根与系数的关系练习题 (2)

1、.一元二次方程根与系数的关系习题 主编：闫老师准备知识回顾：1、一 元 二 次 方 程ax2+bx +c =0( a 0)的 求 根 公 式 为x =-b b 2 -4 ac2 a(b 2 -4 ac 0) 。2、一元二次方程 ax2+bx +c =0( a 0) 根的判别式为： d=b2-4 ac（1） 当 d0 时，方程有两个不相等的实数根。（2） 当 d=0 时，方程有两个相等的实数根。（3） 当 d0 时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数 根，则 ；方程没有实数根，则 。韦达定理相关知识1 若 一 元 二 次 方 程 ax2+bx +c =0(

2、 a 0) 有 两 个 实 数 根 x 和x ， 那 么1 2x +x =1 2， x x = 1 2。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理 。2、如果一元二次方程 x2+ px +q =0 的两个根是 x 和x ，则 x +x =1 2 1 2，。x x =1 23、以 x 和x 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x 1 22-( x +x ) x +x x =01 2 1 24、在一元二次方程 ax 2 +bx +c =0( a 0) 中，有一根为 0 ，则 c =；有一根为 1，则 a +b +c =；有一根为 -1 ，则 a -b +c =；若两根互为倒

3、数,则 c =；若两根互为相反数，则 b =。5、二次三项式的因式分解(公式法).2 2在 分 解 二 次 三 项 式 ax2.+bx +c 的 因 式 时 ， 如 果 可 用 公 式 求 出 方 程ax2+bx +c =0( a 0) 的两个根 x 和x ，那么 ax1 22+bx +c =a ( x -x )( x -x ) 如果1 2方程 ax2+bx +c =0( a 0) 无根,则此二次三项式 ax2+bx +c 不能分解.基础运用例 1：已知方程 3 x。k =解：2-( k -1) x +2 =0 的一个根是 1，则另一个根是 ，变式训练：1、已知 x =-1是方程 3 x 2

4、+2 x +k =0 的一个根，则另一根和 k 的值分别是多少？ 2、方程 x 2 -kx -6 =0 的两个根都是整数，则 k 的值是多少？例 2：设 x 和x 是方程 2 x1 2式的值：2+4 x -3 =0 ，的两个根，利用根与系数关系求下列各（1） x +x 1 2（2） ( x +1)( x +1) 1 21 1（3） +x x1 2（4） ( x -x ) 1 22.变式训练：1、已知关于 x 的方程 3x 2 -10 x +k =0 有实数根，求满足下列条件的 k 值：（1）有两个实数根。 （2 ）有两个正实数根。 （3 ）有一个正数根和一 个负数根。 （4）两个根都小于 2。

5、2、已知关于 x 的方程 x2-2ax +a =0 。（1） 求证：方程必有两个不相等的实数根。（1） a 取何值时，方程有两个正根。（2） a 取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。 （4） a 取何值时，方程到少有一根为零？.选用例题： 例 3：已知方程 ax是多少？2+bx +c =0( a 0) 的两根之比为 1：2，判别式的值为 1，则 a与b例 4、已知关于 x 的方程 x2+2( m +2) x +m2-5 =0 有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大 16，求 m 的值。例 5、若方程 x2-4 x +m =0 与 x2-x -2 m =0 有一个根相同，求 m

6、 的值。.2 2.基础训练：1关于 x 的方程 ax 2 -2 x +1 =0 中，如果 a 0 ，那么根的情况是（ ） （a）有两个相等的实数根 （b）有两个不相等的实数根（c）没有实数根 （d）不能确定2设 x , x 是方程 2 x 2 -6 x +3 =0 的两根，则 x +x 的值是（ ）1 2 1 2（a）15 （b）12 （c）6 （d）33下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（a） 2y2+5=6y（b）x2+5=2 5 x（c） 3 x2 2 x+2=0（d）3x22 6 x+1=04以方程 x22x30 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（a） y2+5y6=

7、0 （b）y2+5y6=0 （c）y25y6=0 （d）y25y6=05如果 x ，x 是两个不相等实数，且满足 x 22x 1，x 21 2 1 1 22x 1，2那么 x x 等于（ ）1 2（a）2 （b）2 （c）1 （d）16.关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（ ）（a）有两个相等的实数根 （b）有两个不相等的实数根 （c）没有实数根 （d）不能确定7.设 x ，x 是方程 2x 1 226x30 的两根，则 x12x 22的值是（ ）（a）15 （b）12 （c）6 （d）38如果一元二次方程 x24xk20 有两个相等的实数根，那么 k9如果关于

