高中数学专题131—函数与导数压轴题命题区间

1、专题131函数与导数压轴题命题区间目录第一部分构造辅助函数求解导数问题.2技法一：“比较法”构造函数.2技法二：“拆分法”构造函数.3技法三：“换元法”构造函数.5技法四：二次(甚至多次)构造函数.8强化训练.10第二部分利用导数探究含参数函数的性质.14技法一：利用导数研究函数的单调性.14技法二：利用导数研究函数的极值.17技法三：利用导数研究函数的最值.19强化训练.22第三部分导数的综合应用.29技法一：利用导数研究函数的零点或方程的根.29技法二：利用导数证明不等式.31技法三：利用导数研究不等式恒成立问题.34技法四：利用导数研究存在性与任意性问题.44技法五：利用导数研究探究性问

2、题.47强化训练.50第一部分构造辅助函数求解导数问题对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧技法一：“比较法”构造函数典例(2017广州模拟)已知函数f(x)exax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为1(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x0时，x2ex解(1)由f(x)exax，得f(x)exa因为f(0)1a1，所以

3、a2，所以f(x)ex2x，f(x)ex2，令f(x)0，得xln2，当xln2时，f(x)0，f(x)单调递减；当xln2时，f(x)0，f(x)单调递增所以当xln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)eln22ln22ln4，f(x)无极大值(2)证明：令g(x)exx2，则g(x)ex2x由(1)得g(x)f(x)f(ln2)0，故g(x)在r上单调递增所以当x0时，g(x)g(0)10，即x2ex方法点拨在本例第(2)问中，发现“x2，ex”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2ex”构造函数，得到“g(x)exx2”，并利用(1)的结论求解对点演练x已知函数f(

4、x)ex，直线yg(x)为函数f(x)的图象在xx0(x01)处的切线，求证：f(x)g(x)证明：函数f(x)的图象在xx0处的切线方程为yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，则h(x)f(x)f(x0)ex1x1x0ex01xex01x0exx0ex解(1)f(x)aexlnxxx2(x0)，设(x)(1x)ex0(1x0)ex，则(x)ex0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在r上单调递减，又(x0)0，当xx0时，(x)0，当xx0时，(x)0，当xx0时，h(x)0，当xx0时，h(x)0，h(x)在区间(，x

5、0)上为增函数，在区间(x0，)上为减函数，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)技法二：“拆分法”构造函数bex1典例设函数f(x)aexlnxx，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为ye(x1)2(1)求a，b；(2)证明：f(x)11bex1x1由于直线ye(x1)2的斜率为e，图象过点(1,2)，f12，b2，a1，所以即解得f1e，aee，b2.2ex1(2)证明：由(1)知f(x)exlnxx(x0)，2从而f(x)1等价于xlnxxexe所以当x0，e时，g(x)0，当xe，时，g(x)0，故g(x)在0，e上单调递减，在e，上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g

6、ee“aexlnxx1”合理拆分为“xlnxxexe”，再分别对左右两边构造函数，进构造函数g(x)xlnx，则g(x)1lnx，1111112构造函数h(x)xexe，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0；故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，1从而h(x)在(0，)上的最大值为h(1)e综上，当x0时，g(x)h(x)，即f(x)1方法点拨bex1bex1对于第(2)问“aexlnxx1”的证明，若直接构造函数h(x)aexlnxx1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式bex12而达到证明原不等式

7、的目的qq群545423319微信公众号：中学数学研讨部落对点演练已知函数f(x)alnxbx1x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30(1)求a，b的值；(2)证明：当x0，且x1时，f(x)lnxalnx解：(1)f(x)x2(x0)x1x1x1xb21由于直线x2y30的斜率为2，且过点(1,1)，ff1，11，故12b1，即a12b2.a1，解得b1.(2)证明：由(1)知f(x)lnx1所以f(x)xx11x2x1x(x0)，lnx1x212lnxx21考虑函数h(x)2lnxx(x0)，22x2x21则h(x)xx2x1x22故当x(0,1)时，h(x)0，可得

