《概率论与数理统计》第三版--课后习题标准答案

1、精品文档习题一：1.1 写出下列随机实验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续 5 次都命中, 观察其投篮次数。解：连续 5 次都命中，至少要投 5 次以上，故w =5,6,7,l 1；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和。w =2,3,4,l 11,12；解：2(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数。解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从 0 到无穷，所以w =0,1,2,l 3；(4) 从编号为 1，2，3，4，5 的 5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品。 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：w = (i,j )1ipj

2、 5 ;4(5) 检查两件产品是否合格。解：用 0 表示合格, 1 表示不合格，则w =(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)； 5(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于 t1, 最高气温不高于 t2)。 解：用 x 表示最低气温, y 表示最高气温。考虑到这是一个二维的样本空间，故：w =6(x,y)txpyt1 2；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离。解：w = x 0 px p2 7；(8) 在长为 l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：w =(x,y)xf0,yf0,x +y =l 8；1.2(1) a 与 b

3、都发生, 但 c 不发生。 abc ；(2) a 发生, 且 b 与 c 至少有一个发生。a( b c )；(3) a,b,c 中至少有一个发生。.a b c；精品文档(4) a,b,c 中恰有一个发生。abc abc abc；(5) a,b,c 中至少有两个发生。(6) a,b,c 中至多有一个发生。ab ac bcab ac bc；(7) a。b。c 中至多有两个发生。 abc(8) a,b,c 中恰有两个发生.abc abc abc；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间w =x0x2,事件a = x0.5 x 1,b=x0.8px 1.6具体写出下列各事件：

4、(1) ab 。 (2) a -b 。 (3) a -b 。 (4) a b（1）ab =x0.8px 1；(2)a -b=x 0.5 x 0.8；(3)a -b = x0x 0.5 0.8 px 2。(4)a b=x0x 0.5 1.6 px 21.6 按从小到大次序排列p ( a), p ( a b ), p ( ab ), p ( a) +p ( b ), 并说明理由.解：由于ab a, a ( a b ), 故 p ( ab ) p ( a) p ( a b )，而由加法公式，有：p ( a b ) p ( a) +p ( b )1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为

5、： p (w e ) =p (w ) +p ( e ) -p (we ) =0.175.(2) 由于事件 w 可以分解为互斥事件we ,we精品文档，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件p (we ) =p (w ) -p (we ) =0.1概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为： 1.8p (w e ) =1 -p (w e ) =0.825.解：(1) 由于ab a, ab b ，故 p ( ab ) p ( a), p ( ab ) p ( b ),显然当 a b 时 p(ab)取到最大值。 最大值是 0.6.(2) 由于p ( ab ) =p ( a) +p (

6、 b ) -p ( a b )。显然当p ( a b ) =1时 p(ab) 取到最小值，最小值是 0.4.1.9解：因为 p(ab) = 0，故 p(abc) = 0.a, b, c至少有一个发生的概率为：p ( a b c ) =p ( a) +p ( b ) +p (c ) -p ( ab ) -p ( bc ) -p ( ac ) +p ( abc ) =0.71.10解(9) 通过作图，可以知道，p ( ab ) =p ( a b ) -p ( b ) =0.3(10)p ( ab ) =1 -p ( ab ) =1 -( p ( a) -p ( a -b ) =0.6(3) 由于p

7、 ( ab) =p ( ab ) =1 -p ( a b ) =1 -( p ( a) +p ( b ) -p ( ab ) =1 -p ( a) -p ( b ) +p ( ab )p ( b ) =1 -p ( a) =0.71.11解：用ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有4 4 4 =64种，每种放法等可能。.22312精品文档对事件 a ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 432 种，故 1(选排列：好比 3 个球在 4 个位置做排列)。p ( a ) = 138对事件 a ：必须三球都放入一杯中。放法有 4 种。(只需从 4 个杯中

8、选 1 个杯子，放入此 3 3个球，选法有 4 种)，故1.12p ( a ) =31 3 1 9 。 p ( a ) =1 - - =16 8 16 16解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为 36。.出现点数和为 “3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为 3 的概率为1。18同理可以求得前后两次出现的点数之和为 4，5 的概率各是 (6) 1.131 1,12 9。解：从 10 个数中任取三个数，共有c 3 =12010种取法，亦即基本事件总数为 120。(1) 若要三个数中最小的一个是 5，先要保证取得 5，再从大于 5 的四个数里取