8、x 的方程 2x2(4k+1)x2 k210 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是10已知 x ，x 是方程 2x1 227x40 的两根，则 x x ，x x ，1 2 1 2（x x ）2 1 211若关于 x 的方程(m22)x2(m2)x10 的两个根互为倒数，则 m .二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：（1）x2x=5 (2)9x26 2 +2=0 (3)x2x+2=02、当 m=时，方程 x2+mx+4=0 有两个相等的实数根；当 m=时，方程 mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、已知关于 x 的方程 10x2(m+3)x+m7=0，若有一个根为

9、0，则 m= ，3这时方程的另一个根是 ；若两根之和为 ，则 m= ，这时方程的5两个根为 .4、已知 3 2 是方程 x2+mx+7=0 的一个根，求另一个根及 m 的值。5、求证：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0 没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1 5 和 1+ 5 。.21.7、设 x ,x 是方程 2x2+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：1 2x x(1) (x +1)(x +1) (2) + （3）x 21 2 x x 11 2+ x x +2 x 1 218、如果 x22(m+1)x+m2+5 是一个完全平方式，则 m= ;9、

10、方程 2x(mx4)=x26 没有实数根，则最小的整数 m= ;10、已知方程 2(x1)(x3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则 m= ;11、设关于 x 的方程 x26x+k=0 的两根是 m 和 n，且 3m+2n=20，则 k 值为 ;12、设方程 4x27x+3=0 的两根为 x ,x ，不解方程，求下列各式的值:1 2(1) x 2+x 2 1 2(2)x x12（3） x1x21（4）x x 2 x 1 2 2113、实数、分别满足方程 1929910 和且 199920 求代数41式 的值。.14、已知 a 是实数，且方程 x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判

11、别方程 x2+2ax+1 1 (a2x2a21)=0 有无实根？215、求证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子(x1)(x2)k2 一次因式的积。都可以分解成两个16、实数 k 在什么范围取值时，方程 kx 2 +2( k -1) x -( k -1) =0 有实数正根？.训练（一）1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2t2+3t4=0, ; (2)16x2+9=24x, ;(3)5(u2+1)7u=0, ;2、若方程 x2(2m1)x+m2+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ;3、一元二次方程 x2+px+q=0 两个根分别是 2+ 3 和 2 3 ，则 p= ,q= ;4

12、、已知方程 3x219x+m=0 的一个根是 1，那么它的另一个根是 ，m= ;5、若方程 x2+mx1=0 的两个实数根互为相反数，那么 m 的值是 ;6、m,n 是 关 于 x 的 方 程 x2-(2m-1)x+m2+1=0 的 两 个 实 数 根 ， 则 代 数 式mn= 。7、已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0 的两根的平方和等于 6，求 k 的值;8、如果和是方程 2x2+3x1=0 的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于+1 1和+ ; 9、已知 a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0

13、 有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10.取什么实数时，二次三项式 2x2(4k+1)x+2k21 可因式分解.11.已知关于 x 的一元二次方程222（3）10 的两实数根为,， 1 1若 ，求的取值范围。 训练（二）1、已知方程 x23x+1=0 的两个根为,，则+= , = ;2、如果关于 x 的方程 x24x+m=0 与 x2 x2m=0 有一个根相同，则 m 的值 为 ;13、已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2 ，则 k= ;24、若方程 x2+(a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a= ;5、方程 4x22(a-b)xab=0 的根的判别式的值是 ;6

14、、若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那 么 m 的值为 ;7、已知 p0,q0，则一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情况是 ;8、以方程 x23x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设 x ,x 是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值：1 2(1)x 2x +x x 1 2 1221 1(2) x x1 2.10m 取什么值时，方程 2x2(4m+1)x+2m21=0（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；11设方程 x2+px+q=0 两根之比为 1:2，根的判别式=1，求

15、p,q 的值。12是否存在实数 k ，使关于 x 的方程 9 x2-(4 k -7) x -6 k2=0 的两个实根 x , x ，1 2x满足 1x2理由。3 ，如果存在，试求出所有满足条件的 k 的值，如果不存在，请说明 2.222 2222222 222.一元二次方程根与系数关系专题训练 主编：闫老师1、如果方程 ax +bx+c=0(a0)的两根是 x1、x2，那么 x1+x2= ，x1x2= 。2、已知x1、x2是方程2x +3x4=0的两个根，1 1那么：x1+x2= ；x1x2= ； +x x1 2x 1+x 2= ；(x1+1)(x2+1)= ；x1x2 = 。；3、 以2和3

