高等代数考研习题精选

1、高等代数 试题库一、 选择题1在f x 里能整除任意多项式的多项式是（）。a零多项式b零次多项式c本原多项式d不可约多项式2设g ( x) =x +1是 f ( x) =x 6 -k 2 x 4 +4 kx 2 +x -4的一个因式，则 k =（）。a 1 b 2 c 3 d 43以下命题不正确的是（）。a .若 f ( x) | g ( x), 则 f ( x ) | g ( x) ； b .集合 f =a +bi | a, b q是数域；c .若 ( f ( x ), f ( x ) =1,则f ( x)没有重因式；d设p ( x)是f ( x )的k -1重因式，则p ( x)是f (

2、x )的k重因式4整系数多项式f ( x) 在 z 不可约是f ( x ) 在 q 上不可约的()条件。a .充分 b .充分必要 c .必要 d 既不充分也不必要 5下列对于多项式的结论不正确的是（）。a .如果 f ( x ) g ( x), g ( x) f ( x )，那么f ( x) =g ( x)b.如果f ( x ) g ( x), f ( x ) h( x )，那么f ( x) ( g ( x) h( x )c .如果 f ( x ) g ( x)，那么h ( x) f x，有f ( x ) g ( x) h( x )d .如果 f ( x) g ( x ), g ( x) h

3、( x )，那么f ( x ) h( x)6对于“命题甲：将n(1)级行列式 d 的主对角线上元素反号,则行列式变为 -d ；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。a.甲成立,乙不成立；b.甲不成立,乙成立；c.甲,乙均成立；d甲,乙均不成立7下面论述中,错误的是()。a.奇数次实系数多项式必有实根； b .代数基本定理适用于复数域；a a . ac任一数域包含q；d在p x中,f ( x) g ( x) = f ( x) h ( x) g ( x) =h ( x )8设d = aij，aij为aija a . a11 21 n1的代数余子式,则 12 22 n 2 =()。.

4、 . . .a1na2 n. anna.db.-d c.d /d( -1)nd4109.行列式3 -2a中，元素a的代数余子式是（）。65-7a4 06 -7b4 16 5c -4 06 -7d -4 16 510以下乘积中（）是5阶行列式d = aij中取负号的项。a . a a a a a ； b . a a a a a ； c a a a a a ； d . a a a a a31 45 12 24 53 45 54 42 12 33 23 51 32 45 14 13 32 24 45 5411.以下乘积中（）是 4 阶行列式d = aij中取负号的项。a . a a a a ； b

5、. a a a a ； c a a a a ； d . a a a a11 23 33 44 14 23 31 42 12 23 31 44 23 41 32 1112.设a, b均为n阶矩阵，则正确的为（）。a . det( a +b ) =det a +det b b . ab =bacdet( ab ) =det( ba) d.( a -b )2=a2-2 ab +b213.设 a 为 3 阶方阵， 的是（）a , a , a 1 2 3为按列划分的三个子块，则下列行列式中与 a 等值a . a -a1 2a -a2 3a -a b . a3 1 1a +a1 2a +a +a 1 2

6、3c a +a1 2a -a1 2a d . 2 a -a3 3 1a1a +a1 314.设a为四阶行列式，且a =-2，则a a =（）a . 4 b . 25 c -2 5 d . 815.设 a 为 n 阶方阵， k 为非零常数，则det(ka) =（）a.k (det a) b.k det a ckndet a d.kndet a16.设 a ， b 为数域 f 上的 n 阶方阵，下列等式成立的是（）。n2n222 2 2a.det( a +b ) =det( a) +det( b )；b.det( ka) =k det( a)；c det( ka) =kn -1det( a) ；

7、d . det( ab ) =det( a)det( b )17.设 a *为 n 阶方阵 a 的伴随矩阵且 a 可逆，则结论正确的是（）a.( a*)*=| a |n -1a b.( a*)*=| a |n +1ac( a*)*=| a |n -2ad.( a*)*=| a |n +2a18.如果 aa-1 =a-1a =i，那么矩阵 a 的行列式 a 应该有（）。a.a =0；b.a 0；ca =k , k 1；d.a =k , k 1 d . | a |=k , k -128.a是n阶矩阵，k是非零常数，则ka =()。a . k a ； b . k a ； c k na d . | k

