不等式地性质与一元二次不等式

1、不等式的性质与一元二次不等式1、两个实数比较大小的方法a b1? a b a b0? a b ba（1）作差法 a b 0? a b （a，bR）；（2）作商法 b1? a b（a R，b0）a b0? a b aa1? a b? bb，bc? ac?可加性ab? a cbc?可乘性错误 !? acbc注意 c 的符号错误 !? acbd?同向同正可乘性错误 !? acbd?可乘方性ab0? anbn（nN）可开方性ab0? n an b（n N）a，b 同为正数3、不等式的一些常用性质(1)倒数的性质：111 0axb 或 axb0? bxb，ab0? ； a0b? b0,0cb0， m0，

2、则，b b maa a m（bm0）；aam；abm；b0）4、“三个二次 ”的关系判别式 b24ac000) 的图像ax2bxc0(a0) 的根有两相异实根x1，x2(x10（a0） 的解集 x|xx2b x|x 2a x|xR2ax2bxc0）的解集 x|x1x0 或(x a)(xb)0 型不等式的解法不等式解集ab（xa） （xb）0 x|xbx|x a x|xa（xa） （xb）0 x|axb? x|bxa口诀：大于取两边，小于取中间选择题：设 ab1babB.a1 ba1ab aC|a|bD. a b1 1 1 1解析 由题设得 aab0，有a1ba1不成立若 aln33，bln44

3、，cln55，则()A abcBcbaCcabDbac解析 易知 a，b，c都是正数，ab43llnn43log8164b；bc54llnn54log62510241，bc，即 cba若 a，bR，若 a |b|0Ba3 b30Ca2b20Dab0解析 由 a|b|0 知，a|b|，当 b0 时， a b0 成立，当 b0 时， ab0 成立， a bb 成立的充分而不必要的条件是 ( )A ab1Bab1Ca2b2Da3b3解析 由 ab1，得 ab1b，即 ab，而由 ab 不能得出 ab 1， 使 ab 成立的充分而不必要 的条件是 ab1.1 1 1 a b已知 0aNBMNCM ND

4、不能确定11a 1b2 2ab解析 0a0,1b0,1ab0， MN 0b1a 1b 1 a 1b已知实数 a，b，c 满足 bc6 4a3a2，cb44aa2，则 a，b，c 的大小关系是 （）Ac baBacbCcbaDacb解析 cb44aa2（a2）20，cb.又 bc64a3a2， 2b22a2， b a21，2 1 2 3 baa2a1（a2）240，ba，cba.设 a2，A a1 a，B a 2 a2，则 A，B 的大小关系是 （）A ABBAB2已知 a1，a2（0,1），记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是 （）AMNCMND不确定解析 MNa1a2（

5、a1a21）a1a2 a1a21a1（a21） （a2 1）（a1 1）（a2 1），又a1（0,1），a2（0,1）， a110，a210，即 MN0，MN.已知 xR，m （x1）（x22x1），n（x12）（x2x1），则 m， n 的大小关系为 （）AmnB mnCmnDm0.则有 xR 时，mn 恒成立已知 a， b，c 满足 cba，且 ac acB c（b a）0Ccb20解析 由 cba 且 ac0 知 c0，由 bc 得 abac 一定成立cc设 ab1，c ； acloga（bc）ab其中所有的正确结论的序号是 （ ）ABCD11解析 由不等式性质及 ab1 知11，abc

6、c又 cb，正确；构造函数 yxc，cb1， acb1，cbc1，logb（ac）loga（ac）loga（bc），知 正确设 a，bR，则“（ab）a20”是“ ab”的（）A 充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件解析 由（ab）a20? a0 且 ab，充分性成立；由 ab? a b0，当 0ab 时? /（ab） a20，必要性不成立 设 （0，2），0，2 ，则 2 3的取值围是 （）D（6，）5 5A（0， 6 ）B（6， 6 ）C（0，）解析 由题设得 02，036，630，62 30，集合 B x|2x2 ，则 AB 等于（）A（1,3）B（， 1

