2018-2019学年山东省济南市市中区九年级(上)期末数学试卷

1、22222018-2019 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分，每小题只有一个选项符合题意） 1（4 分）下列是一元二次方程的是（ ）a2x+10 by +x1cx 10d +x 12（4 分）如图所示的组合体，它的主视图是（ ）abcd3（4 分）已知 ，那么下列式子中一定成立的是（ ）a4m3n b3m4n cm4n dmn124（4 分）在正方形网格中，abc 的位置如图所示，则 tanb 的值为（ ）a1 bcd5（4 分）抛物线 y（x2） 1 的顶点坐标是（ ）a（2，1）b（2，1）c（2，1）d（2，1）6（

2、4 分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上” 的概率是（ ）第 1 页（共 31 页）1 12 23 312 33 2 11 3 22 3 13 1 222a0.620 b0.618 c0.610 d10007（4 分）已知点（3，4）在反比例函数 y 的图象上，则下列各点也在该反比例函数 图象上的是（ ）a（3，4）b（3，4）c（2，6）d（2，6）8（4 分）如图，o 是abc 的外接圆，boc120，则bac 的度数是（ ）a120b80c60d309（4 分）在反比例函数 y

3、图象上有三个点 a（x ，y ）、b（x ，y ）、c（x ，y ），若 x 0x x ，则下列结论正确的是（ ）ay y yby y ycy y ydy y y10（4 分）如图，矩形 efgo 的两边在坐标轴上，点 o 为平面直角坐标系的原点，以 y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形 abcd，且点 b，f 的坐标分别为（4，4），（2，1）， 则位似中心的坐标为（ ）a（0，3）b（0，2.5）c（0，2）d（0，1.5）11（4 分）若关于 x 的一元二次方程 kx 6x+90 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范 围（ ）ak1 且 k0 bk0ck1 dk112（4 分）如图，

4、抛物线 ya（x1） +k（a0）经过点（1，0），顶点为 m，过点 p（0，a+4）作 x 轴的平行线 l，l 与抛物线及其对称轴分别交于点 a、b、h以下结论：第 2 页（共 31 页）2当 x3.1 时，y0；存在点 p，使 apph；（bpap）是定值；当 a2 时， y|a（x1） +k|的图象与直线 l 有四个交点，其中正确的是（ ）abcd二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分：满分分 24 分）13（4分）小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75 米，他的影长 2.0 米，小红比小明矮 7厘米，此刻小红的影长是米14 （4 分）某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两

5、年的投资总额为 8 万元，若 设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为 x，则可列方程： 15 （4 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有个16（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条ab 和 ac 的夹角为 120，ab 长为25cm，贴纸部分的宽 bd 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 （结果保 留 ）17（4 分）如图，在 abc 中，acb90，d 是 ab 的中点，过 d 点作 ab 的垂线 交 ac 于点 e，bc6，sina ，则 d

6、e 第 3 页（共 31 页）0218（4 分）如图，在 abc 中，c90，ac2，bc4，acx 轴，a、b 两点在反比例函数 y （x0）的图象上，延长 ca 交 y 轴于点 d，ad1 abc 绕点 b顺时针旋转得到ebp，使点 c 落在 x 轴上的点 f 处，点 a 的对应点为 e，则点 e 的坐 标是 三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分）19（6 分）计算：（3） +8sin4520 （6 分）解方程：x 4x5021 （6 分）某路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆 ab 高度是 3m，从侧面 d 点测得显示牌顶端 c 点和底端 b 点的仰角分别是 60和 45，

7、求路况显示牌 bc 的长度（结 果保留根号）22（8 分）如图，be 是 o 的直径，点 a 和点 d 是o 上的两点，过点 a 作o 的切线交 be 延长线于点 c（1） 若ade25，求c 的度数；（2） 若 ac4，ce2，求o 半径的长23（8分）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着a（楼梯）、b（客厅）、c（走第 4 页（共 31 页）1 1 1 111廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟 悉情况（1）若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是 a 小明打开的一定是楼梯灯b 小明打开的可能是卧室灯c 小明打开的不可能是客厅灯d 小明打开

