2004年普通高等学校招生全国统一考试Ⅰ文

1、2004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)共150分.考试时间120分本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分 钟.第I卷(选择题共60 分)球的表面积公式S=4 二 R 2其中R表示球的半径, 球的体积公式43V= R ,3其中R表示球的半径参考公式:如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P( A)+P( B)如果事件A、B相互独立，那么P (A B) =P (A) P ( B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=C： Pk(1 P)n - k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1 设集合

2、U=1 , 2, 3, 4, 5 , A=1 , 2, 3, B=2 , 5，则 AQ( ( u B)=()A. 2B.2 , 3C. 3D.1 , 32.已知函数1 -x1f (x) - ig,若 f (a),则 f (a) =()1 +x211A. 一B. C. 2D. 2223.已知a+b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么|a+3 b|=()全国卷数学(文)第1页(共8页)B.、10C. 13D. 44.函数 y = .x-11( x 1)的反函数是A.2y 二 x-2x 2( x : 1)C.2y 二 x-2x( x : 1)2B. y = x 2x 2(x - 1)2D. y=x

3、 -2x(x-：1)3 1 75. (2x3 )7的展开式中常数项是VxA. 14B. 14C. 42()D. 42c 、rtn -H-6. 设：；三(0,)右 sin :27A.-55417B .-C .-52,贝U 2 cos( )=2Fi、F2,过Fi作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点x7. 椭圆一y2 =1的两个焦点为4()D . 4为 P,则 | PF 2 | =Q3；7A.B. .3C. 一2 28. 设抛物线y2 =8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线丨与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）1 1AB. 2, 2C. 1 , 1D . 4, 42 29. 为了得

4、到函数 y =sin（ 2）的图象，可以将函数 y = cos 2x的图象（）54A.B.991110()C .D .21212 2 2 2 2 212.已知 a b 1, b c 2,c aA .、3 1B .1 - -322=2,则ab bc ca的最小值为（）C.丄一3 D.丄+心2 2A.向右平移-个单位长度B.向右平移一个单位长度63C.向左平移JT-个单位长度D .向左平移一个单位长度6310 .已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H,设四面体EFGH的表面积为T,则T等于S( )1411A .-B .C .D .-994311 .从 1 , 2，9这

5、九个数中，随机抽取3个不同的数，则这 3个数的和为偶数的概率是第H卷（非选择题共90 分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上13. 不等式x+x30的解集是 .14. 已知等比数列 an中，a3 =3,a10 =384,则该数列的通项 an =.2 215. 由动点P向圆x +y =1引两条切线PA、PB,切点分别为 A、B,Z APB=60 ，则动点P的轨迹方程为 .16. 已知a、b为不垂直的异面直线，：是一个平面，则a、b在上的射影有可能是 .两条平行直线两条互相垂直的直线同一条直线一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论

6、的编号）.三、解答题：本大题共 6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）等差数列 an 的前n项和记为Sn已知a10 =30,a 20 = 50.(I)求通项a n ;(n)若 Sn=242，求 n.18.（本小题满分12 分）全国卷数学（文）第8页（共8页）求函数f（x）sin 4 x cos 4 x 亠 sin ? x cos ? x的最小正周期、最大值和最小值19. （本小题满分12分）已知f （x）二ax 3 3x - sin 2x -x - 1在R上是减函数，求a的取值范围20. （本小题满分12分）从10位同学（其中6女，4男）中随机选出

7、3位参加测验每位女同学能通过测验的概4 3率均为4，每位男同学能通过测验的概率均为-.试求：5 5（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率21. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥 PABCD ,PB丄AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面 PAD与底面ABCD所成的二面角为120 .（I）求点P到平面ABCD的距离；（II ）求面APB与面CPB所成二面角的大小22. （本小题满分14分）2XC设双曲线C:2 y =1（a0）与直线|：x+y=1相交于两个不同的点 A、B.a2（I）求双曲

