全等三角形几种常见辅助线精典题型

1、全等三角形几种常见辅助线精典题型、截长补短1、已知 ABC 中，A 60 ， BD、CE 分别平分 ABC和. ACB， BD、CE 交于点 O，试判断 BE 、CD 、 BC的数量关系，并加以证明2、如图，点 M 为正三角形 ABD的边 AB所在直线上的任意一点 （点B除外 ），作DMN 60 ，射线 MN 与DBA外角的平分线交于点 N ，DM与 MN 有怎样的数量关系 ?3、如图，ADAB，CBAB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，AMD=75，BMC=45，求 AB 的长4、已知：如图， ABCD 是正方形，FAD=FAE. 求证： BE+DF=AE.5、以 ABC的 AB、 AC

2、为边向三角形外作等边 ABD、 ACE，DFC连结 CD、 BE相交于点 O求证： OA平分 DOED6、如图所示， ABC是边长为 1的正三角形， BDC是顶角为 120 的等腰三角形， 以D为顶点作一个 60 的 MDN ，点M 、 N分别在 AB 、 AC上， 求 AMN 的周长7、如图所示，在 ABC中， AB AC，D 是底边 BC上的一点， E是线段 AD 上的一 点，且 BED 2 CED BAC ，求证 BD 2CD .8、 五边形 ABCDE 中， AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180 ，求证：AD 平分CDE二、全等与角度2、如图所示，在 ABC 中， AC

3、 BC ， C 20 ，又 M 在 AC 上， N 在BC 上，且满足 BAN 50 ，ABM 60 ，求 NMB.1、如图，在 ABC中， BAC 60 ， AD 是 BAC的平分线，且 AC AB BD ，求 ABC 的度数.3、 在正 ABC 内取一点 D ，使 DA DB，在 ABC 外取一点 E ，使 DBE DBC，且 BE BA，求 BED.A4、如图所示，在 ABC中， BAC BCA 44 ，M 为 ABC内一点，使得 MCA 30 ， MAC 16 ，求 BMC 的度数 .5、如图：在 ABC内取一点 M ，使得 MBA 30 ， MAB 10 .设 ACB 80 ，AC

4、BC， 求 AMC.6、如图，点 M 为正方形 ABCD的边 AB上任意一点， MN DM 且与 ABC外角的平 分线交于点 N，MD 与MN有怎样的数量关系？如是正五边形，正六边形呢？DC参考答案： 一、截长补短1、 BE CD BC ，理由是：在 BC上截取 BF BE，连结 OF ，利用 SAS证得 BEO BFO ， 1 2， A 60 ， BOC 90 1 A 120 ， DOE 120 ，2 A DOE 180 ， AEO ADO 180 ， 1 3 180 ， 2 4 180 ， 1 2， 3 4 ， 利用 AAS证得 CDO CFO，CD CF ，BC BF CF BE CD2

5、、 DM MN .过点 M作MGBD交 AD于点 G， AG AM ，GD MB 又 ADM DMA 120 ， DMA NMB 120 ADM NMB ，而 DGM MBN 120 ， DGM MBN ， DM MN 3、 过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 E. AMD=75，BMC=45 DMC =60DM=CMCD=DMMBADAB，DEBC，CBAB，AMD=75 ADM =EDCADM CDEAD=DE故 ABED 为正方形， AB=AD=h，选 D.4、延长 CB至 M，使得 BM=DF，连接 AM. AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DF ABMADF AFD=AMB，DA

6、F=BAM ABCDAFD= BAF= EAF+ BAE= BAE+ BAM= EAMAMB=EAM AE=EM=BE+BM=BE+DF.5、因为 ABD、 ACE是等边三角形，所以 AB AD， AE AC， CAE BAD 60 ， 则 BAE DAC ，所以 BAE DAC ， 则有 ABE ADC， AEB ACD ，BE DC在 DC 上截取 DF BO ，连结 AF ，容易证得 ADF ABO ， ACF AEO 进而由 AF AO得 AFO AOF ；由 AOE AFO 可得 AOF AOE ，即 OA 平分 DOE 6 、如图所示，延长AC 到 E 使EECECE BM .在