8、走廊灯的概率是（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时 亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明24（10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 mn，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 abcd，其中 admn，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏（1）若 a20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 ad 的长； （2）求矩形菜园 abcd 面积的最大值25（10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xoy 中，已知abc，abc90，顶点 a 在第一象限，b，c 在 x 轴的正半轴上（c 在 b 的右

9、侧），bc2，ab2adc 与abc关于 ac 所在的直线对称（1） 当 ob2 时，求点 d 的坐标；（2） 若点 a 和点 d 在同一个反比例函数的图象上，求 ob 的长；（3） 如图 2，将（2）中的四边形 abcd 向右平移，记平移后的四边形为 a b c d ，过点 d 的反比例函数 y （k0）的图象与 ba 的延长线交于点 p问：在平移过程中，是否存在这样的 k，使得以点 p，a ，d 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接第 5 页（共 31 页）2写出所有符合题意的 k 的值；若不存在，请说明理由26（12 分）如图，在正方形 abcd 中，边长为 4，mdn90，将md

10、n 绕点 d 旋转，其中 dm 边分别与射线 ba、直线 ac 交于 e、q 两点，dn 边与射线 bc 交于点 f；连接 ef，且 ef 与直线 ac 交于点 p（1）如图 1，点 e 在线段 ab 上时，求证：aecf；求证：dp 垂直平分 ef； （2）当 ae1 时，求 pq 的长27（12 分）如图，已知抛物线 y x +bx+c 经过abc 的三个顶点，其中点 a（0，1）， 点 b（9，10），acx 轴，点 p 是直线 ac 下方抛物线上的动点（1） 求抛物线的解析式；（2） 过点 p 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 ab、ac 分别交于点 e、f，当四边形 aecp 的面

11、积最大时，求点 p 的坐标；（3） 当点 p 为抛物线的顶点时，在直线 ac 上是否存在点 q，使得以 c、p、q 为顶点的三角形与abc 相似，若存在，求出点 q 的坐标，若不存在，请说明理由第 6 页（共 31 页）第 7 页（共 31 页）2222018-2019 学年山东省济南市市中区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，满分 48 分，每小题只有一个选项符合题意） 1（4 分）下列是一元二次方程的是（ ）a2x+10 by +x1cx 10d +x 1【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方 程进

12、行解答即可【解答】解：a、不是一元二次方程，故此选项错误；b、 不是一元二次方程，故此选项错误；c、 是一元二次方程，故此选项正确；d、 不是一元二次方程，故此选项错误；故选：c【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住 5 个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不 等于 0”；“整式方程”2（4 分）如图所示的组合体，它的主视图是（ ）abcd第 8 页（共 31 页）【分析】找到从正面看所得到的图形即可【解答】解：这个组合体的主视图是故选：c【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图3（4 分

13、）已知 ，那么下列式子中一定成立的是（ ）a4m3n b3m4n cm4n dmn12【分析】根据比例的性质：分子分母交叉相乘，可得答案【解答】解：由 ，得 4m3na、 4m3n，故 a 正确；b、 4m3n，故 b 错误；c、 m ，故 c 错误；d、 4m3n，故 d 错误；故选：a【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质：分子分母交叉相乘是解题关键 4（4 分）在正方形网格中，abc 的位置如图所示，则 tanb 的值为（ ）a1 bcd【分析】根据图形，可以得到 tanb 的值，本题得以解决【解答】解：由图可知，tanb 1，故选：a【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解答本题的

14、关键是明确正切值的定义第 9 页（共 31 页）2225（4 分）抛物线 y（x2） 1 的顶点坐标是（ ）a（2，1）b（2，1）c（2，1）d（2，1）【分析】二次函数表达式中的顶点式是：ya（xh） +k（a0，且 a，h，k 是常数）， 它的对称轴是 xh，顶点坐标是（h，k）【解答】解：抛物线 y（x2） 1 的顶点坐标是（2，1）故选：d【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握顶点式中的对称轴及顶点坐标6（4 分）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数字附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上” 的概率是（ ）a0.6