7、）C（ 1,1）D（3,1）解析 依题意，可求得 A（ 1,3），B（ ， 1），AB（1,1）已知集合 Px|x2x20，Qx|log2（x1）1，则（?RP）Q 等于（）A2,3B（，13，）C（2,3D（， 1（3， ）解析 依题意，得 Px|1x2，Qx|1x3，则（?RP）Q（2,311已知不等式 ax2bx10的解集是 2，3 ，则不等式 x2bxa0的解集是 ()1 1 1 1 A(2,3)B(， 2) (3， )C. 3，2D. ，3 2，1 1 1 1 b 1 解析 由题意知 21，13是方程 ax2bx10 的根，所以由根与系数的关系得 21 31 ab， 121 1 2

8、2 3 ，解得 a6，b5，不等式 x2bxa0即为 x25x60，解集为(2,3)a3若一元二次不等式 2kx2kx380对一切实数 x都成立，则 k的取值围为 ( )A (3,0B 3,0)C 3,0D(3,0)3解析 2kx2kx80 对一切实数 x都成立，2k0，则必有 3 解之得 3k0. k2 4 2k 8 0，则 a 的取值围是 ()A(0,4)B0,4)C(0， )D(，4)2a0，解析 任意 xR， ax2ax10，则必有2或 a0，0a4.a24ag(x)Cf(x)0? f(x)g(x)已知函数 f(x) xx22x，2xx，x03的解集为 x22x，x1.故原不等式的解集

9、为 x|x1x0，x3x 2x3，x2 4x6， x0，设函数 f(x) xx64，xx3则不等式 f(x)f(1)的解集是 ()B(3,1)(2，)D(， 3)(1,3)x0，解得 3x3.x63，已知函数 f(x) xx2，2，xx0，0， 则不等式 f(x)x2的解集为 ()x2，x0，A1,1B2,2C 2,1D 1,2解析 作出函数 yf(x)和函数 yx2的图像，如图，由图知 f(x) x2的解集为 1,1若集合 Ax|ax2ax10 ，则实数 a的取值围是 ()A a|0a4Ba|0a4Ca|0a4Da|0a4得 00，解析 由题意知 a0 时，满足条件， a 0 时，由2a24

10、a0，已知不等式 x22x30 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集是 B，不等式 x2axb0的解集是 AB，那么 ab等于 ()A 3B1C 1D3解析 由题意，得 Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，则不等式 x2axb0 的解集为 x|1x0，且 a1，Ploga（a31），Qloga（a21），则 P与Q 的大小关系是 解析 由题意可知 a1. （a3 1）（a2 1） a2（a 1）0， a31a21，loga（a31）loga（a21），即 PQ.设 abc0，x a2 bc 2，y b2 ca 2，z c2 ab 2，则 x，y，z 的大小关系是 解析 令 a3，b

11、2，c 1，则 x 18，y 20，z 26，故 zyx.设 f（x）ax2bx，若 1f（1） 2， 2f（1）4，则 f（2）的取值围是 f 1 a b， 解析 由f 1 a b，f（2）4a2b3f（1）f（1）1 a 2f 1 f 1 ，1 b2f 1 f 1 .又1f（1）2,2f（1）4，53f（ 1）f（1）10，故 5f（2）10.若关于 x的不等式 m（x1）x2x的解集为 x|1xx2 x 的解集为 x|1x0且 x1x2a210，故 1a0 恒成立，即 g（k）（x2）k （x24x4）0，2 x 5x 60，在 k1,1时恒成立只需 g(1)0且 g(1)0，即 2 解

12、之得 x3. x23x20，已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，则实数 m 的取值围是 解析 作出二次函数 f(x)的草图，对于任意 xm ，m 1，都有 f(x)0，22f m 0， 则有f m 1 0，解得 22m0.m2m210， 即2m1 2m m1 10恒成立，则实数 a的取值围是 2x 2x a2解析 x1，)时，f(x)x 0恒成立，即 x22x a0 恒成立即当 x1 时， a(x22x)g(x)恒成立而 g(x)(x22x)(x1)21 在1，)上单调递减， g(x)max g(1) 3，故 a3，实数 a 的取值围是 a|a3 1若

