《2.1.1椭圆及其标准方程》教案及课堂实录(精)

1、 1 2.1.1 椭圆及其标准方程教案及课堂实录 保俶塔实验学校 张小妹 一、 教学目标 1知识目标：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程； 2能力目标：学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力； 3情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。 二、 重点、难点及关键 重点：椭圆的定义和标准方程的应用； 难点：椭圆标准方程的推导； 三、 教学方法 启发、探索 四、 教学媒体 运用多媒体教学 五、 教学过程 1创设情境，引入概念。 首先用

2、几何画板展示地球绕太阳公转的轨迹，形象地给出椭圆，然后请同 学们列举一些实际生活中的椭圆形的例子。以生活中的椭圆引入。 此时教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的-椭圆及其标准方程。 设计意图：本环节由实际例子引入概念，使学生易于接受，同时激发出学生的求知欲，提高学习椭圆的兴趣，也使他们的注意力集中到课堂上。 课堂实录： 师：在上课之前呢，我们先来看一下太阳公转的轨迹 (几何画板展示) 。 思考太阳公转的轨迹是什么？ 生：椭圆。 师：是的。其实生活中椭圆形状的东西也很多，如我们的操场，我们吃

3、的西瓜、 2 鸡蛋等。今天我们就来研究下椭圆及其标准方程。 2尝试探究，形成概念动手作图。 工 具：纸板、细绳、图钉 作 法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，观察画出的是什么样的一条曲线。 完成表格：图钉间的距离与绳子长度的关轨 图钉间的距离 绳子长度 无轨迹 图钉间的距离 = 绳子长度 线段 图钉间的距离 2a 无2c = 2a 2c 2c。 设计意图：(1).通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会； 调动学生学习的积极性。 (2).多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象。 课堂实录： 师：下面请同学们拿出学案和

4、事前准备好的纸板、细绳和图钉，动手来作作图。用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点上，然后用笔 3 尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，观察画出的是什么样的一条曲线，完成学案上的表格。 生：动手作图，分组讨论完成表格。 师：我们一起来看看大家得到的结果正确与否（展示几何画板）： 1当图钉间的距离 绳子长度时，无轨迹。 2. 当图钉间的距离 = 绳子长度时，为线段。 3当图钉间的距离 2a时，无轨迹。 2. 当2c = 2a时，为线段。 3当2c 2c。 3标准方程的推导 标准方程的推导是本节课的难点，在推导时应抓住 “建立坐标系”和“简化方程”这两个环节。 建系：教师结合建立坐标系的

5、一般原则 -使点的坐标、几何量的表达式简单化， 并从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一 定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系。 设曲线上的动点：设点M（yx,）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F1（-c,0）、F2（c,0）。 F1 F2 M x O P y 4 找几何关系：依据椭圆的定义，找到几何关系MF1+MF2=2a。 列方程：依据椭圆的定义式MF1+MF2=2a列方程，并将其坐标化?aycxycx22222?。 化简：通过移项、两次平方后得到：?22222222caayaxca?，两边同除以)(222caa?得到：122222?cayax，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，

6、令222cab?，|POb?且，可得椭圆标准方程为 12222?byax（ab0）。 此时，思考cba,三条边的关系：OPF1?中的三条边的长度，222bac?。 给出标准方程：12222?byax（ab0）叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上。)0,(,0,21cFcF）（焦点坐标：? 观察标准方程的特征：方程右边是1，左边是两个平方和。 猜想：将椭圆的x、y轴互换，猜想焦点在y轴上的椭圆的标准方程。在学生得出椭圆的两种形式的标准方程后，请学生思考：两者有什么区别？ 设计意图：学生自己去猜想椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。教师结合猜想

7、加以引导。 通过分析可得：a在哪个分母下，焦点就在哪根轴上。 师：现在我们知道了椭圆的定义，那现在我们来研究下椭圆的标准方程。首先我们建立一个平面直角坐标系。 4应用概念 例1判断焦点位置，并求出cba,，写出焦点坐标。 （1）191622? yx （2）116922?yx （3）2222?yx 思考：如何确定焦点位置？ 1.化方程为椭圆的标准方程； 2.比较分母的大小，哪个分母大，焦点就落在哪条轴上。 例2已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2，0),(2，0)。 (1).若已知椭圆上任一点到两焦点的距离之和为102，求它的标准方程。 (2).若椭圆经过点?25,23，求它的标准方程。 5 练习

