4.5相似三角形的性质及其应用(1)

1、4.5 相似三角形的性质及其应用（1） 相似三角形的对应线段（对应边，对应边上的中线、高线、对应角的平分线）之比等于相似 比. 1.如图所示，也| ABCD中, E是边BC上的点，AE交BD于点F,如果BE： BC=2： 3，那么下列 各式错误的是（C）. （第1 2.如图所示，在 F 为 BC边 题） ABC中，D论中，正确的是 上一点， 连结 (第 2 题) (C). AF （第 3 题） ,E分别为AB, AC边上的点，DE/ BC点 交 DE于点 G , 则下列结 (第 4 题) ftp (E 入 ABEC* ADAEAF 3. 如图所示，AB是OO的直径，过点 O作AB的垂线与弦 A

2、C交于点D,连结BC OO的半径为4,则CD等于（A）. A.1.4B.1.8C.2.4D.2.6 4. 如图所示，边长为 12的正方形ABCD中，有一个小正方形 EFGH其中点E, F, AB BC, FD上.若BF=3,则小正方形的边长为（A）. 15 A.B.2 Ad AC EC 若 OD=3 G分别在 Rt OAB的顶点与坐标原点重合，/ AOB=90 , 5.如图所示, C.4D.5 (第 8 题) 4 J i (第 7 题) AO=3B O当点 A在反比例函数 9 y= x （x 0）的图象上移动时，点 B坐标满足的函数表达式为 (A). A.y=- C.y=- 1 (x v 0)

3、 x (x v 0) 3x B.y=- D.y=- 3 (x v 0) x 丄(xv 0) 9x 6.如图所示,点 D, 长为10. E分另【J在 AB AC上,且/ ABCd AED若 DE=4, AE=5 BC=8 贝U AB的 7.如图所示,在ABCD中, E是边BC上的点，AE交BD于点 F,如果聖 Z，那么匹 FD 3BC 第1页 AP2 A匚的值为- 3 2 3 8. 如图所示，已知在厶 ABC中，AB=3, AC=2 D是边 AB上的一点，/ ACDM B,Z BAC的平 分线AQ分别与CD BC交于点P, Q,那么 AQ 9. 如图所示，MN经过 ABC的顶点 A, MIN/

4、BC 连结DE AM=AN MC交 AB于点 D, NB交 AC于点 E, （第 9 题） 第5页 ADAE BD EC （2） T DE/ BC； MN=2AM=3. （1）求证：DE/ BC （2）若 DE=1, BC=3 求 MN的长. =- -= -AD AE 【答案】（1） MN/ BC *. AM=AN =. DE/ BC. （第11题） （第 12 题） 13题） （第14 题） 12.如图所示，D是等边三角形 ABC边AB上的一点，且 AD： DB=1 : 2,现将 ABC折叠，使 点C与D重合，折痕为 EF,点E, F分别在AC和BC上 ,贝U CE： CF等于（B）. 10

5、. 如图所示，已知矩形 ABCD勺两条对角线相交于点 0,过点A作AGL BD分别交BD, BC于 点 G, E. （1）求证：BE=EG- EA. （2）连结 CG 若 BE=CE 求证：/ ECGMEAC. 善卞I（第10题） 【答案】（1） I 四边形 ABCD是矩形，ABC=90 . v AE1 BDBGE=90 =Z ABC. EA BE 2 /BEGMAEB ABEBGE/.=. BE=EG EA. BE EG CE AE 由（1）证得 BE=EG- EA / BE=C E - CE=EG EA.=. vM CEGMAEC CEG EG CE AECECGM EAC. 11. 如图

6、所示，等腰直角三角形 ABC的直角边长为3 , P为斜边BC上一点，且BP=1 , D为AC 上一点若/ APD=45 ,则CD的长为（C. 13. 如图所示,在厶 ABC中，AB=AC=aBC=bba b），在 ABC内依次作/ CBDM A, M DCEM CBD 则DE等于（C）. AD=8 AE=4,贝U AF 的长为 25 （第 . v AE=4 AB=AC=6 EF=1Q DE CE=2. 匹=卫. BE- DE=20. 2 DE 17.如图所示，在平面直角坐标系中, 4 直线y=-x+3与x轴交于点C,与直线AD交于点A（, 3 5 ），点D的坐标为（0 , 1）. 3 （不与点

7、 B重合），当 BODM BCE （1）求直线AD的函数表达式. （2）直线AD与x轴交于点 B,若点 图2 45 【答案】（1）设直线 AD的函数表达式为y=kx+b.将A （, - ） , D 33 E是直线AD上一动点 （0,1）代入，得 14. 如图所示，在矩形 ABCD中，对角线 AC BD交于点0,过点A作EALCA交DB的延长线 AC7 于点E,若AB=3, BC=4则的值为. AE24 15. 如图所示，在 ABCD中,过点A作AE1BC,垂足为点E,连结DE F为线段DE上一点， 且/ AFE=/ B.若 AB=5 （第16题答图） 16. 如图所示，在厶 ABC中，AB=A