13、 0a0 的解集是 a1 1 1解析 原不等式即 （x a）（x 1a）0，由 0a1得 aa1，axa1.ax 11已知关于 x 的不等式 x10 的解集是 x|x2 ，则实数 a ax 111解析0? （x1）（ax 1）0，依题意，得 a1，f（2） a1 ，则实数 a的取值围是 21a3.解析 f（x3）f（x），f（2）f（13）f（1） f（1）1.2a3 1?a13a20? （3a2）（a 1）0在区间1,5上有解，则实数 a的取值围是 解析 设 f（x）x2ax2，由题知： a2 8 0，所以方程 x2ax20 恒有一正一负两根， 23于是不等式 x2ax20在区间1,5上有解

14、的充要条件是 f（5）0，即 a 5， .14若关于 x的不等式 axb的解集为 ，5 ，则关于 x的不等式 ax2bx5a0的解集为解析 由已知 axb的解集为 ，15 ，可知 a0两边同除以 b 4 1 4 4 4 4 a，得 x2ax50，即 x25x50，解得1x0的解集为 1，5 .不等式 a28b2（bab）对于任意的 a， b R 恒成立，则实数 的取值围为 解析 因为 a2 8b2 (bab)对于任意的 a，b R 恒成立，所以 a28b2b(ab)0 对于任意的 a， bR 恒成立，即 a2 ba(8)b20 恒成立，由二次不等式的性质可得，2b24（8）b2b2（2432）

15、0，（8）（4）0，解得 84.解答题： 设函数 f(x)mx2mx1.若对于 x1,3，f(x)0，又 m（x2 x 1） 60， m 2x2x1 函数 y6x2x1x61223在1,3上的最小值为 76，3476 只需 m67即可，m 的取值围是 m|m67 .设二次函数 f(x)ax2bxc，函数 F(x)f(x)x 的两个零点为 m，n(m0 的解集；1(2)若 a0，且 0xmn0，即 a(x1)(x2)0.当 a0时，不等式 F(x)0 的解集为 x|x2 ；当 a0 的解集为 x|1x0，且 0xmn1a， x m0 ，f（x）m0，即 f（x）0；(2)若不等式 f(x)b的解

16、集为(1,3)，数 a， b的值解 (1)由题意知 f(1) 3 a(6 a) 6 a2 6a30，即 a2 6a 30，解得 32 3a32 3，不等式的解集为 a|32 3 ab 的解集为 (1,3)，方程 3x2a(6a)x6b0 的两根为 1,3，1 3a 6 a31 36b，3，a 3 3，解得 ba33.3， ，即 a的值为 3 3，b的值为3.专项能力提升若 ab0，则下列不等式中一定成立的是 ( )Aab1b1abaB.abb1a a 1Cab1b1abaD.2ab aa2b b1解析 取 a2，b1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x)xx是(0， )上的增函数，但函数 g

17、(x)x1 1 1 1x在(0,1上递减，在 1，)上递增， 当 ab0 时，f(a)f(b)必定成立，即 aabb? abb1 a，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A.a设 a0，不等式 caxbc 的解集是 x|2x1 ，则 abc 等于()A12 3B213C312D321b c c b解析 caxb0， a x abc不等式的解集为 x|2x1 ，a 2，b2，cb13c2a，a 3aa b ca2 2 213.已知 a， b，c 满足 cba 且 ac0b2 a2C.ccD.acac0c b b aa c解析 cba且 ac0，c0，ac0， ac 0，b2 a2但 b2与 a2

18、的关系不确定，故 bcac 不一定成立1已知函数 f(x)ax2bx c(a0)，若不等式 f(x)0 的解集为 x|x3 ，则 f(ex)0(e 是自然对数的 底数 )的解集是 ()Ax|xln 3B x|ln 2xln 3C x|xln 3D x| ln 2xln 31 x 1 x 1解析 法一 依题意可得 f(x)a x2 (x3)(a0)，则 f(ex)a ex 2 (ex3)(a0，可得 2ex3，解得 ln 2x0 的解集是 （1,3），则不等式 f（2x）0 的解集是 （）31A（， 2）（2， ）31B(23，21)13 C（， 2） （2， ）13D(2，2)解析 f（x）0 的两个解是 x11，x23 且 a0，31 由 f（2x）3 或 2x1，x2.若关于 x的不等式 x22ax8a20）的解集为（x1，x2），且 x2x115，则a等于（）A.527B.72C.14515D.2解析 由 x22ax8a20，得（x 2a）（x 4a）0，不等式的解集为 （2a,4a），即 x24a，x1 2a，由 x2x115，5得 4a （2a