8、 |na29.设a、b为n阶方阵，则有（）.a . a ， b 可逆，则 a +b 可逆 b . a ， b 不可逆，则 a +b 不可逆c a 可逆， b 不可逆，则 a +b 不可逆 d . a 可逆， b 不可逆，则 ab 不可逆30.设a为数域f上的n阶方阵，满足a2-2 a =0，则下列矩阵哪个可逆（）。a . a b . a -i c a +i d a -2 i 31. a, b 为 n 阶方阵， a o ，且 r ( ab ) =0，则（）。a.b =o；b.r ( b ) =0；cba =o；d.r ( a) +r ( b ) n32. a ， b ， c 是同阶方阵，且 ab

9、c =i ，则必有（）。 a . acb =i ； b . bac =i ； c cab =i d cba =i33.设a为 3 阶方阵，且r ( a) =1，则（）。a . r ( a*) =3 ； b . r ( a*) =2 ； c r ( a*) =1 ； d . r ( a*) =034.设 a, b 为 n 阶方阵， a o ，且 ab =o ，则（）.a . b =o b . b =0 或 a =0 c ba =o d . (a-b )2=a2+b200 4 035.设矩阵a =01000 0 00 0 00 0 02 0 0，则秩a=（）。a 1 b 2 c 3 d 436.设

10、a是m n矩阵，若（），则ax =o有非零解。a . m n d . r ( a) =m 37. a ， b 是 n 阶方阵，则下列结论成立得是（）。a . ab o a o 且 b o ； b . a =0 a =o；c ab =0 a =o 或 b =o ； d . a =i | a |=138.设 a 为 n 阶方阵，且r (a)=rn，则 a 中（）.a .必有 r 个行向量线性无关 b .任意 r 个行向量线性无关 c 任意 r 个行向量构成一个极大无关组d.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示39.设 a 为 3 4 矩阵， b 为 2 3 矩阵， c 为 4 3 矩阵，则下

11、列乘法运算不能进行的 是（）。a.bctatb.acbtcbac d.abc40.设 a 是 n 阶方阵，那么 aa是（）a.对称矩阵； b .反对称矩阵； c 可逆矩阵； d .对角矩阵41.若由ab =ac必能推出b =c（a, b, c均为n阶方阵），则a满足()。a . a 0 b . a =o c a o d . ab 042.设 a 为任意阶 ( n 3)可逆矩阵， k 为任意常数，且 k 0 ，则必有 ( ka) -1 =（）a . k n a -1 b . k n -1a -1 c ka -1 d.1ka-143.a，b都是n阶方阵，且a与b有相同的特征值，则（）a.a相似于b

12、；b.a =b；ca合同于b；d.a = b44.设1a = ( b +i ) 2，则a2=a的充要条件是（）a.b =i；（b）b =-i；cb2=i d.b2=-i45.设 n 阶矩阵 a 满足 a 2 -a -2 i =0，则下列矩阵哪个可能不可逆（）a . a +2 i b . a -i c a +i d . a()ij0 1 2 -1 10 0 0 1 546.设 n 阶方阵 a 满足 a 2 -2 a =0，则下列矩阵哪个一定可逆（）a.a -2 i；b.a -i；ca +i d.a47.设 a 为 n 阶方阵，且r (a)=rn，则 a 中（）.a .必有 r 个列向量线性无关；

13、 b .任意 r 个列向量线性无关； c 任意 r 个行向量构成一个极大无关组；d.任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示48.设 a 是 m n 矩阵，若（），则 n 元线性方程组 ax =0 有非零解。 a . m n d . a 的秩等于 m49.设矩阵a = amn， ax =0 仅有零解的充分必要条件是().a.a的行向量组线性相关b.a的行向量组线性无关c a 的列向量组线性相关 d . a 的列向量组线性无关50.设 a , b 均为 p 上矩阵,则由()不能断言 a b ；a . r ( a) =r ( b ) ； b .存在可逆阵 p 与 q 使 a =pbqc a 与