8、1h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，可得h(x)0所以当x1时，h(x)0而h(1)0，1x2qq群545423319微信公众号：中学数学研讨部落11x2x1从而当x0，且x1时，f(x)lnx0，即f(x)lnx(2)求证：当nm0时，lnnlnmnmx1技法三：“换元法”构造函数f典例已知函数f(x)ax2xlnx(ar)的图象在点(1，(1)处的切线与直线x3y0垂直(1)求实数a的值；mn解(1)因为f(x)ax2xlnx，(2)证明：要证lnnlnmnm，所以gmg(1)0，对“待证不等式”等价变形为“lnmnm0”后，观察可知，对“m”进行换元，(3)设(2)中所确定的s关于

9、t的函数为sg(t)，证明：当te2时，有所以f(x)2axlnx1，因为切线与直线x3y0垂直，所以切线的斜率为3，所以f(1)3，即2a13，故a1mnnmnnmn即证lnmnm，只需证lnmnm0n1令mx，构造函数g(x)lnxxx(x1)，11则g(x)xx2111因为x1，)，所以g(x)xx210，故g(x)在(1，)上单调递增n由已知nm0，得m1，nnmn即证得lnmnm0成立，所以命题得证方法点拨nmnn11变为“lnxxx0”，构造函数“g(x)lnxxx(x1)”来证明不等式，可简化证明过程中的运算对点演练已知函数f(x)x2lnx(1)求函数f(x)的单调区间；(2)

10、证明：对任意的t0，存在唯一的s，使tf(s)；25lngtlnt12解：(1)由已知，得f(x)2xlnxxx(2lnx1)(x0)，令f(x)0，得x1e当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：1，xf(x)f(x)0，e1e0极小值1e所以函数f(x)的单调递减区间是0，单调递增区间是，11ee(2)证明：当0x1时，f(x)0，t0，当0x1时不存在tf(s)令h(x)f(x)t，x1，)由(1)知，h(x)在区间(1，)上单调递增h(1)t0，h(et)e2tlnettt(e2t1)0故存在唯一的s(1，)，使得tf(s)成立(3)证明：因为sg(t)，由(2)知，tf(s)

11、，且s1，从而lngtlntlnslnslnfslns2lns2lnslnlns2ulnulnsu，其中ulns2lngt要使5lnt1u2成立，只需0lnu2当te2时，若sg(t)e，则由f(s)的单调性，有tf(s)f(e)e2，矛盾所以se，即u1，从而lnu0成立u11另一方面，令f(u)lnu2，u1，f(u)u2，令f(u)0，得u2当1u2时，f(u)0；当u2时，f(u)0故对u1，f(u)f(2)0，u因此lnu2成立2lngt综上，当te2时，有5lnt12技法四：二次(甚至多次)构造函数典例(2017广州综合测试)已知函数f(x)exmx3，g(x)ln(x1)2(1)

12、若曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为1，求实数m的值；(2)当m1时，证明：f(x)g(x)x3解(1)因为f(x)exmx3，所以f(x)exm3x2因为曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为1，所以f(0)em1，解得m0(2)证明：因为f(x)exmx3，g(x)ln(x1)2，所以f(x)g(x)x3等价于exmln(x1)20当m1时，exmln(x1)2ex1ln(x1)2要证exmln(x1)20，只需证明ex1ln(x1)20设h(x)ex1ln(x1)2，则h(x)ex11x1设p(x)ex11x1，则p(x)ex11x120，所以函数p(x)h(x)ex

13、1在(1，)上单调递增因为h2e220，h(0)e10，1x111所以函数h(x)ex11在(1，)上有唯一零点x0，且x02，0x11因为h(x0)0，所以ex01，1x01即ln(x01)(x01)当x(1，x0)时，h(x)0，当x(x0，)时，h(x)0，所以当xx0时，h(x)取得最小值h(x0)，所以h(x)h(x0)ex01ln(x01)21x01(x01)20即t对任意的x(0，)恒成立令f(x)，则f(x)x2exexlnx，综上可知，当m1时，f(x)g(x)x3qq群545423319微信公众号：中学数学研讨部落方法点拨本题可先进行适当放缩，m1时，exmex1，再两次构

