勒贝控制收敛定理及其他格

1、勒贝格控制收敛定理及其他1.莱维单调收敛定理：关于阶梯函数的莱维定 理：设 sn是一个阶梯函数序列， 使得 a) sn在区间 I上是递增的，b)lim sn存在，nI 则sn在I上几乎处处收敛于一个 极限函数 f,且有f lnim sn.nII2. (关于勒贝格可积函数序列的莱维定理 )设 fn 是 L( I )中的一个函数序列，使得a) fn 在 I 上几乎处处是递增的，b)lim f n 存在，nnI则 fn 在 I 上几乎处处收敛于 L(I) 内的一个极限函数 f,且有f lnimn fn.nnII3. (关于勒贝格可积函数级数的莱维定理 )设gn 是 L(I )中的一个函数序列，使得a

2、) 每个 gn 在 I 上几乎处处是非负的，b) 级数gn 收敛，n 1 I则级数 gn 在 I 上几乎处处收敛于 L(I) 内的一个极限函数 ,且有n 1 Ig g ngn .I I i 1 i 1 I4设 gn 是 L ( I )中的一个函数序列，使得级 fn 数|gn|n1I是收敛的，则级数 gn 在 I 上几乎处处收敛于 L(I) 内的一个极限函数 ,且有n1Igng n.I i 1 i 1 I5 . (勒贝格控制收敛定理 ) 设 fn是区间 I 上的一个勒贝格可积函数序列 . 设a) fn在 I 上几乎处处收敛于一个极限函数 f ,b) 在 L(I )内有一个非负函数 g 使得对于一

3、切 n 1都有| fn(x) | g(x),a.e.于I则极限函数 f L(I) ,序列fn(x) 收敛，且f lnimn f n.nnIIb)可表述为 fn在I 上几乎处处被 g控制6. 设 I 是一个有界区间， 假设 fn 是L(I )中的一个函数序列， 它在 I 上几乎处处有界收敛， 即，存在一个极限函数 f 和一个正常数 M ，使得在 I 上几乎处处有lnim fn(x) f(x),| fn(x)| M,则 f L(I), lim fnf.nnII7 . (勒贝格可积性 ) 设 fn 是 L(I)中的一个函数序列 . 它 I上几乎处处收敛于一个极限函数f .若在 L ( I )内有一个

4、非负函数 g 使得对于一切 n 1都有| f(x)| g(x),a.e.于I则极限函数 f L(I) .8设 f 在半无穷区间 I a, ) 上有定义，假定对每个 b a， f 在紧区间 a,b上是勒贝 格可积的，而且存在一个正常数 M ，使得对于每个 b a都有ba| f | M,b则 f L(I) ，极限 lim f 存在，且bf lim fa b a可测函数阶梯函数的极限函数类比勒贝格可积函数类要大，该类中的函数称为 由勒贝格积分定义的函数的连续性设 X 和 Y 是不是 R 的两个子区间， f 是定义在 X Y 上的函数，它满足以下条件 a) 对 Y 中的每个 y，在 X 上由下式fy

5、(x) f (x,y)定义的函数 fy (x)在 X 上是可测的 .b) 在 L(X) 内存在一个非负函数 g,使得对任意的 y Y都有| f (x,y)| g( x), a.e.于X .c) 对 Y 中固定的 y 有lim f (x,t) f (x, y), a.e.于X.ty于是勒贝格积分 f ( x, y)dx对 Y 中的每个 y 都存在，而且由等式XF(y) X f (x, y)dx 定义的函数 F 在 Y 上连续 . 积分号下的微分法 a) 对 Y 中的每个 y，由等式 f y(x) f(x,y)定义的函数 fy (x) 在 X 上是可测的，且对于设 X 和 Y 是不是 R 的两个子区间，f 是定义在 X Y 上的函数，它满足以下条件Y 内的某个点 a 有 fa L(X).b) 对于 X Y 的每个内点 (x,y),偏导数 D2 f (x, y)存在.c) 在 L(X) 内存在一个非负函数 G,使得对于 X Y 的全部内点都有|