8、C=6 / A=2Z BDC BD交 AC边于点 E ,且 AE=4,贝U BE- DE= 20 . 1 【解析】如答图所示，延长CA到点F ,使得AF=AB,连结BF ,则/ F=Z ABF= 2 BE / BAC.vZ BAC=Z BDC ,F=Z BDC.又 v/ FEB* DEC ,FEB s DEC/. CE 1 .直线 AD的函数表达式为 y= x+1. 2 1）, 0D=1/. BD= /直线 AD与x轴的交点为（-2, 0）, OB=2.v点 D的坐标为（0 , OB2 OD2= 5. / y=-x+3 与 x 轴交于点 C （3 , 0） , OC=3. BC=5. BO o

9、d2 1 如答图1所示，当：公 BOD BCE时，贝U=, / BCE* BOD=90 , / =,解 BC CE5 CE 55 得CE=. 点E的坐标为（3,）. 22 如答图2所示，当 BEC时，贝U ,解得 BE=25 CE=5. 过点E作EFx轴于点 |岂=空即虫=空 F,易知 BEFsBCE,.*5 胪，解得 EF=2. 二CF=.CE2 EF2 =1. OF=2. 点E的坐标为(2 ,2).综上可得点E的坐标为(3 ,-)或(2 , 2 2). 18. 如图所示，在梯形 ABCD中, AD/ BC / BCD=90，对角线 AC, BD交于点E,且ACLBD (1)求证：cD=bc

10、 ad (2) F是BC边上一点，连结 AF与BD交于点G,如果/ BAFK DBF求证: AG2 AD2 =BGBD (第 18 题) 【答 案】 (1) I AD/ BC ,/ BCD=90 ,ADCM BCD=90 . v ACL BD ad cd / ACD# ACBM CBD# ACB=90 .ACDM CBD.A ACD s DBC. = , 即 CD BC cD=bc ad. (2) v AD/ BCADBM DBF/ / BAF=/ DBF / ADBM BAF.v/ ABGM DBA ABG s DBA. DBA , BG AB 2 AB =BG- BD. AB BD p。

11、_川胛 _ HG * HD_ HC SIF_ BD7 SIP BD (第 19题) 19. 【深圳】如图所示，在 Rt ABC中，/ ABC=90 , AB=3 BC=4 Rt MPN的直角顶点 P在 AC上 , PM交 AB于点 E, PN交 BC于点 F,当 PE=2PF时,AP= 3. 20. 【杭州】如图所示,在锐角三角形 ABC中，点D, E分别在边AC, AB上 , AGLBC于点G, AFL DE于点 F, / EAF=/ GAC. (1)求证： AD0A ABC. AF (2 )若 AD=3 AB=5求 的值 AG 打 (第20题) 【答案】 IAGL BC AF丄 DEAFE

12、* AGC=90 . v/ EAFg GAC./AEDM ACB又 / EAD* BACADE sABC. (2)由(1)知厶 ADE s ABC, AD =3 . v AFE=* AGC/EAF/ CAG EAF s AB AC 5 CAG/- AF AE AF 3 AG AC AG 5 21.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图 垂足为点 P，设BC=a AC=b AB=c.求证: 1所示，已知 AF, BE是 ABC的中线，且 AFL BE a2+b2=5c2.该同学仔细分析后，得到如下解题思路： 先连结EF,利用EFABC的中位线得到 EPFs BPA 故 ,设 PF=m 第6页 PE=n

13、,用m n把PA PB分别表示出来，再在 Rt APE Rt BPF中利用勾股定理计算，消 去m n即可得证. (1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程 (2 )利用题中的结论，解答下列问题： 在边长为3的菱形ABCD中 , O为对角线AC, BD的交点，E, F分别为线段AQ DO的中点， 连结BE, CF并延长交于点 M BM CM分别交AD于点G, H,如图2所示，求mG+mH的值. 图2 (第21题) 【答案】 设PF=m PE=n,连结EF. v AF, BE是 ABC的中线，/ EFABC的中位线， PF 卜:F | n m I AE=-b , BF=-a. / EF/ AB EF=- c. / EPFs BPA./ fliJ 灯一 2即丿如一尸 2 2 2 2 1 / PB=2n PA=2m在 Rt AEP中，v Ph+PA=Ah , /.n2+4ni= b2.在 Rt BFP中，v PF2+pB=BF2 , 4 11 1 /.m+4n2= a2.+得 5 (n2+m)= (a2+b2),在 Rt EFP 中，v pW+PFeF , /.n+m=- 444 2I 2 I 22222 c . / 5 c = (