14、造函数h(x)，p(x)对点演练t(2016合肥一模)已知函数f(x)exxlnx，g(x)extx2x，r，其中e为自然对数的底数(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若g(x)f(x)对任意的x(0，)恒成立，求t的取值范围解：(1)由f(x)exxlnx，知f(x)elnx1，则f(1)e1，而f(1)e，则所求切线方程为ye(e1)(x1)，即y(e1)x1(2)f(x)exxlnx，g(x)extx2x，tr，g(x)f(x)对任意的x(0，)恒成立等价于extx2xexxlnx0对任意的x(0，)恒成立，exxexxlnxx2exxexxlnxx2xexe

15、x2exxlnx12exx32ex令g(x)exexlnx，则g(x)ex2xexexxx1x21exx22exx0对任意的x(0，32(3)设g(x)xx，比较f(x)与g(x)的大小1a(2)因为a，b1，)恒成立2exg(x)exexlnx在(0，)上单调递增，且g(1)0，当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，即当x(0,1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)f(1)1，t1，即t的取值范围是(，1强化训练1设函数f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1为f(x)的极值点(1)求a，b的值

16、；(2)讨论f(x)的单调性；23解：(1)因为f(x)ex1(2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b)，又x2和x1为f(x)的极值点，所以f(2)f(1)0，6a2b0，因此33a2b0，解得3，b1.13所以f(x)x(x2)(ex11)，令f(x)0，解得x12，x20，x31因为当x(，2)(0,1)时，f(x)0；当x(2,0)(1，)时，f(x)0(3)由(1)可知f(x)x2ex1x3x21x3x(2)求证：当x(0,1)时，f(x)2x(3)设实数k使得f(x)kx3对x(0,1)恒成立，求k的最大值3x(2)证明：令g(x)f(x)2x所以f(x)1，f(0

17、)2则g(x)f(x)2(1x2)所以f(x)在(2,0)和(1，)上是单调递增的；在(，2)和(0,1)上是单调递减的13故f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)，令h(x)ex1x，则h(x)ex11令h(x)0，得x1，因为当x(，1时，h(x)0，所以h(x)在(，1上单调递减；故当x(，1时，h(x)h(1)0；因为当x1，)时，h(x)0，所以h(x)在1，)上单调递增；故x1，)时，h(x)h(1)0所以对任意x(，)，恒有h(x)0；又x20，因此f(x)g(x)0故对任意x(，)，恒有f(x)g(x)1x2(2015北京高考)已知函数f(x)ln(1)求曲线yf(x)

18、在点(0，f(0)处的切线方程；3；x3解：(1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)(1x1)，11x1xqq群545423319微信公众号：中学数学研讨部落又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x3，2x41x2因为g(x)0(0x1)，3x即当x(0,1)时，f(x)2x3x(3)由(2)知，当k2时，f(x)kx3x当k2时，令h(x)f(x)kx因此h(x)在区间0，3x即f(x)kx3x所以当k2时，f(x)kx则h(x)f(x)k(1x)24k2所以g(x)在区间(0,1)上单调递增所以g(x)g(0)0，x(0,1)，33对x(0,1)恒成立3

19、，kx4k21x24k2所以当0xk时，h(x)0，上单调递减k4k2故当0xk时，h(x)h(0)0，3qq群545423319微信公众号：中学数学研讨部落3并非对x(0,1)恒成立综上可知，k的最大值为23(2016广州综合测试)已知函数f(x)mexlnx1(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当m1时，证明：f(x)1解：(1)当m1时，f(x)exlnx1，1所以f(x)exx所以f(1)e1，f(1)e1f所以曲线yf(x)在点(1，(1)处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x(2)证明：当m1时，f(x)mexlnx1exlnx1

