【最新】高中数学-知识梳理_函数及表示

1、函数及表示【考纲要求】1. 了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3. 了解简单的分段函数，并能简单应用【知识网络】映射函数及其表示函数三要素函数的表示【考点梳理】1、映射的定义设是两个非空的集合，如果按照对应法则，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作。映射允许多对一，一对一，但是不允许一对多，允许集合B中的元素在集合A中没有元素和它对应。2、函数的概念设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个

2、，在集合中都有唯一的值与它对应，那么称为从集合到集合的一个函数。记作：.其中叫做自变量，叫做函数，自变量的取值范围（数集）叫做函数的定义域，与的值对应的值叫做函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域。3、函数的三要素函数的三要素是定义域、值域、对应法则，在这三要素中，由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两个要素。4、两个函数能成为同一函数的条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才是同一函数。5、区间的概念和记号设，且，我们规定：（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为。（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为。（3）满足不等式或的实数的

3、集合叫做半闭半开区间，分别表示为和。这里的实数和叫做相应区间的端点。 （4）实数可以用区间表示为“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们可以把满足的实数表示为6、函数的表示方法函数的表示方法有三种。（1）解析法：就是把两个变量的函数关系用代数式来表达，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。（2）列表法：就是列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法。（3）图像法：用图像来表示两个变量间的函数关系。7、分段函数在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。分段函数书写时，注意格式规

4、范，一般在左边的区间写在上面，右边的区间写在下面，每一段自变量的取值范围的交集为空集，所有段的自变量的取值范围的并集是函数的定义域。8、求函数的定义域的主要依据（1）分式的分母不能等于零；（2）偶次方根的被开方数必须大于等于零；（3）对数函数的真数；（4）指数函数和对数函数的底数且；（5）零次幂的底数； （6）函数的定义域是；（7）由实际问题确定函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。【典型例题】类型一：映射的概念例1以下对应中，从集合A到集合B的映射有 ；其中 是函数 。 （1） （2） （3） （4）解析：（1）、（2）、（4）是映射，（1）、（2）是函数。点评：1.判断是否

5、映射的方法：先看集合A中的每个元素是否在集合B中都有象；再看集合A中的每个元素的象是否唯一；2.函数是非空数集到非空数集的特殊映射，函数一定是映射，映射不一定是函数.举一反三：【变式】设集合A=R，集合B=R，则从集合A到集合B的映射只可能是（ ）A 、 B、 C、 D 、【答案】C；解析：A、B、D中元素没有象。例2. 已知在映射的作用下的像是，求在作用下的像和在 作用下的原像。解析：，所以在作用下的像是；或所以在作用下的原像是.点评：弄清题意，明白已知是什么，求的又是什么是本题的关键.举一反三：【变式】在映射，且，则与A中的元素对应的B中的元素为（ ）A、B、C、D、【答案】A；解析：类型

6、二：函数的概念例3下列各组函数中表示同一函数的是 。 （1），； （2）；（3）； （4）。解析：表示同一函数的是（1）、（3）。其中第（2）组的定义域不同，第（4）组的对应法则不同。点评：对应法则相同与函数的解析式相同是不一样的。对应法则是函数的核心，如（1）、（3）的对应法则是相同的。举一反三：【变式】下面各组函数中为相同函数的是（ ）A、， B、，C、， D、，【答案】C；解析：A中两函数的定义域不同，的定义域不含；B中两函数的定义域也不同，的定义域为，而的定义域为R；D中的对应法则不同。例4已知是一次函数，且满足，求解析：由题可设，所以化简得 所以 所以点评：换元法是常用的求解析式法，

7、注意新元的范围，最后要给出函数的定义域；也可以用配凑的方法；除以之外，若已知函数类型，还可以利用待定系数法求函数解析式。举一反三：【变式】 已知函数分别由下表给出： 则满足的的值是 . 【答案】2；解析：；.中.类型三：函数的定义域例5求下列函数的定义域； ；解析：（1）由得，所以函数的定义域为：。（2）由得，所以函数的定义域为：。点评：求具体函数的定义域往往转化为解不等式组,此时要细心，首先要找齐约束条件，借助数轴时要注意端点值或边界值。举一反三：【变式】已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】由的定义域是R，则恒成立，当时，显然成立；当时，；当时，综上，选C。【

8、变式3】若的定义域为，求的定义域。【答案】；解析：本题的实质是求在时的值域。令，当时，。故的定义域为。例6已知的定义域为，求的定义域.解析：中, 中，即，解得或 所求定义域是.点评：有关复合函数的定义域问题，要明确：（1）定义域是指单一的自变量的取值范围.如本题中的定义域为即；而的定义域，同样只指中的单一的自变量的取值范围.（2）在同一法则之下，括号内的整体范围是一致的。如本题中，应是函数的自变量的范围，同时也是括号内的整体范围；而要求解的的定义域是中的取值范围，此处的取值范围已不是中的的取值范围；但中的与中的的整体范围是相同的，可以此为桥梁求解。举一反三：【变式】设函数，则函数的定义域是 。【答案】由函数知，所以类型四：分段函数例7已