16、为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。4、 如果关于x的一元二次方程x + 2 x+a=0的一个根是1 2 ，那么另一个根 是 ，a的值为 。5、 如果关于x 的方程x +6x+k=0的两根差为2，那么k=6、 已知方程2x +mx4=0两根的绝对值相等，则m= 。7、一元二次方程px +qx+r=0(p0)的两根为0和1，则qp=。8、已知方程x mx+2=0的两根互为相反数，则m=。9、已知关于x的一元二次方程(a 1)x (a+1)x+1=0两根互为倒数，则 a= 。10、已知关于x的一元二次方程mx 4x6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=2，则m= ，(x1+x2)x x1

17、2= 。11、已知方程3x +x1=0，要使方程两根的平方和为.139，那么常数项应改22 2222 1 1 322 222 2222.为 。12、 已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为 。13、 若、为实数且+3+(2) =0，则以、为根的一元二 次方程为 。(其中二次项系数为1)14、 已知关于x的一元二次方程x 2(m1)x+m =0。若方程的两根互为倒数，则 m= ；若方程两根之和与两根积互为相反数，则m= 。15、 已知方程x +4x2m=0的一个根比另一个根小4，则= ； = ；m= 。16、 已知关于x 的方程x 3x+k=0的两根立方和为0，则k=17、

18、已知关于x的方程x 3mx+2(m1)=0的两根为x1、x2，且 + =- ，则x x 41 2m= 。18、关于x的方程2x 3x+m=0，当时，方程有一个正根，一个负根；当m时，方程有两个正数根；当m 时，方程有一个根为0。19、 若方程x 4x+m=0与x x2m=0有一个根相同，则m= 。20、 求作一个方程，使它的两根分别是方程x +3x2=0两根的二倍，则所求的方 程为 。21、 一元二次方程2x 3x+1=0的两根与x 3x+2=0的两根之间的关系是 。22、 已知方程5x +mx10=0的一根是5，求方程的另一根及m的值。23、 已知2+ 3 是x 4x+k=0的一根，求另一根

19、和k的值。24、 证明：如果有理系数方程x +px+q=0有一个根是形如a+ b 的无理数(a、b均 为有理数)，那么另一个根必是a b 。.2x x +x x222 2 22221x2+x1x6 62.25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根 的绝对值大?(1) x2- 3 x -5 =0, (2) x2-2 6 + 3 =026、已知x 1和x2是方程2x 3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：3 31 2 1 227、已知x1和x2是方程2x 3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：1 1+x 2 x 21 228、已

20、知x1和x2是方程2x 3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：(x 1x 2)29、已知x1和x2是方程2x 3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：x1x230、已知x1和x2是方程2x 3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：x 22x131、已知x1和x2是方程2x 3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：x5 2 2 5232、 求一个一元二次方程，使它的两个根是2+ 和2 。33、 已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。34、 造一个方程，使它的根是方程3x 7x+2=0的根；(1)大3；(2)2倍；(3

21、)相反 数；(4)倒数。.222 2.35、方程x +3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比 另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17。36、已知关于x的方程2x (m1)x+m+1=0的两根满足关系式x1x2=1，求m的值 及两个根。37、是关于x的方程4x 4mx+m +4m=0的两个实根，并且满足(a-1)(b-1) -1 =9100，求m的值。.22 22 2.38、已知一元二次方程8x (2m+1)x+m7=0，根据下列条件，分别求出m的值： (1)两根互为倒数；(2) 两根互为相反数；(3) 有一根为零；(4) 有一根为1；

22、1(5)两根的平方和为 。6439、已知方程x +mx+4=0和x (m2)x16=0有一个相同的根，求m的值及这个 相同的根。40、已知关于x的二次方程x 2(a2)x+a 5=0有实数根，且两根之积等于两 根之和的2倍，求a的值。.22 2 4 42.41、已知方程x +bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和 等于29，求b、c的值。42、设：3a 6a11=0，3b 6b11=0且ab，求a b 的值。43、试确定使x +(ab)x+a=0的根同时为整数的整数a的值。.22 2222.44、已知一元二次方程(2k3)x +4kx+2k5=0，且4k+1是腰长为7的

23、等腰三角形 的底边长，求：当k取何整数时，方程有两个整数根。45、已知：、是关于x的方程x +(m2)x+1=0的两根，求(1+m+ )(1+m + )的值。46、已知x 1,x2是关于x的方程x +px+q=0的两根，x 1+1、x2+1是关于x 的方程 x +qx+p=0的两根，求常数p、q的值。.2 222 2 222 2.47、已知x1、x2是关于x的方程x +m x+n=0的两个实数根；y1、y2是关于y的方程 y +5my+7=0的两个实数根，且x1y1=2,x2y2=2，求m、n的值。48、关于x的方程m x +(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实根，x +2(a+m)x+2