20、(x0)因为g2e220，g(1)e10，要证明f(x)1，只需证明exlnx201设g(x)exlnx2，则g(x)exx11设h(x)exx，则h(x)exx20，1所以函数h(x)g(x)exx在(0，)上单调递增11在(0，)上有唯一零点x0，且x02，1所以函数g(x)ex11x因为g(x0)0，所以ex0x，即lnx0x0故g(x)g(x0)ex0lnx02xx0204(2017石家庄质检)已知函数f(x)axex(x0)，其中e为自然对数的底(2)若函数有两个零点x1，x2(x1x2)，设tx，证明：x1x2随着t的增大而解：(1)当a0时，f(x)ex(x0)，10当x(0，x

21、0)时，g(x)0；当x(x0，)时，g(x)0所以当xx0时，g(x)取得最小值g(x0)10综上可知，当m1时，f(x)1qq群545423319微信公众号：中学数学研讨部落x2数(1)当a0时，判断函数yf(x)极值点的个数；x21增大x2xx2f(x)2xexx2ex2exex，令f(x)0，得x2，当x(0,2)时，f(x)0，yf(x)单调递减，当x(2，)时，f(x)0，yf(x)单调递增，所以x2是函数的一个极小值点，无极大值点，即函数yf(x)有一个极值点(2)证明：令f(x)axex0，得x2aex，所以x11aex1，x2aex2，可得2lnx1lnax1，x2tx1，又

22、xt，则t1，且3x2x1lnt，222tlntx23因为函数有两个零点x1，x2(x1x2)，3332232lnx2lnax2333x2故x2x12lnx22lnx12lnx1x2133lntt1t1解得x1，x2t13所以x1x22t1lnt令h(x)x1lnxx1，x(1，)，则h(x)12lnxxxx121x1令u(x)2lnxxx，得u(x)x2当x(1，)时，u(x)0因此，u(x)在(1，)上单调递增，故对于任意的x(1，)，u(x)u(1)0，由此可得h(x)0，故h(x)在(1，)上单调递增因此，由可得x1x2随着t的增大而增大第二部分利用导数探究含参数函数的性质技法一：利用

23、导数研究函数的单调性典例已知函数g(x)lnxax2bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切解(1)依题意得g(x)x2axb(x0)线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性1由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得：g(1)12ab0，b2a1(2)由(1)得x2ax1g(x)2ax22a1x1x1x函数g(x)的定义域为(0，)，x1当a0时，g(x)x由g(x)0，得0x1，由g(x)0，得x1，1当a0时，令g(x)0，得x1或x2a，11若2a1，即a2，1由g(x)0，得x1或0x2a，1由g(x)0，得2ax1；11若

24、2a1，即0a2，1由g(x)0，得x2a或0x1，1由g(x)0，得1x2a，11若2a1，即a2在(0，)上恒有g(x)0综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；1当0a2时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在1，2a上单调递减，在2a，上单调递增；当a2时，函数g(x)在0，2a上单调递增，在2a，1上单调递减，在(1，)上单调递增(3)本题(2)求解应先分a0或a0两种情况，再比较2a和1的大小111当a2时，函数g(x)在(0，)上单调递增，111方法点拨(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的

25、单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点1对点演练(2016太原一模)已知函数f(x)xalnx(ar)(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；1a(2)设函数h(x)f(x)x，求函数h(x)的单调区间解：(1)当a2时，f(x)x2lnx，f(1)1，即切点为(1,1)，2f(x)1x，f(1)121，曲线yf(x)在点(1,1)处的切线方程为y1(x1)，即xy201a(2)由题意知，h(x)xalnxx(x0)，a1ax2ax1a则h(x)1xx2x2x1xx21a，当a10，即a1时，令h(x)0，x0，x1a，令h(x)0，x0，0x1a典例

26、设a0，函数f(x)x2(a1)xa(1lnx)解(1)由已知，得f(x)x(a1)x(x0)，当a10，即a1时，h(x)0恒成立，综上，当a1时，h(x)的单调递减区间是(0，a1)，单调递增区间是(a1，)；当a1时，h(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间技法二：利用导数研究函数的极值12(1)若曲线yf(x)在(2，f(2)处的切线与直线yx1垂直，求切线方程(2)求函数f(x)的极值a又由题意可知yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1，a即2(a1)21，解得a0，此时f(2)220，故所求的切线方程为yx2(2)f(x)x(a1)ax2a1xxxax1

