度、平均速度 )()(trttrr 在在 时间内时间内, 质点从点质点从点 A 运动到点运动到点 B, 其位移为其位移为 t r )(ttr B )(tr A x y o s 物体的物体的位移位移与发生这段与发生这段 位移所用的时间之比。位移所用的时间之比。 t时间内时间内, 质点的平均速度质点的平均速度 j t y i t x t r v 2 瞬时速度瞬时速度 当质点做曲线运动时当质点做曲线运动时, 质点在某一点的速度方向质点在某一点的速度方向 就是沿该点曲线的切线

12、方向就是沿该点曲线的切线方向. 当当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度时平均速度的极限值叫做瞬时速度, 简称速度，即质点位矢对时间的变化率。简称速度，即质点位矢对时间的变化率。 0t t r t r td d lim 0 v 若质点在若质点在三维三维空间中运动空间中运动,在直角坐标系中，速度在直角坐标系中，速度 矢量可以表示为矢量可以表示为: k t z j t y i t x d d d d d d v x y o v y v x v ji yx vvv j t y i t x d d d d v 若质点在若质点在三维三维空间中运动空间中运动, 其速度为其速度为 k t z j t y i t

13、 x d d d d d d v 平均速率平均速率 t s v d d s t v瞬时速率瞬时速率 222 ddd ()()() ddd xyz ttt vv 3 瞬时速率瞬时速率 v d d s t v t d d e t s v 速度速度 的大小称为速率。的大小称为速率。 例例1.2 质点作平面曲线运动，运动学方程为x=2t, y=8-t2,求（1） 轨迹方程，并画出轨迹曲线，（2）质点在t1=1s到t2=3s内的 r,r和 ,（3）3s末的速度v和速率v 。 解解 （1）从运动学方程消去参量t，得轨迹方程 (2)质点的位矢为 r = 2ti+(8-t2)j 将t = 1s和t = 3s代

14、入上式得 r1 = 2i+7j r3 = 6i-1j 1到3s内质点的位移为r = r3-r1 = 4i-8j 1到3s内质点位矢大小的增量为 r = r3-r1 =-1.20m 1到3s内质点的平均速度为 2 4 1 8xy t r v = =2i-4j 1到3s内质点的平均速度的大小为 |= =4.47m/s (3)质点的速度为 v = =2i-2tj v 22 )4(2 td rd smsm/32. 6/)6(2 22 33 vv 将t=3s代入得 v3=2i-6j 1 平均加速度平均加速度 B v B A v B v v 与与 同方向同方向 。va 反映速度变化快慢的物理量。反映速度变

15、化快慢的物理量。 x y O a t v 单位时间内的速度增单位时间内的速度增 量即平均加速度量即平均加速度 A v A 五、加速度五、加速度 2（瞬时）加速度（瞬时）加速度 0 d lim d t a tt vv 2 2 dd dd r a tt v xyz aa ia ja k 2 2 2 2 2 2 dd dd d d dd dd dd x x y y x a tt y a tt a tt z z v v vz 加速度大小加速度大小 222 xyz aaaa O d d aa t v 问问 吗？吗？ d v ( ) t v (d )tt v 讨论讨论 ( )(d )tttvv因为因为 d

16、 0 dt v 所以所以 0aa 而而 例例 匀速率圆周运动匀速率圆周运动 所以所以 t a d dv 例例1.3 已知一质点沿椭圆轨道运动，其运动学方程为已知一质点沿椭圆轨道运动，其运动学方程为r = a costi+b sintj，求质点的加速度，并证明加速度的方向始终求质点的加速度，并证明加速度的方向始终 指向椭圆中心。指向椭圆中心。 解解 按已知x = a cost 、y = b sint, 质点的加速度a沿坐标轴沿坐标轴 x、y的投影为 ax= =-2a cost 2 2 t x d d ay= =-2b sint 2 2 t y d d a = = axi + + ayj j =

17、=-2(a cost i + b sint j)= -2r 加速度a与位矢与位矢r方向始终相反，即加速度方向始终指向椭圆中心。方向始终相反，即加速度方向始终指向椭圆中心。 六、法向加速度和切向加速度六、法向加速度和切向加速度 在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪一部在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪一部 分是由分是由速度大小变化速度大小变化产生的加速度，哪一部分是由产生的加速度，哪一部分是由 速度方向变化速度方向变化产生的加速度，所以引入自然坐标系产生的加速度，所以引入自然坐标系 来描写。来描写。 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐

18、标轴，标轴，切向坐标切向坐标和和法向坐标法向坐标。 n n 切向坐标切向坐标 沿运动轨迹沿运动轨迹 的切线方向；的切线方向； 法向坐标法向坐标 n 沿运动轨迹沿运动轨迹 的法线方向。的法线方向。 物体沿平面作曲线运动，速度变化为物体沿平面作曲线运动，速度变化为 ，建立自然，建立自然 坐标系。坐标系。 v v n v v 将将分解为分解为v v v和和 n v 00 n nv v n vv 其中其中 0 切线方向的单位矢量；切线方向的单位矢量； 0 n n法线方向的单位矢量。法线方向的单位矢量。 （1 1） v n v 为速度增量在切线方向的分量；为速度增量在切线方向的分量； 为速度增量在法线方