15、20 b0.618 c0.610 d1000【分析】结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐 渐稳定在概率附近，解答即可【解答】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在 0.618 附近摆动， 显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 0.618故选：b【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率大量反复试验下频率稳定值即概率用 到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比7（4 分）已知点（3，4）在反比例函数 y 的图象上，则下列各点也在该反比例函数 图象上的是（ ）a（3，4）b（3，4）c（2，6）d（2，6）【分析】利用反比例函数图象上

16、点的坐标特征进行判断【解答】解：点（3，4）在反比例函数 y 的图象上， k3（4）12，而 343（4）2612，2612， 点（2，6）在该反比例函数图象上第 10 页（共 31 页）1 12 23 312 33 2 11 3 22 3 13 1 21 1112 32 32 3 1故选：c【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y （k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk8（4 分）如图，o 是abc 的外接圆，boc120，则bac 的度数是（ ）a120b80c60d30【分析】由o 是abc 的外接圆，boc12

17、0，根据圆周角定理可求得bac 的度 数【解答】解：o 是abc 的外接圆，boc120，bac boc 12060故选：c【点评】此题考查了圆周角定理与三角形外接圆的知识此题比较简单，注意掌握数形 结合思想的应用9（4 分）在反比例函数 y 图象上有三个点 a（x ，y ）、b（x ，y ）、c（x ，y ），若 x 0x x ，则下列结论正确的是（ ）ay y yby y ycy y ydy y y【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答【解答】解：a（x ，y ）在反比例函数 y 图象上，x 0，y 0，对于反比例函数 y ，在第二象限，y 随 x 的增大而增大，0x x ，y y

18、0，y y y故选：c【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比 例函数的增减性是解题的关键第 11 页（共 31 页）210（4 分）如图，矩形 efgo 的两边在坐标轴上，点 o 为平面直角坐标系的原点，以 y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形 abcd，且点 b，f 的坐标分别为（4，4），（2，1）， 则位似中心的坐标为（ ）a（0，3）b（0，2.5）c（0，2）d（0，1.5）【分析】连接 bf 交 y 轴于 p，根据题意求出 cg，根据相似三角形的性质求出 gp，求出 点 p 的坐标【解答】解：如图，连接 bf 交 y 轴于 p，四边形 abc

19、d 和四边形 efgo 是矩形，点 b，f 的坐标分别为（4，4），（2，1）， 点 c 的坐标为（0，4），点g 的坐标为（0，1），cg3，bcgf， ，gp1，pc2，点 p 的坐标为（0，2），故选：c【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做 位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键11（4 分）若关于 x 的一元二次方程 kx 6x+90 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范 围（ ）第 12 页（共 31 页）2222ak1 且 k0 bk0 ck1 dk1【分析】根据

20、根的判别式和一元二次方程的定义， 0 且二次项系数不为 0 即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 kx 6x+90 有两个不相等的实数根， ，即（6） 49k0，解得，k1，为一元二次方程，k0，k1 且 k0故选：a【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：（1）0方程有两 个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根12（4 分）如图，抛物线 ya（x1） +k（a0）经过点（1，0），顶点为 m，过点 p（0，a+4）作 x 轴的平行线 l，l 与抛物线及其对称轴分别交于点 a、b、h以下结论： 当 x3.1 时，y0；存在点 p，使 a

21、pph；（bpap）是定值；当 a2 时， y|a（x1） +k|的图象与直线 l 有四个交点，其中正确的是（ ）abcd【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标为（3，0），且抛物线开口向上，可对作判断；根据图形中与 x 轴交点坐标（1，0）和对称轴与 x 轴 交点（1，0）可对 作判断；根据对称性得：ahbh，根据线段的和与差可对作判断；根据二次函数图象的性质可对作判断【解答】解：由题意得：a0，开口向上，第 13 页（共 31 页）抛物线对称轴是 x1，且经过点（1，0），抛物线过 x 轴另一个点为（3，0），当 x3.1 时，y0；故正确；当 p 在 o 点时