8、线 C的离心率e的取值范围：5 （II）设直线I与y轴的交点为P,且PA PB .求a的值.122004年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I）参考答案、选择题DBCBABCCBACB、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上13. x|x014. 3 2n315. x2 y2 =416.三、解答题17本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力满分12分.解：(I)由 an- (n _1)d ,a10 =30, a20 =50,得方程组7分12分12分.a1+9d=30,4 分 解得 a1=12,d=2.所以 a2 n+10.a, +19

9、d =50./ 、丄n(n 1)心、“(n)由 Sn 二 na!d,Sn = 242 得万程2n(n 1)八 ” ,口12n2 = 2 4 210分解得n =11或n = -22(舍去).218本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函数的有关性质满分2 2 2 2 2(sin x 亠 cos x) sin x cos x解：f (x):2 2 sin xcos x2 21 s in x co s x2(1 s in x c o s)1= _(1 亠 sinxcos)211二一si n2x .422 1所以函数f (x)的最小正周期是？.，最大值是一，最小值是一12分3 419本小

10、题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运 用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数 f(x)的导数：f (x) = 3ax 2 6x -1. 3分(I)当 f (x) : 0 ( x R )时，f (x)是减函数.=a ： -3.23ax - 6x -1 : 0(x R) = a : 0且厶=3612a : 0所以，当a ： -3时,由f (x) ： 0,知f(x)(xR)是减函数； 9分32138(II )当 a - -3 时，f(x) =3x3 3x2 -x T = 3(x),9由函数y = x 3在R上的单调性，可知全国卷数学(文)第12页(共8页)

11、当a -；时，f (x)(x .二R )是减函数;(川)当a . -3时，在R上存在一个区间，其上有 f (x) .0,所以，当a . _3时，函数f(x)(xR)不是减函数综上，所求a的取值范围是(一：，_3. 12分20.本小题主要考查组合，概率等基本概念，独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力，满分12分.解：(I)随机选出的 3位同学中，至少有一位男同学的概率为1-10(n)甲、乙被选中且能通过测验的概率为1C 84343C10551 2 512分21本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力满分12分.(I)解：如图，作

12、 PO丄平面ABCD，垂足为点 O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于 点E,连结PE./ AD 丄 PB,. AD 丄 OB ,/ PA=PD , OA=OD ,于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以由此知/ PEB为面PAD与面 ABCD所成二面角的平面角， 4分/ PEB=120。，/ PEO=60 由已知可求得PE= . 3PE丄 AD 33 PO=PE sin60 = 32 23 即点P到平面ABCD的距离为 6分2(II )解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.P(0,0,3), B(0, U,0), PB 中点2 2G的坐标为(0,U,3).连结 AG

13、44又知A（1,竺,030,C( -2,23 ,0）.由此得到233GA =(1,),44333PB =(0,),BC 二(-2,0,0).22于是有 GA PB 二 0, BC PB 二 0全国卷数学（文）第16页（共8页）所以 GA _ PB BC _ PB. GA, BC 的夹角 j等于所求二面角的平面角， 10分GA BC于疋 cos =:|GA | |BC |所以所求二面角的大小为二-arccos712分2解法二：如图，取PB的中点 G，PC的中点F，连结EG、AG、GF,贝U AG丄PB, FG/BC ,1FG= BC.2/ AD 丄 PB,. BC丄 PB, FG丄 PB,/ A

14、GF是所求二面角的平面角.9分/ AD 丄面 POB , AD 丄 EG又 PE=BE , EG丄 PB,且/ PEG=60 .在 Rt PEG 中，EG=PE cos601在 Rt PEG 中，EG= AD=1.2于是 tan/ GAE=EG爲又/ AGF= n -/ GAE.所以所求二面角的大小为n - arctan 12分2AE22.（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想 和综合解题能力.满分14分.解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组2x2-y 1,ax y = 1.有两个不同的实数解.消去y并整理得2 2 2 2(1 a ) x +2a x 2a =0. 21 -a 鼻 0.424a - 8a (1-a2)解得 0 ： a ： 、2 且 a-1.-