9、两个，取法有c24=6种，故所求概率为120。(2) 若要三个数中最大的一个是 5，先要保证取得 5，再从小于 5 的五个数里取两个，取法有c 2 =105种，故所求概率为112。1.14解：分别用a , a , a 1 2 3表示事件：(1) 取到两只黄球。 (2) 取到两只白球。 (3) 取到一只白球, 一只黄球.则p( a ) = 1c 28c 21228 14 c 2 = = , p ( a ) = 466 33 c 2126 1= = , p ( a ) =1 -p ( a ) -p ( a ) = 66 111633。1.15.1 212 1精品文档解：p ( a b ) b )

10、=p ( a b ) b ) p ( ab ) ( bb )=p ( b ) p ( b )由于p ( bb ) =0 ，故 p ( a b ) b ) =p ( ab ) p ( a) -p ( ab ) =p ( b ) p ( b )=0.51.16(1)p ( a b );（2）p ( a b );解：（1）p ( a b) =p( a) +p ( b ) -p ( ab) =1 -p ( b ) p( a b) =1 -0.4 0.5 =0.8;（2）p ( a b ) =p ( a ) +p ( b ) -p ( ab ) =1 -p ( b) p ( a b) =1 -0.4 0

11、.5 =0.6;注意：因为1.17p ( a b ) =0.5 ，所以 p ( a b) =1 -p ( a b) =0.5。解：用 a 表示事件“第 i 次取到的是正品”（ ii =1,2,3），则 a 表示事件“第 i 次取到的 i是次品”（i =1,2,3）。p ( a ) =115 3 3 14 21 = , p ( a a ) =p( a ) p ( a a ) = =20 4 4 19 38(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：p ( a a a ) =3 1 2518。(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：p( a a a ) =p ( a

12、 ) p ( a a ) p ( a a a ) = 1 2 3 1 2 1 3 1 2（3）事件“第三次取到次品”的概率为：15 14 5 35 =20 19 18 22814此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用 i =1,2（），ai表示事件“第i次取到的是正品”.12p ( b a ) = p ( b a ) =121212则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：p( a a ) =12 1精品文档；而事件“第二次才取到次品”的概率为：p ( a a ) =p ( a ) p (

13、 a a ) =1 2 1 2 112。区别是显然的。1.18。解：用a (i =0,1,2) i表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用b表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则p( a ) =0c 2 66 c 1 c 1 24 c 2 1 12 = , p( a ) = 12 2 = , p ( a ) = 2 = ,c 2 91 c 2 91 c 2 91 14 14 14p ( b a ) = 01 2 3 ， 1 ， 2 ，根据全概率公式，有：p ( b ) =p ( a ) p ( b a ) +p ( a ) p ( b a ) +p ( a ) p ( b a ) =0

14、 0 1 1 2 21.19328解：设a (i =1,2,3) i表示事件“所用小麦种子为 i 等种子”，b表示事件“种子所结的穗有 50 颗以上麦粒”。则p ( a ) =0.92, p ( a ) =0.05, p ( a ) =0.03, p ( b a ) =0.5 1 2 3 1，p ( b a ) =0.15 2，p ( b a ) =0.13，根据全概率公式，有：p ( b ) =p ( a ) p ( b a ) +p ( a ) p( b a ) +p ( a ) p( b a ) =0.47051 1 2 2 3 31.20解：用 b 表示色盲， a 表示男性，则 a 表

15、示女性，由已知条件，显然有：p ( a) =0.51, p ( a ) =0.49, p( b a) =0.05, p ( b a ) =0.025, .因此：113精品文档根据贝叶斯公式，所求概率为：p ( a b ) =1.21p ( ab) p ( ab) p ( a) p ( b a) 102 = = =p ( b ) p ( ab ) +p ( ab ) p ( a) p ( b a) +p ( a ) p( b a ) 151解：用b表示对实验呈阳性反应，a表示癌症患者，则a表示非癌症患者，显然有：p ( a) =0.005, p( a ) =0.995, p( b a) =0.9