22、，apph，a0，p 不可能与 o 重合，故不正确；3 bpap（bh+ph）apah+phap2ph2， 故正确；4 当 a2 时，a+46，p（0，6），如图所示， 故正确所以正确的有：，故选：c【点评】本题考查了二次函数的性质、与 x 轴的交点、关于 x 轴对称的点的特点，利用 数形结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分：满分分 24 分）13（4分）小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75 米，他的影长 2.0 米，小红比小明矮 7 厘米，此刻小红的影长是 1.92 米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，

23、经过物体顶 部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似【解答】解：根据题意知，小红的身高为 1757168（厘米），设小红的影长为 x 厘米第 14 页（共 31 页）22则 ，解得：x192，小红的影长为 1.92 米，故答案为：1.92【点评】此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形 的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想14（4 分）某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 8 万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为 x，则可列方程：2（1+x）+2（1+x）28【分析】关键描述语是：“预计今明两年的投资总额

24、为 8 万元”，等量关系为：今年的投 资的总额+明年的投资总额8，把相关数值代入即可【解答】解：去年对实验器材的投资为 2 万元，该校这两年在实验器材投资上的平均 增长率为 x，今年的投资总额为 2（1+x）；明年的投资总额为 2（1+x） ；预计今明两年的投资总额为 8 万元，2（1+x）+2（1+x） 8【点评】解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年 的投资总额的基础上增加的15（4 分）在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大 约有 15 个【

25、分析】由摸到红球的频率稳定在 0.25 附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白 球个数即可【解答】解：设白球个数为：x 个，摸到红色球的频率稳定在 0.25 左右，口袋中得到红色球的概率为 0.25， ，解得：x15，即白球的个数为 15 个，第 15 页（共 31 页）2abcade22故答案为：15【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得 出是解题关键16（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条ab 和 ac 的夹角为 120，ab 长为25cm，贴纸部分的宽 bd 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 350cm （结 果保留 ）【分

26、析】求出 ad，先分别求出两个扇形的面积，再求出答案即可【解答】解：ab 长为 25cm，贴纸部分的宽 bd 为 15cm， ad10cm，贴纸的面积为 s2（s扇形s扇形 ）350（cm ），故答案为：350cm 【点评】本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键17（4 分）如图，在 abc 中，acb90，d 是 ab 的中点，过 d 点作 ab 的垂线 交 ac 于点 e，bc6，sina ，则 de 【分析】在 abc 中，先求出 ab，ac 继而得出 ad，再由adeacb，利用对应 边成比例可求出 de【解答】解：bc6，sina ，ab10，ac 8，d 是

27、ab 的中点，第 16 页（共 31 页）ad ab5，adeacb， ，即 ，解得：de故答案为：【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义 及勾股定理的表达式18（4 分）如图，在 abc 中，c90，ac2，bc4，acx 轴，a、b 两点在反比例函数 y （x0）的图象上，延长 ca 交 y 轴于点 d，ad1 abc 绕点 b顺时针旋转得到ebp，使点 c 落在 x 轴上的点 f 处，点 a 的对应点为 e，则点 e 的坐标是 （4+2， ） 【分析】作 bmx 轴于 m，enx 轴于 n，如图，根据旋转的性质得 bfbc4，efac2，bfebca

28、90，cbf 等于旋转角，再计算出 bmcmbc2，则在 bmf 中，利用三角函数可求出mbf60，mfbm2，于是得到旋转角为 120，然后证明 bmf fne，利用相似比求出 fn 和 en，从而可得到 e 点坐标【解答】解：作 bmx 轴于 m，enx 轴于 n，如图，abc 绕点 b 顺时针旋转得到ebf，bfbc4，efac2，bfebca90，cbf 等于旋转角，bcx 轴，a（1，6），bmcmbc642，在 bmf 中，cosmbf ，mbf60，mfbm2，第 17 页（共 31 页）02cbf180mbf120，旋转角为 120；bfm+mbf90，bfm+efn90， m

