双角平分线双剑合璧

1、双角平分线双剑合璧波利亚指出：拿一个有意义但不复杂的题目去帮助学 生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门 户，把学生引入一个完整的领域 . 在数学教学时，教师往往 都为选题而烦恼，而浙教版义务教育教科书?数学教材编委精心编写的教材例题、习题一般都有典型性、示范性、 迁移性、再生性等特点，它们或渗透了某些数学方法，或体 现了某些数学思想， 或提供了某些重要结论， 意义非同一般 因此，对它们不能简单地就题论题，而应进行开发、引申与 挖掘，揭示其有价值的结论 . 这样不仅能得到一批“源于教 材，而又高于教材”的好题，疏通知识之间的联系，又能开 阔学生的思路，培养学生的创造力，产生触类旁

2、通、举一反 三的学习效果 . 现拟从教材中采撷一例，解析习题的创新再 生.一、原题重现浙教版 义务教育教科书 ?数学七年级上册第六章 “图 形的初步知识”第七节作业题 B 组第 5 题：如图1 , E是直线AC上一点，EF, EG分别是/ AEB,/BEC的平分线.求/ GEF的度数.解析：由已知可知：/ GEF=Z CEB亡AEB=Z AEC=90通过题目的结论我们很容易发现，无论/AEB和/ BEC如何变化，即当射线 EB绕点E旋转时，/ GEF和/ AEC必有 如下数量关系：/ GEF=Z AEC.这样整齐的等式是非常值得我 们对其进行更深层次的研究与探讨 . 这是七年级平面几何中 比较

3、经典的一道习题，它不仅仅是“角的和差” “角的平分 线”这些重要概念的应用，还蕴含着非常重要的数学思 想整体思想 .笔者在教学过程中对本题进行了适当的拓 展，收到了很好的效果 .二、变式延伸变式1:改变/ AEC的大小，由180。变为90 .解析：如图 2，由已知可知/ GEF=Z CEB+ AEB=Z AEC=45 .此时/ GEF和/ AEC依然有如下数量关系：/ GEF=/ AEC.如果/ AEC为任意大小的角，我们发现依然有/GEF=/AEC这样的关系.通过上面的初步变换， 我们得到了一个一般 性结论：“如果/ AEC内部有三条射线 EG, EB, EF,其中EG 平分/ BEC EF

4、平分/ AEB,那么/ GEF=/ AEC. ”变式 2：将上述结论中“平分”的条件改为“/GEB=/BEC,/ BEF= / AEB ”经过此次变换后得到的结论与变式 1 中的结论类似,故 可以进一步得出：“如果/ AEC内部顺次有三条射线 EG,EB, EF,其中/ GEB=/ BEC / BEF=/ AEB,那么/ GEF=/ AEC” .变式3 :将“ EG平分/ BEC ”变为“ EG平分/ AEC解析：如图4,由已知可知/ GEF=Z AEC-Z AEB=Z BEC. 虽然角平分线的位置发生了变化，但是解决问题的思想 没变，仍是应用整体思想将Z GEF转化为Z AEC和Z AEB的

5、关系，与前两次变换异曲同工 .变式4 :已知Z GEF=90，顶点E在直线AC上，使Z GEF绕点E旋转，当射线 EF平分Z AEB时，射线 GE所在的 直线是否平分Z BEC?解析：(1)如图5,当射线GE与射线EF在直线AC同侧 时，易知射线GE平分Z BEC.(2)如图6,当射线GE与射线EF在直线AC异侧时， 易知射线GE的反向延长线平分Z BEC .综上，射线GE所在的直线平分Z BEC.当一个问题的条件发生变化时,问题结论的形式未必发 生变化 .对于课后习题的处理不仅仅在于解答的思路与过程, 更应该注重挖掘一道习题的典型代表性在什么地方,从而有 目的地引导学生从“变”的现象中发现“

6、不变”的本质,从“不变”的本质中探究“变”的规律,使知识点融会贯通, 使思维在所学知识中如鱼得水 .通过对一道课本上的原题进行四种变化,这道教材上的 解答题发挥了“以一当四”的作用 . 波利亚在怎样解题 中说过“没有任何一个题目是彻底完成了的” ,故我们仍希望通过这道题目得到更多的东西回顾前面的变式 1、变式 2、变式 3，我们从改变已知条 件上进行变式，其实主要都是围绕射线 OB 的位置变化情况 进行的，所以可以通过如下这样一个题目来对前面三个变式 进行总结：/ AEC是小于平角的任意角，作射线EB,再作射线EG, EF, EG平分/ BEC, EF平分/ AEB当射线EB绕点 E旋转时，试

7、探究/ GEF与/ AEC的关系.通过分析，我们可以发现，这道题目不仅仅是对前面变 式的一个总结,在解决问题过程中所应用的数学思想也发生 了变化，不仅有整体思想，还增添了分类讨论思想在图7、图8中/GEF与/ AEC的关系是/ GEF=Z AEC. 在图9中/ GEF与/ AEC的关系是 / GEF=180 -/AEC. 对于变式 4,可以给出更加丰富的题目背景：如图10，点O为直线AB上一点，过点 O作射线OC, 使/ BOC=120 .将一直角三角板的直角顶点放在点 O处， 一边OM在射线 OB上，另一边 ON在直线AB的下方.（1）将图 10 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 11,使

8、 一边OM在/ BOC的内部，且恰好平分/ BOC.此时直线 ON 是否平分/ AOC?请说明理由.（2）将图 10 中的三角板绕点 O 以每秒 6的速度沿逆 时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第 t 秒时,直线 ON 恰好平分锐角/ AOC,求t的值.3）将图 10 中的三角板绕点 O 顺时针旋转至图 12，使ON在/ AOC的内部，求/ AOM-/ NOC的度数.例题讲解贵在小而精，以小见大 . 教师用在设计例题上 的时间与学生做练习的时间是成反比的 . 例题设计是否精致， 直接决定着学生的学习效果 . 在教学中教师要提高对教材中 习题的重视程度，对一些具有代表性的好题，不妨小题大做 一番

9、！三、结语迅速提高解题能力， 是教师和学生共同关心的问题之一 . 引导学生一题多变，将某些题目适当引申、拓广，不仅可以 使学生对知识掌握得更加系统，而且可以激发学生的求知欲 望，培养学生数学思维品质以及自觉探究的良好习惯 . 通过 对课本中典型习题的引申和挖掘，让学生在变化中发现规律， 尽量做到能用典型习题这一把“钥匙”开一类“锁” ，以达 到“做一题，通一类，会一片”的效果 .新课程倡导教师要创造性地使用教材，纵观近几年各地 中考试题，有很多题目都源于教材而又高于教材 . 因此，在 日常教学中教师不要盲目甩开教材，滥用其他资料，搞“题 海战术”，而应精心解读教材， 站在知识系统的高度用 “活” 教材 . 总之，对于每一道课后习题，都不能