16、5, p ( b a ) =0.01, 因此根据贝叶斯公式，所求概率为：p( a b) =p( ab ) p ( ab) p( a) p ( b a) 95 = = =p( b ) p( ab) +p ( ab) p ( a) p ( b a) +p ( a ) p ( b a ) 2941.22(1) 求该批产品的合格率。(2) 从该 10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设， b =产品为甲厂生产, b =产品为乙厂生产, b =产品为丙厂生产, 1 2 3a =产品为合格品 ，则（1）根据全概率公式， p (

17、 a) =p ( b ) p ( a b ) +p ( b ) p ( a b ) +p ( b ) p ( a b ) =0.94 ，该批1 1 2 2 3 3产品的合格率为 0.94.（2）根据贝叶斯公式， p ( b a) =1p ( b ) p ( a b ) 19=p ( b ) p ( a b ) +p ( b ) p ( a b ) +p ( b ) p ( a b ) 94 1 1 2 2 3 3同理可以求得 p( b a) =227 24 , p( b a) =94 47，因此，从该 10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生

18、产的概率分别为： 1.23.19 27 24, , 。94 94 47精品文档解：记 a =目标被击中，则 p ( a) =1 -p ( a ) =1 -(1 -0.9)(1 -0.8)(1 -0.7) =0.9941.24解：记 a =四次独立实验，事件 a 至少发生一次， a =四次独立实验，事件 a 一次也不 4 4发生。而 p ( a ) =0.5904 ，因此 p ( a ) =1 -p ( a ) =p ( aaaa ) =p ( a )4 4 4p ( a ) =0.8, p ( a ) =1 -0.8 =0.214=0.4096 。所以三次独立实验中, 事件 a 发生一次的概率

19、为： c13p ( a)(1 -p ( a)2=3 0.2 0.64 =0.384 。二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：（10）加法公 式p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab)当 p(ab)0 时，p(a+b)=p(a)+p(b) p(a-b)=p(a)-p(ab)（11）减法公 式当 ba 时，p(a-b)=p(a)-p(b)（12）条件概b当 a=时，p()=1- p(b)定义设 a、b 是两个事件，且 p(a)0，则称p ( ab )p ( a)为事件 a 发生条件下，事率件 b 发生的条件概率，记为p ( b / a) =p ( ab )p ( a)。（16）贝叶斯 公

20、式p ( b / a) = inp ( b ) p( a / b ) i ip ( b ) p( a / b ) j j，i=1，2，n。j =1此公式即为贝叶斯公式。.0.7 0.3 c 0.4 0.6 +c 0.7 0.3 c 0.4 0.6 +c 0.7 0.3 c0 20 21 11 12 00.7 0.3 c 0.4 0.6 +c 0.7 0.3 c 0.4 0.6 +c 0.7 0.3 c1 10 22 00 22 0精品文档第二章 随机变量2.1xp21/3631/1841/1251/965/3671/685/3691/9101/12111/18121/362.2 解：根据p (

21、 x =k ) =1 ，得 k =0 k =0ae-k=1，即ae -1 1 -e -1=1。故a =e -12.3 解：用 x 表示甲在两次投篮中所投中的次数，xb(2,0.7) 用 y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, yb(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同px=y= px=0,y=0+ px=1,y=1 +px=2,y=2=c0 0 1 1 2 20.42 0.60 =0.3124222222(2)甲比乙投中的次数多pxy= px=1,y=0+ px=2,y=0 +px=2,y=1=c1 0 2 0 2 10.410.61 =0.56282222222.4 解:（1）p1x3= p

22、x=1+ px=2+ px=3=1 2 3 2+ + =15 15 15 5(2) p0.5x2.5=px=1+ px=2=1 2 1+ =15 15 52.5 解：（1）px=2,4,6,=1 1 1 1+ + +l = lim 22 2 4 26 22 k k 1 11-( )4 411 -4k=13（2）px3=1px10) = 0.5edx =-e-0.5 x-0.5 x精品文档2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有 80 万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率 为：p0.8 x 1 =1 12 x(1-x ) 2 dx =(6 x 2 -8 x3 +3 x 4 )|1 =0.027