29、bfefn， bmf fne， ，即 ，fn1，enonom+mf+fn3+2+14+2，e 点坐标为（4+2，），故答案为：（4+2，）【点评】考查了旋转的性质解决本题的关键是作 bmx 轴于 m，enx 轴于 n，构建 bmf fne三、解答题（本大题共 9 个小题，共 78 分）19（6 分）计算：（3） +8sin45【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式1+281+2124【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20（6 分）解方程：x 4x50【分析】因式分解法求解可得【解答】解：（x+1）（x5）0，则 x+10 或

30、x50，x1 或 x5第 18 页（共 31 页）【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的 方法是解题的关键21（6 分）某路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆 ab 高度是 3m，从侧面 d 点测得显示牌顶端 c 点和底端 b 点的仰角分别是 60和 45，求路况显示牌 bc 的长度（结 果保留根号）【分析】在 abd 中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边 ad 的长；同理在 abc 中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边 ac 的长；进而由 bcac ab 得解

31、【解答】解：在 adb 中，bda45，ab3m，da3m，在 adc 中，cda60，tan60，cambccaba（33）米【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把 实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决22（8 分）如图，be 是 o 的直径，点 a 和点 d 是o 上的两点，过点 a 作o 的切线交 be 延长线于点 c（1） 若ade25，求c 的度数；（2） 若 ac4，ce2，求o 半径的

32、长第 19 页（共 31 页）2 2 22 2 2【分析】（1）连接 oa，根据圆周角定理求出aoc，根据切线的性质求出oac，根据 三角形内角和定理求出即可；（2）设 oaoer，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）连接 oa，ade25，由圆周角定理得：aoc2ade50，ac 切o 于 a，oac90，c180aocoac180509040；（2）设 oaoer，在 oac 中，由勾股定理得：oa +ac oc ，即 r +4 （r+2） ，解得：r3，答：o 半径的长是 3【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出oac 和 aoc 的度数是

33、解此题的关键23（8分）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着a（楼梯）、b（客厅）、c（走廊）三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟 悉情况（1）若小明任意按下一个开关，则下列说法正确的是 d 第 20 页（共 31 页）a 小明打开的一定是楼梯灯b 小明打开的可能是卧室灯c 小明打开的不可能是客厅灯d 小明打开走廊灯的概率是（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时 亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明【分析】（1）由小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着 a（楼梯）、b（客厅）、 c（走廊）三盏电灯

34、，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走 廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案【解答】解：（1）小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着a（楼梯）、b（客 厅）、c（走廊）三盏电灯，小明任意按下一个开关，打开走廊灯的概率是 ，故选：d（2）画树状图得：共有 6 种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有 2 种情况，正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情 况数与总情况数之比熟记求随机事件的概率公式是解题的关键24（10 分）如图，在足够大

35、的空地上有一段长为 a 米的旧墙 mn，某人利用旧墙和木栏围第 21 页（共 31 页）12222122222 2成一个矩形菜园 abcd，其中 admn，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏（1）若 a20，所围成的矩形菜园的面积为 450 平方米，求所利用旧墙 ad 的长； （2）求矩形菜园 abcd 面积的最大值【分析】（1）设abxm，则 bc（1002x）m，利用矩形的面积公式得到 x（1002x）450，解方程得 x 5，x 45，然后计算 1002x 后与 20 进行大小比较即可得到 ad 的长；（2）设adxm，利用矩形面积得到 s x（100x），配方得到s

36、 （x50）+1250，讨论：当 a50 时，根据二次函数的性质得 s 的最大值为 1250m ；当 0a50 时，则 当 0xa 时，根据二次函数的性质得 s 的最大值为 50a a 【解答】解：（1）设 abxm，则 bc（1002x）m，根据题意得 x（1002x）450，解得 x 5，x 45，当 x5 时，1002x9020，不合题意舍去；当 x45 时，1002x10，答：ad 的长为 10m；（2）设 adxm，s x（100x） （x50） +1250，当 a50 时，则 x50 时，s 的最大值为 1250；当 0a50 时，则当 0xa 时，s 随 x 的增大而增大，当 x