19、向的分量；为速度增量在法线方向的分量； A B v vA v vB v v v vA n v v 将（将（1）式两边同除）式两边同除t后取极限，后取极限， 00 n n v v t v t v t n 0t lim 0t lim 0t lim 即即 00 n na a n aa 其中：其中： dt dv a dt dv a n n a 由于速度大小变化产生的加速度；由于速度大小变化产生的加速度； n a 由于速度方向变化产生的加速度。由于速度方向变化产生的加速度。 有有 00 n n v v dt dv dt dv dt d n 可以证明：可以证明： dt dv a r v a n 2 2 2

20、 n aaa 大小大小 方向方向 a an arctan 六、圆周运动的角量表示六、圆周运动的角量表示 角量与线量的关系角量与线量的关系 1 1 平面极坐标平面极坐标 A r x y o 设一质点在设一质点在 平面内平面内 运动，某时刻它位于点运动，某时刻它位于点 A .矢矢 径径 与与 轴之间的夹角轴之间的夹角 为为 . 于是质点在点于是质点在点 A 的位的位 置可由置可由 来确定来确定 .),(rA Oxy r x 以以 为坐标的参考系为为坐标的参考系为平面极坐标系平面极坐标系 .),(r sin cos ry rx 它与直角坐标系之间的变换关系为它与直角坐标系之间的变换关系为 t t t

21、 d )(d )( 角速度角速度 角位置角位置)(t 角加速度角加速度 td d x y o r A B 2 2 角位置和角位移角位置和角位移 角位移角位移)()(ttt 3 3 角速度和角加速度角速度和角加速度 k d v r d d O P r ddrr 4 4 位移与角位移与角位移的关系位移的关系 k d v r d d O P r rrk t t rk t r d d d d d d v r vr 5 速度与角速度的关系速度与角速度的关系 大小大小方向方向( (标量式标量式) ) 6 切向加切向加速度与角加速度的关系速度与角加速度的关系 r v r t r t a d d d d t

22、v 由由 7 法向加法向加速度与角速度的关系速度与角速度的关系 r ra 2 2 n v r v将将 代入代入 r a 2 n v 例例1.5 1.5 如图1-17所示，半径R =0.25m的飞轮，绕O轴转动。已 知轮缘上一点P的运动学方程为=t2-2t(SI)。求t =2s时P点的速度 和加速度。 解解 飞轮转动时P点作半径为R的圆周运动，其角速度和角加速 度分别为 t=2s时，P点的速度为 v =R=R(2t-2)=0.25(22-2)=0.5 m/s 速度方向沿P点的切线，指向如图所示。P点的切向加速度为 法向加速度为 加速度为 2 2 (2 )2t-2 (rad/s ) (2t-2)2

23、 rad/s dd tt dtdt dd a dtdt 222 t m/s 0.5 rad/s 20.25m rad/s 2R R a 222 n m/s 1.02)m/s2(0.25mrad/sR a m/s2 1.12 2 2 n aaa )(ta )(tr 求导求导求导求导 积分积分积分积分 ( ) t v 一一 由质点的运动方程可以求得质点在任一由质点的运动方程可以求得质点在任一 时刻的位矢、速度和加速度；时刻的位矢、速度和加速度； 二二 已知质点的加速度以及初始速度和初始已知质点的加速度以及初始速度和初始 位置位置, 可求质点速度及其运动方程可求质点速度及其运动方程 . 质点运动学的

24、问题可以分为两类质点运动学的问题可以分为两类: 例例1.6 1.6 河中有一小船，在高为h的岸上用绞车以恒定的速率v0收 缆绳使船靠岸，如图1-18所示，求当船与岸的水平距离为x时，船 的速度与加速度。 解解 选船为研究对象，并看作质点。以岸为参考系，以绞车为 原点建立直角坐标系OXY,如图1-18所示，则船的位矢为 r=xi+(-h)j 由速度定义得 由图可知 x = ，即得vx= = ， 按题意 由此得船速 vx = -v0 = -v0 ， t d dr 0 22 hr t x d d 22 hr r t r d d 22 hr r x hx 22 ivi dt dx j dt hd i dt dx dt dr v x )( v = vxi = -v0 i 上式中的负号表示船的速度v沿沿X轴的负方向。 按加速度的定义得 ax = = v0 负号表示加速度a的方向与的方向与X轴的正方向相反。 由于a与与v同向，所以小船是加速靠岸的。同向，所以小船是加速靠岸的。 x hx 22 t d d x v 3 2 22 2 x h t x hx h 2 0 v d d i x h a 3