23、20.8 0.8（2）假设该地区每天的用电量仅有 90 万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：p0.9 x 1 =12 x (1-x ) 2 dx =(6 x 2 -8 x 3 +3 x 4 ) =0.00370.9 0.92.11 解:要使方程x 2+2 kx +2 k +3 =0有实根则使d=(2 k )2-4(2 k +3) 0解得 k 的取值范围为-,-1u4, +,又随机变量 ku(-2,4)则有实根的概率为p =-1-(-2) +4 -3 1=4 -( -2) 32.12 解：xp()= p(1200)(1)px 100 =100012001e 200 dx =e-200 x

24、|1000=1 -e-12（2）px 300 =30012001 1e 200 dx =e 200 =e30032（3）p100 x 300 =30010012001e 200 dx =e1 3- x 300 - - 200 2 21001 1px 100,100 x 300 =px 100p100 x 300 =(1-e 2 )(e 23-e 2 )2.13 解：设每人每次打电话的时间为 x，xe(0.5)，则一个人打电话超过 10 分钟的概率为+ +1010=e-5又设 282 人中打电话超过 10 分钟的人数为 y，则y b (282, e -5 )。.精品文档因为 n=282 较大，p

25、 较小，所以 y 近似服从参数为l=282 e -5 1.9的泊松分布。所求的概率为p (y 2) =1 -p (y =0) -p (y =1)=1 -e-1.9-1.9e-1.9=1 -2.9e-1.9=0.566252.14 解：(1)p ( x 105) =f(105 -11012) =f( -0.42) =1 -f(0.42)=1 -0.6628 =0.3372(2)p (100 x 120) =f(120 -110 100 -110) -f(12 12)=f(0.83) -f(-0.83) =2f(0.83) -1 =2 0.7967 -1 =0.59342.15 解：设车门的最低高

26、度应为 a 厘 m，xn(170,62)px a =1 -px a 0.01px a =f(a -170=2.336a 184厘 ma -1706) 0.992.19 解：x 的可能取值为 1,2,3。因为c 2 6 p( x =1) = 4 = =0.6c 3 105；1 1p ( x =3) = = c 3 105=0.1；p ( x =2) =1 -0.6 -0.1 =0.3所以 x 的分布律为x1 23p0.6 0.3 0.1x 的分布函数为.精品文档0 x 10.6 1 x 2 f ( x) =0.9 2 x 31 x 32.20(1)ppy =0 =px = =0.22py =p2

27、 =px =0 +px =p =0.3 +0.4 =0.73ppy =4p2 =px = =0.12y 0p24p2qi0.20.70.1(2)py =-1 =px =0 +px =p =0.3 +0.4 =0.7p 3ppy =1 =px = +px = =0.2 +0.1 =0.32 2y -11qi0.70.32.21（1）当-1x 1时，f ( x) =px =-1 =0.3当1 x 0 时，有-xy =p =0f ( y) =py y =pe y-xy =p-x ln y =px -ln y =-ln y12 pxe 2 dx对f ( y )y求关于 y 的导数，得.(ln y )2

28、 2-yy-yxyy精品文档1 ( -ln y ) 1- e 2 ( -ln y )= e 2 f ( y ) = 2p 2py0y0y 0（3）设 f (y)，f ( y )y分别为随机变量 y 的分布函数和概率密度函数，则当y 0时，f ( y ) =py y =px 2 y =p =0 y当 y0 时， f ( y) =py y =pxy2y =p- y x y =y- y12 px 2e 2 dx对f ( y )y求关于 y 的导数，得1 f ( y) = 2p0e-(y )221( y )- e2p-( - y )221( - y )= e2py-(ln y )22y0y 02.23

29、x : u(0,p)1f ( x ) =p00 x p其它（1）当2lnp y 时f ( y ) =py y =p2ln x y =pln x y时当-y 2lnp2y =p =0f ( y ) =py y =p2ln x y =pln x y2y =px2ey =px ey =ye 201pdx对f ( y )y求关于 y 的导数，得到1 1 ( e 2 )=f ( y ) =p 2p0ey2-y 2lnp2lnpy .ydx +dxy精品文档（2）当y 1或 y -1时 ， f ( y ) =py y =pcos x y =p =0y当-1 y 1时,f ( y ) =py y =pcos x y =px arccos y = yparccos y1pdx对f ( y )y求关于 y 的导数，得到f ( y ) =1 1 - (arccos y )=p p 1 -y 2 0-1y 1其它（