37、a 时，s 的最大值为 50a a ，综上所述，当 a50 时，s 的最大值为 1250m ；当 0a50 时，s 的最大值为（50a a ）m 【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此第 22 页（共 31 页）1 1 1 1111111在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围25（10 分）如图 1，在平面直角坐标系 xoy 中，已知abc，abc90，顶点 a 在第一象限，b，c 在 x 轴的正半轴上（c 在 b 的右侧），bc2，ab2adc 与abc关于

38、ac 所在的直线对称（1） 当 ob2 时，求点 d 的坐标；（2） 若点 a 和点 d 在同一个反比例函数的图象上，求 ob 的长；（3） 如图 2，将（2）中的四边形 abcd 向右平移，记平移后的四边形为 a b c d ，过点 d 的反比例函数 y （k0）的图象与 ba 的延长线交于点 p问：在平移过程中，是否存在这样的 k，使得以点 p，a ，d 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接 写出所有符合题意的 k 的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）如图 1 中，作 dex 轴于 e，解直角三角形清楚 de，ce 即可解决问题；（2）设 oba，则点 a 的坐标（a，2），由题

39、意ce1de，可得 d（3+a， ），点 a、d 在同一反比例函数图象上，可得 2a（3+a），清楚 a 即可；（3）分两种情形：如图 2 中，当点 a 在线段 cd 的延长线上，且 pa ad 时，pa d 90如图 3 中，当pda90时分别求解；【解答】解：（1）如图 1 中，作 dex 轴于 eabc90，第 23 页（共 31 页）1111111tanacb ，acb60，根据对称性可知：dcbc2，acdacb60， dce60，cde906030，ce1，de ，oeob+bc+ce5，点 d 坐标为（5，）（2）设 oba，则点 a 的坐标（a，2），由题意 ce1de，可得

40、d（3+a，），点 a、d 在同一反比例函数图象上， 2 a （3+a），a3，ob3（3）存在理由如下： 如图 2 中，当点 a1在线段 cd 的延长线上，且 pa ad 时，pa d90在 ada 中，daa 30，ad2 aa 4，在 apa 中，apa 60，第 24 页（共 31 页）1111111111111，pa，pb由（2）可知 p（3， k10 如图 3 中，当pda1），90时作 dm ab 于 m，a nmd 交 md 的延长线于 n pakkda 90，akpdka ， akpdka ，akdpka ，kadkpa ，kpa kad30pda d，四边形 amna 是矩

41、形，an am ，pdmn，pmdn，设 dnm，则 pmm，p（3，+ m），d （9+m，），p，d 在同一反比例函数图象上，3（+ m） （9+m），解得 m3，第 25 页（共 31 页）p（3，4），k12【点评】本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了 可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题26（12 分）如图，在正方形 abcd 中，边长为 4，mdn90，将mdn 绕点 d 旋转，其中 dm 边分别与射线 ba、直线 ac 交于 e、q 两点，dn 边与射线 bc 交于点

42、f；连接 ef，且 ef 与直线 ac 交于点 p（1）如图 1，点 e 在线段 ab 上时，求证：aecf；求证：dp 垂直平分 ef； （2）当 ae1 时，求 pq 的长【分析】（1）只要证明adecde（asa）即可解决问题；利用相似三角形的性质证明pdq45即可解决问题；（2）当点 e 在线段 ab 上时，作 qhad 于 h，qgab 于 g aqdeqp，可知 aqpqdqeq，想办法求出 aq，eq，dq 即可解决问题；当点 e 在 ba 的延 长线上时，作 qhad 于 h，qgab 于 g，方法类似【解答】（1）证明：四边形 abcd 是正方形，dadc，adcdaedcf90，adcmdn90，adecdf，adecde（asa），aecfadecde（asa），dedf，mdn90，第 26 页（共 31 页）def45，dac45，daqpeq，aqdeqp， aqdeqp，aqepqd，aqedqp，qdpqae45，dpe90，dpef，