24、a m +6m4=0有大于0且小于2的根。求a的整数值。49、关于x的一元二次方程3x (4m 1)x+m(m+2)=0的两实根之和等于两个实根 的倒数和，求m的值。.22 22 22.50、已知：、是关于x的二次方程：(m2)x +2(m4)x+m4=0的两个不等 实根。(1) 若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；(2) 若 + =6时，求m的值。51、已知关于x的方程mx nx+2=0两根相等，方程x 4mx+3n=0的一个根是另一 个根的3倍。求证：方程x (k+n)x+(km)=0一定有实数根。52、关于x的方程 x21 -2 mx + n42=0，其中m、n分别是一个等腰三

25、角形的腰长和底边长。(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；.2 222 2 2 2.(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形 的周长。53、已知关于x的一元二次方程x +2x+p =0有两个实根x1和x2(x1x2)，在数轴上，表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。54、已知关于x的一元二次方程ax +bx+c=0的两根为、，且两个关于x的方程 x +(+1)x+ =0与x +(+1)x+ =0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。.2 22 22 222 22.55、如果关于x的实系数一元二次方程x +2(m+3)x+m +3=0有两个实

26、数根、， 那么(1) +(1) 的最小值是多少?56、已知方程2x 5mx+3n=0的两根之比为23，方程x 2nx+8m=0的两根相等 (mn0)。求证：对任意实数k，方程mx +(n+k1)x+k+1=0恒有实数根。57、(1)方程x 3x+m=0的一个根是 ，则另一个根是 。(2)若关于 y的方程 y my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满.2222.足 。58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 x +3x+1=0；59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 3x 2x1=0；60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积 2x +3=0；61、不解方程,

27、求下列各方程的两根之和与两根之积 2x +5x=0。.2223 4 4 312 3 3.62、已知关于x 的方程2x +5x=m的一个根是2，求它的另一个根及m的值。63、已知关于x 的方程3x 1=tx的一个根是2，求它的另一个根及t的值。64、设x 1，x 2是方程3x 2x 2=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式 的值：(1) (x14)(x24)；(2) x1 x 2 +x1 x 2 ； 1 1 (3) x + x 3x 3x2 1(4)x1 +x2 。；.22 22 22 22 2.65、设x 1，x2是方程2x 4x+1=0的两个根，求x 1x 2的值。66、已知方程x +

28、mx+12=0的两实根是x1和x2，方程x mx+n=0的两实根是x 1+7 和x 2+7， 求m和n的值。67、以2，3为根的一元二次方程是( )a.x +x+6=0 b.x +x6=0 c.x x+6=0 d.x x 6=068、以3，1为根，且二次项系数为3的一元二次方程是 ( )a.3x 2x+3=0 b.3x +2x3=0.2 22 22 2222.c.3x 6x9=0 d.3x +6x9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是( )a.x +2x3=0 b.x 2x+3=0c.x +2x+3=0 d.x 2x3=070、以3，2为根的一元二次方程为 ，3 -1 3 +1以

29、， 为根的一元二次方程为 ，2 2以5，5为根的一元二次方程为 ，1以4， 为根的一元二次方程为 。471、 已知两数之和为7，两数之积为12，求这两个数。72、 已知方程2x 3x3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个 一元二次方程 ，使它的两个根分别是：(1)a+1.b+12b 2a(2) ,a b773、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm，面积为 cm ，求这个直角三 角形斜边的长 。.2222.74、在解方程x +px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与3；小王看错 了q，解得方程的根为4与2。这个方程的根应该是什么?75、关于x 的方程x ax3=0有一

30、个根是1，则a= 是 。x 2 -2 x -376、若分式 的值为0，则x 的值为x +1( )，另一个根a.1 b.3 c. 1或3 d. 3或177、若关于y的一元二次方程 y +my+n=0的两个实数根互为相反数，则( )a.m=0且n0 b.n=0且m0c.m=0且n0 d.n=0且m078、已知x 1，x2是方程2x +3x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：(1)(2x13)(2x23)；(2)x13x 2+x1x23。.2 2222 22 222 22.79、已知a =1a，b =1b，且ab，求(a1)(b1)的值。80、如果x=1是方程2x 3mx+1=0的一个根，则m= 为 。，另一个根81、已知m +m4=0，1 1 1+