27、xxa(x0)当0a1时，若x(0，a)，则f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(a,1)，则f(x)0，函数f(x)单调递减；若x(1，)，则f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，1函数f(x)的极大值是f(a)2a2alna，1极小值是f(1)2当a1时，f(x)x1x20，所以函数f(x)在定义域(0，)内单调递增，f(1)，极小值是f(a)a2alna当a0，x0，2a时，g(x)0，函数g(x)单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值当a1时，若x(0,1)，则f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(1，a)，则f(x)0，函数f

28、(x)单调递减；若x(a，)，则f(x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是11221综上，当0a1时，f(x)的极大值是2a2alna，1极小值是2；当a1时，f(x)没有极值；11当a1时f(x)的极大值是2，极小值是2a2alna方法点拨对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f(x)零点的存在；qq群545423319微信公众号：中学数学研讨部落(2)参数是否影响f(x)不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小；(3)参数是否影响f(x)在零点左右的符号(如果

29、有影响，需要分类讨论)对点演练(2016山东高考)设f(x)xlnxax2(2a1)x，ar(1)令g(x)f(x)，求g(x)的单调区间；(2)已知f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解：(1)由f(x)lnx2ax2a，可得g(x)lnx2ax2a，x(0，)112ax所以g(x)x2ax当a0，x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；1x2a，时，g(x)0，函数g(x)单调递减当a0时，g(x)的单调增区间为0，2a，单调减区间为2a，0，由(1)知f(x)在内单调递增，2a可得当x(0,1)时，f(x)0，当x1，2a时，f(x)0所以f(x)在(0,1)内单调递减

30、，在1，2a内单调递增，当x2a，1时，f(x)0，f(x)单调递增，综上可知，实数a的取值范围为2，1所以当a0时，g(x)的单调增区间为(0，)；11(2)由(1)知，f(1)0当a0时，f(x)单调递增，所以当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意11当0a2时，2a1，111所以f(x)在x1处取得极小值，不合题意11当a2时，2a1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意11当a2时，02a1，1当x(1，)时，f(x)

31、0，f(x)单调递减所以f(x)在x1处取极大值，符合题意1技法三：利用导数研究函数的最值典例已知函数f(x)lnxax(ar)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值单调递减区间为a，(2)当a1，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值当a2，即0a2时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值当1a2，即2a1时，函数f(x)在1，a上是增函数，在a，2上是故函数f(x)的单调递增区间为0，a，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为0，a，单调递减区间为a，1解(1)由题意，f(x)xa(x0)，1当a0时

32、，f(x)xa0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)11当a0时，令f(x)xa0，可得xa，11ax当0xa时，f(x)x0；11ax当xa时，f(x)x0，11综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；111是f(2)ln22a11是f(1)a1111减函数又f(2)f(1)ln2a，1所以当2aln2时，最小值是f(1)a；当ln2a1时，最小值为f(2)ln22a综上可知，当0aln2时，函数f(x)的最小值是a；当aln2时，函数f(x)的最小值是ln22a方法点拨(1)在闭区间上图象连续的函数一定存在最大值和最小值，在不是闭区间的情况下，函数在这个区间上的最大值

33、和最小值可能都存在，也可能只存在一个，或既无最大值也无最小值；(2)在一个区间上，如果函数只有一个极值点，则这个极值点就是最值点对点演练1若函数f(x)x(a0)在1，)上的最大值为3，则a的值为(x2a3)a33b3x2a2c31解析：选df(x)x2a2x2d31ax2x2a2若a1，即0a1时，在1，)上f(x)0，f(x)maxf(1)31af(x)maxf(a)a2a3令f(x)0，得xa或xa(舍去)，13解得a31，符合题意若a1，即a1时，在1，a)上f(x)0，在(a，)上f(x)0，所以3，3解得a41，不符合题意，综上知，a312已知函数f(x)xlnx，g(x)(x2ax3)ex(a为实数)(1)当a5时，求函数yg(x)在x1处