14、b 均为 n 级可逆； d . a 可经初等变换变成b51.对于非齐次线性方程组 ax =b 其中 a =( a ) , b =(b ) , x =( x )ij nn i n1 j正确的是（）。n1，则以下结论不acd.若方程组无解，则系数行列式 a =0 ； b .若方程组有解，则系数行列式 a 0 。 若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解；.系数行列式 a 0 是方程组有惟一解的充分必要条件1 0 7 2 1 52.设线性方程组的增广矩阵是 0 -2 -4 2 -2 （）.，则这个方程组解的情况是a.有唯一解 b .无解 c 有四个解 d .有无穷多个解53.a, b为n阶方阵,a

15、o，且ab =0，则（）。x +x +x =1a . a 0 ； b . r ( b ) n ； c 齐次线性方程组( ba) x =o 有非 0 解； d . a 054.当 l=（）时，方程组 1 2 32 x +2 x +2 x =l 1 2 3，有无穷多解。a 1 b 2 c 3 d 455.设线性方程组bx -ax =-2ab 1 2-2cx +3bx =bc 2 3cx +ax =0 1 3，则（）a .当 a, b, c取任意实数时，方程组均有解。 b .当 a =0 时，方程组无解。c 当 b =0 时，方程组无解。 d .当 c =0 时，方程组无解。56.设原方程组为 ax

16、 =b ，且 r (a)=r(a,b)=r，则和原方程组同解的方程组为()。a . at x =b ； b . qax =b （ q 为初等矩阵）； c pax =pb （ p 为可逆矩阵）；d.原方程组前 r 个方程组成的方程组57.设线性方程组ax =b及相应的齐次线性方程组ax =0，则下列命题成立的是（）。a . ax =0 只有零解时， ax =b 有唯一解； b . ax =0 有非零解时， ax =b 有无穷多 个解； c ax =b 有唯一解时， ax =0 只有零解； d . ax =b 解时， ax =0 也无解58.设n元齐次线性方程组ax =0的系数矩阵a的秩为r，则a

17、x =0有非零解的充分必要条件是（）。a . r =n b . r n59. n 维向量组 a ,1a ,2l ,as(3 s n )线性无关的充分必要条件是（）a.存在一组不全为零的数k , k ,1 2l , k ，使 k a +k a +lk a s 1 1 2 2 s s0b.a ,1a , l ,2a 中任意两个向量组都线性无关 sc a , a ,1 2l ,a 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 sd . a ,1a ,2l ,a 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 s60.若向量组中含有零向量，则此向量组（）a.线性相关； b .线性无关； c 线性相关或线性无关；

18、d .不一定61设 a为任意非零向量，则 a（）。a.线性相关； b .线性无关； c 线性相关或线性无关； d 不一定62.n维向量组 a ,1a ,.2as线性无关， b为一n维向量，则（）.a . a ,1a ,. ,2a ， b线性相关； b . b一定能被 a ,s 1a ,. ,2as线性表出；c b一定不能被 a , a ,. , a1 2s线性表出；d.当s =n时， b一定能被 a ,1a ,. ,2as线性表出63.（1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组a，a ，l，a 1 2 r线性无关，ar +1可由 a , a la 1 2,r线性表出，则向

19、量组a，a ，l，a 1 2 r +1也线性无关；（3）设 a，a ，l，a1 2 r线性无关，则 a，a ，l，a 1 2 r -1也线性无关；（4）a，a ，l，a 1 2 r线性相关，则 ar一定可由 a ,1a ，la2r -1线性表出；以上说法正确的有（）个。a .1 个 b .2 个 c 3 个 d .4 个64（1） n 维向量空间 v 的任意 n 个线性无关的向量都可构成v 的一个基；（2）设 a ,1a ，la2n是向量空间 v 中的 n 个向量，且 v 中的每个向量都可由之线性表示，则 a , a ，la是v 的一个基；（3）设 a , a ，la1 2 n 1 2 n是向

20、量空间 v 的一个基，如果b， b，lb 1 2 n与a ,1a ，la 2 n等价，则b， b，lb 1 2 n也是v的一个基；（4）n维向量空间 v 的任意 n +1 个向量线性相关；以上说法中正确的有（）个。a.1 个b.2 个c3 个d.4 个65设向量组 a ,a , a1 23线性无关。 a , a , a1 24线性相关，则（）。a.a 必可由 a , 1 2a ,3a4线性表示；b.a 必可由 a , 4 1a ,2a3线性表示；c a 必可由 a ,4 1a ,2a3线性表示； d . a 必不可由 a ,4 1a ,2a3线性表示66.设向量组（ a , a , la1 2