7、BDM 与 CDE 中，因为 BD CD ， MBD ECD 90 ， BM CE ，所以 BDM CDE，故 MD ED.因为 BDC 120 ， MDN 60 ，所以 BDM NDC 60 . 又因为 BDM CDE ，所以 MDN EDN 60 .在 MND与 END中， DN DN， MDN EDN 60 ，DM DE ， 所以 MND END，则 NE MN，所以 AMN 的周长为 2.7 、如图所示，作BED的平分线交 BC于 F ，又过 A作 AHEF 交 BE 于G ，交 BC于 H ，则知1 EAG DEF BEF AGE BAC ，从而 GE AE.21又 AGE BED

8、CED ，则 AGBCEA.2由 ABE BAE BED BAC CAE BAE 可得 ABG CAE.注意到 AB CA，故有 ABG CAE ，从而BG AE， AG CE ，是 BG GE.1又由 AH EF ，有 BH HF ，GH EF ，2 CD EC AG AH GH EF EF EF1 1 1 BF FD BD ，故 2 2 2而 CED FED ，从而1即 CD HD FD HF2FD1FD2AH HD 且.EF FDAH 1 HD 1 ，2 FD 2 ，EFBD 2CD .8、延长 DE 至 F，使得 EF=BC，连接 AC. ABC+AED=180，AEF+AED=180

9、 AB=AE，BC=EFABCAEFEF=BC，AC=AFBC+DE=CDCD=DE+EF=DFABC=AEFADCADF ADC=ADF 即 AD 平分CDE.二、全等与角度1、如图所示，延长 AB至E使BE BD，连接 ED、EC.由 AC AB BD 知 AE AC ，而 BAC 60 ，则 AEC 为等边三角形 .注意到 EAD CAD ， AD AD， AE AC，故 AED ACD.从而有 DE DC ， DEC DCE ，故 BED BDE DCE DEC 2 DEC.所以 DEC DCE 20 ， ABC BEC BCE 60 20 80 【另解】在 AC 上取点 E，使得 A

10、E AB ，则由题意可知 CE BD.A在 ABD 和 AED 中， AB AE ， BAD EAD ， AD AD ，则 ABD AED，从而 BD DE ，进而有 DE CE， ECD EDC ，AED ECD EDC 2 ECD.注意到 ABD AED ，则：13ABC ACB ABC ABC ABC 180 BAC 120 ，22故 ABC 80 .点评】由已知条件可以想到将折线 ABD “拉直”成AE ，利用角平分线 AD可以构造全等三角 形.同样地，将 AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思

11、想 .上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法，”它们是证明等量关系时优先考虑的方法 .2、过 M作 AB的平行线交 BC于K ，连接 KA交MB于P. 连接 PN，易知 APB、 MKP 均为正三角形 .因为 BAN 50 ， AC BC ， C 20 ，所以 ANB 50 ， BN AB BP ， BPN BNP 80 ， 则 PKN 40 ， KPN 180 60 80 40 ， 故 PN KN . 从而 MPN MKN .进而有 PMN KMN ， NMB 1 KMP 3023、如图所示，连接 DC.因为 AD BD， AC BC，CD CD ，则 ADC BDC ，故 BCD 30

12、 .而 DBE DBC ， BE AB BC ， BD BD ， 因此 BDE BDC ，故 BED BCD 30 .4、在 ABC 中，由 BAC BCA 44 可得 AB AC， ABC 92 . 如图所示，作 BD AC于 D点，延长 CM 交BD于O点，连接 OA， 则有 OAC MCA 30 ，BAO BAC OAC 44 30 14 ，OAM OAC MAC 30 16 14 ，所以 BAO MAO.又因为 AOD 90 OAD 90 30 60 COD ， 所以 AOM 120 AOB . BOM 120 而 AO AO ，因此 ABO AMO ， 故 OB OM .由于 BOM 120 ，则 OMB OBM 180 BOM 30 ，2故 BMC 180 OMB 1505、如图所示， ABC的高CH 与直线 BM 交于点 E，则 AE BE.而 EAM EAB MAB 30 10 20 ，1ACE