8、1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程。 轴上焦点在xba,1,4).1(?轴上焦点在yca15,4).2(?52,10).3(?cba 练习2：椭圆13610022?yx上一点P到焦点F1的距离等于6，求点P到另一焦点F2的距离。 设计意图：(1).掌握椭圆方程中a,b,c三者之间的关系。 (2).掌握运用椭圆定义法、待定系数法求椭圆的标准方(3).进一步巩固知识，培养学生运用知识解决问题的能力。 5课堂小结 焦点轴焦点轴 定义式 图像 方程 焦点 焦距 a,b,c间的关系 实际应用：椭圆在天文学、建筑学上有广泛的应用。在天文学上可以精确计算彗星出现的准确时间；在建筑学上可以建造稳固的椭圆形隧

9、道拱。同时椭圆具有美化效果，给人以美的感受。 设计意图：本环节是对所学内容作全面的小结，除了小结知识技能、数学方法以外，还对椭圆的实际应用进行概括，使学生既学了知识，又培养了能力，同时也对椭圆有一个更全面深刻的认识，为下节课的学习打下了基础。 知识拓展。 椭圆的九种画法。 6 课后反思及点评： 这节课围绕“认识椭圆画椭圆定义椭圆推导椭圆方程椭圆方程知识讲解椭圆方程知识运用”这一主线展开。在整个教学过程中，采用引导发现法、探索讨论法等教学方法，注重数形结合等数学思想的渗透，教学中学生通过观看动画、动手实践，自己总结出椭圆定义，应该说，还是比较好地达到了本堂课的预设教学目标。下面从以下几个方面来总

10、结一下本堂课的教学： 1从备课的情况来看。 应该说，自己对本堂课的备课过程是不够充分的，本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用。是本章和本节的重点内容。所以，备课的过程中对于如何更好地为圆锥曲线这章内容作铺垫没有更好地进行深思。在前一天的试讲过程中，也发现了一些问题，都是备课不充分的体现。在以后的教学中，一定不能忽视对教材的连贯性、教材的熟悉程度、学生的知识水平的深入思考，才能为上好一堂课奠定基础。 2从课堂的实施来看。 本节课还是采用了探究体验的方式

11、，学生在体验中去感知知识，接受新知。 首先我设置了一个地球绕太阳公转的短片，观察公转轨道，学生从中可认识椭圆、感受椭圆。生活中的实例及多彩的多媒体图片可激发学生的学习兴趣，充分调动学生主动参与的积极性。之后学生探索如何借助手中的细绳画椭圆，从实践中体会椭圆上的点所满足的条件，逐渐把图形语言转化为文字语言，引导学生自主探索。进而发现：当两定点近的不能再近时画出的是圆，当两定点远的不能再远时画出的是线段。通过这样的实践，学生对条件2a2c的理解水到渠成。这样，不仅完善了椭圆的定义，也有助于培养学生质疑，养成勤于动脑的良好思维习惯。有助于帮助学生自主学习，学会学习。应该说，这个过程达到了较好效果，学

12、生对于椭圆定义以及需要满足的条件记忆深刻。 椭圆标准方程的推导是本节课的难点。建立直角坐标系、推导椭圆标准方程是两个重要环节。结合我们学生的知识水平，考虑到课堂时间紧张，在几个教师的讨论下，决定适当地简化这个过程，采用PPT清楚明了地展示椭圆标准 7 方程的推导过程。这个过程有理有弊，虽然节约了时间，却少了学生自我探究的过程。给出椭圆标准方程后，突出椭圆方程的特点：方程右边是1，左边是两个平方和。 椭圆标准方程的应用是本堂课的重点。在这个过程中，我循序渐进地设置了一些例题，练习。由于课堂时间紧张，我觉得这个过程的深入还不够，还需要在接下来的课中多加以练习。 3从作业反馈来看。 从学生的作业情况来看，大部分同学都较好地掌握了本节的知识点，对于椭圆方程中a,b,c三者之间的关系的题目能较好应用，但对于与椭圆定义有关的题目和焦点位置需要讨论的题目还有待进一步巩固。 8 附学案： 2.1.1 椭圆及其标准方程学案 执教人：张小妹 一探究动手做图。 工 具：纸板、细绳、图钉 作法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷图钉间的距离与绳子长度的关系 轨迹 图钉间的距离 绳子长度 图钉间的距离 = 绳子长度 图钉间的距离图钉间的距离 绳子长度 = 0 紧绳子，使笔尖慢慢移动，观察画出的是什么样的一条曲线。 图钉间的距离