21、r），（ a , a , la , a ,1 2 r r +1l ,as）则必须有（）。.； .； ； . .22 22 2a .无关 无关； b .无关 无关； c .无关 相关； d .相关 相关67向量组 a : a , a , ,1 2a 与 b : b, b , , n 1 2bm等价的充要条件为（）.a . r ( a) =r ( b ) ； b . r ( a) =n 且 r( b ) =m ； c r ( a) =r ( b ) =r ( a , b ) ； d . m =n68向量组 a ,1a , ,2ar线性无关?()。ac.不含零向量； b .存在向量不能由其余向量线性

22、表出； 每个向量均不能由其余向量表出； d 与单位向量等价69.已知5(1, 0, -1) -3a-(1, 0, 2 ) =( 2, -3, -1)则?2 2 2 2 a ( ,1, -2) b ( - ,1, -2) c (1, , -2) d (1,1, - )3 3 3 370.设向量组 a ,1a ,2a3线性无关。 a ,1a ,2a4线性相关，则（）。a . a 必可由 a ,1 2a ,3a4线性表示； b . a 必可由 a ,4 1a ,2a3线性表示；c a 必可由 a ,4 1a ,2a3线性表示； d .a 必不可由 a ,4 1a ,2a3线性表示71下列集合中，是r

23、3的子空间的为（），其中 a =( x , x , x )1 2 3a ax 0b. ax +2 x +3 x =0c ax =1d. ax +2 x +3 x =1 3 1 2 3 3 1 2 372下列集合有（）个是rn的子空间；w =a =( x , x , l x ) | x r, x +x +l +x =0 1 1 2 n i 1 2 n；w =a =( x , x , l x ) | x r, x =x =l =x 2 1 2 n i 1 2 n；w =a =( a, b, a , b, l , a , b) | a, b r 3；w =a =( x , x , l x ) | x

24、 为整数 4 1 2 n i；73设 a, b是相互正交的 n 维实向量，则下列各式中错误的是（）。a . a+b =a + b ； b . a+b=a-b；c a-b2=a + b ； d . a+b=a+ ba .1 个 b .2 个 c 3 个 d .4 个22 22 274. a 是 n 阶实方阵，则 a 是正交矩阵的充要条件是（）。a.aa-1=i；b.a =a/；ca-1=a/；d.a2=i75（1）线性变换 s的特征向量之和仍为 s的特征向量；（2）属于线性变换 s的同一特征值 l0的特征向量的任一线性组合仍是 s的特征向量；（3）相似矩阵有相同的特征多项式；（4）( l i -

25、a) x =00（）个。的非零解向量都是 a 的属于 l 的特征向量；以上说法正确的有0a .1 个 b .2 个 c 3 个 d .4 个75.n阶方阵a具有n个不同的特征值是a与对角阵相似的（）。a.充要条件； b .充分而非必要条件；c 必要而非充分条件；d .既非充分也非必要条件76.对于n阶实对称矩阵a，以下结论正确的是（）。a .一定有 n 个不同的特征根； b . $正交矩阵 p ，使 p ap成对角形；c 它的特 征根一定是整数； d .属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交77.设 a ,1a ,2a 与 b ,3 1b ,2b3都是三维向量空间 v 的基，且b =

26、a , b =a +a , b =a +a +a 1 1 2 1 2 3 1 2 3，则矩阵1p =10100111是由基 a , a , a1 2 3到（）的过渡矩阵。a.b ,2b , b b1 3.b ,1b b2,3c b ,2b , b d3 1.b ,3b ,2b178.设 a， b是相互正交的 n 维实向量，则下列各式中错误的是（）。a . a+b =a + b b . a+b=a-bc a-b2 =a + b d . a+b=a+ b二、填空题1最小的数环是，最小的数域是。2一非空数集p,包含 0 和 1,且对加减乘除四种运算封闭，则其为。3设 f 是实数域上的映射，f : x

27、 kx ( x r )，若f (4) =12 ，则 f ( -5)=。4设f ( x), g ( x ) f x ，若 (f( x ) =0, (g(x ) =m ，则 (f( x) g( x )=。5.求用x -2除f ( x ) =x4+2 x3-x +5的商式为，余式为。6设 a 0 ，用 g ( x ) =ax -b 除 f ( x )所得的余式是函数值。7设 a, b 是两个不相等的常数，则多项式f ( x )除以( x -a )( x -b)所得的余式为_8把f ( x) =x4-5表成x -1的多项式是。9把f ( x ) =2 x3-x2+3 x -5 表成 x -1 的多项式

28、是。10设f ( x ) q x 使得 0( f ( x ) 2 ，且 f (1) =1 ， f ( -1) =3 ， f ( 2 ) =3，则f ( x) =。11 设12 设f ( x ) r x 使得 deg f ( x ) 3且f (1) =1, f (-1) =3, f (2) =3 , 则f ( x) f ( x ) r x 使得 deg f ( x ) 3且f (1) =1, f (-1) =2 , f (2) =0 , 则f ( x)=_。=_。13.若g ( x) f ( x), h ( x) f ( x)，并且，则g ( x)h( x ) f ( x )。14.设g ( x

29、) f ( x )，则f ( x ) 与 g ( x)的最大公因式为。15.多项式f ( x) 、 g ( x)互素的充要条件是存在多项式u( x) 、 v( x )使得。16.设d ( x) 为 f ( x ) ， g ( x)的一个最大公因式,则d ( x) 与 ( f ( x) , g ( x ) )的关系。17.多项式f ( x) =x4+x3-3 x2-4 x -1与 g ( x ) =x3+x2-x -1的最大公因式( f ( x) , g ( x ) ) =。18.设f ( x ) =x 4 +x 2 +ax +b 。 g ( x ) =x 2 +x -2 ，若 ( f ( x)

30、, g ( x) =g ( x )，则a =， b =。19在有理数域上将多项式f ( x) =x3+x2-2 x -2分解为不可约因式的乘积。20在实数域上将多项式f ( x) =x 3 +x 2 -2 x -2分解为不可约因式的乘积。21.当 a , b 满足条件时，多项式f ( x ) =x3+3ax +b才能有重因式。22.设p( x)是多项式f ( x )的一个k ( k 1)重因式，那么p( x)是f ( x )的导数的一个。23.多项式f ( x )没有重因式的充要条件是互素。24设 a , a , a 为方程 x 3 +px 2 +qx +r =01 2 3的根，其中 r 0

31、，则aa +aa +aa = 1 2 2 3 3 1。25设 a ,1a ,2a 为方程 x 33+px2+qx +r =0的根，其中 r 0 ，则1aa1 2+1a a2 3+1a a3 1=。26设 a ,1a ,2a 为方程 x 33+px2+qx +r =0的根，其中r 0，则a21+a22+a23=。27设 a ,1a ,2a 为方程 x 3 +px 2 +qx +r =0 3的根，其中 r 0 ，则 1 + 1 + 1a a a1 2 3=。28.按自然数从小到大为标准次序，排列 2431 的反序数为。 29按自然数从小到大为标准次序，排列 4132 的反序数为。30排列45136

32、2的反序数为。31排列 542163 的反序数为。 32排列 523146879 的反序数为。33排列n, n -1,.,2,1的反序数为。34.若 9 元排列 1274i56 k 9是奇排列，则 i =_, k =_。35.设n级排列i i l i1 2n的反数的反序数为k，则 t(i in n -1i i )2 1=。36.设i , i , 1 2l , i n=1, 2 ,l , n ,则 t( i i l i 1 2n) +t ( i in n -1l i ) =1。37.当 k =， =时，5 阶行列式 d 的项 a a a a a12 2 k 31 4 53取“负”号。38.32153 3205372284 72184123=。39101 202 303 =。102030a x . a1 0 20 1 3 40a a 1aa 1 =bb 1。41aaaaaa =aaa。42.21-1101 -4 -1 = 832 -4_。43-22 1 =_。44.-3 4 -20 0 0 0 x2 x 02 x 0 0 =-15 ， x =_。0 45 0000000x 1