3、高三一轮复习：函数的概念与性质

1、函数的概念【知识要点】一、函数的概念：1、定义：（y 2 =2 x、y =2 x2、y =| x |、| y | =x都是函数吗？）2、函数的三要素：定义域、对应法则、值域；3、图像特征：在函数的定义域内作垂直于x轴的直线，它与函数图像有且只有一个交点；4、 表示方法：解析法、图像法、列表法等；5、 函数的运算：函数的和与积（关键：定义域求交集）。 二、定义域（集合或区间表示）：1、分式y =f ( x)g ( x)：分母g ( x) 0；2、偶次根式y =2 nf ( x )（n n*）：被开方数f ( x ) 0；3、零次幂y = f ( x )0：底数f ( x ) 0；4、对数y =l

2、og f ( x ) a（a 0且a 1）：真数f ( x ) 0；5、正切y =tan f ( x )：f ( x ) k +2， k z；此外，要注意实际问题中的背景意义。 【例题解析】1、判断下列函数是否是同一函数？（1）y =5x5与y =x2；（否）（2）y =ln ex与y =eln x；（否）（3）y =( x -1)( x +3) x +3与y =x -1；（否） （4） y =x 0 与y =1x 0；（是）（5）y =x +3x -3与y =x +3x -3；（否） （6）y =lg x2与y =2 lg x；（否）（7）f ( x ) =2 x 2 -1与g (t ) =

3、2t 2 -1；（是） （8）y =cos x与y =cos | x |。（是）2、求下列函数的定义域：（1）y =1 -x 2 lg(| x | -x)； （ 1 1 -1, - u-, 0 ） 2 2 第1页（共40页）2220（2）y =log( x +1)(5 -4 x )； （( -1, 0) u(0, log 5)4）（3）y =log0.5x -1x +5+(2 x -3)0； （ 1,3 3 u, +）2 2 （4）y =lglog ( x -3 -2)。 （(7, 12)）123、已知函数f ( x )的定义域为1, 3，则函数f (2 x -1)的定义域为1, 2；【变式

4、1】已知f ( x )的定义域为0, 1 ，则 f ( x2-5)的定义域为- 6, - 5 u 5, 6；【变式 2】已知f ( x )的定义域为0, 1，则f x 2 +x lg 的定义域为-5, -2 u1, 4。4、已知f (2 x -1) =4 x +3 ，求 f ( x )的解析式。 （f ( x) =2 x +5）【变式 1】已知f (3 x +2) =6 x2+2 x +1 ，求 f ( x )的解析式。（f ( x ) =2 7 x 2 -2 x +3 3）【变式 2】已知函数f ( x )的定义域为(0, +)，且满足fx -1 1 =x + +3x x，求函数f ( x

5、)的解析式。（f ( x ) =x 2 +5，x (0, +)）5、（1）已知f ( x) =x +2 ， g ( x ) =3 -xx +2，则f ( x) g( x) =3 -x ，x ( -2, 3；（2）已知f ( x )的定义域为0, 3，则f ( x ) = f ( x +1) + f ( x -1)的定义域为1, 2；（3）设x +1, x 0 f ( x ) =, x =0，则f f f ( -1) = +1；0, x 1 81，且1f ( x ) = ，则 x = 43 ；（5）设 f ( x ) =x 2, x 0 2 cos x, 0 x 0恒成立，则d=4 -4 a 0

6、 2 -x, x 0 时， f g ( x ) = f ( x -1) =x2-2 x -1；当 x 0 -4 x +2, x 0；g f ( x ) =g ( x -2) =x 2 -3, x 2 4 -x 2 , - 2 x 2。8、设函数f ( x )的定义域为( -,0) u (0, +)，且满足f ( x) +2 f1 =3x ，求 f ( x) x 的解析式。【解】在f ( x) +2 f1 =3x x 1中用 替代 xx，得：f1 +2f ( x ) = x 3x，联立和，解得：f ( x ) =2x-x （ x 0 ）。【变式】已知f ( x )满足m f (2 x -3) +

7、n f (3 -2 x) =2 x，其中m、n为常数，| m | | n |，求函数f ( x )的解析式。第3页（共40页）【解】设2 x -3 =t，则x =12(t +3) ，所以 m f (t ) +n f ( -t) =t +3，在式中用-t替换t，得：m f ( -t) +n f (t ) =-t+3，联立和，解得：f (t ) =1 3t +m -n m +n，所以，f ( x ) =1 3x +m -n m +n。第4页（共40页）函数的性质（1）奇偶性和单调性 【知识要点】一、函数的奇偶性：1、定义：对于函数f ( x )，若对定义域 d 内任意实数 x，都有 f ( -x)

8、 = f ( x )，则称函数f ( x )为偶函数；若对定义域d内任意实数x，都有f ( -x) =-f ( x)，则称函数f ( x )为奇函数。2、常用性质：（1） 奇（偶）函数的定义域关于原点对称；（2） 图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称；（3）若奇函数f ( x )在原点处有定义，则f (0) =0；（4）奇偶函数的运算性质：奇 奇 =奇，偶 偶 =偶，奇 奇 =偶，偶 偶 =偶，奇 偶 =奇； （5）常见函数的奇偶性：1常函数y =c（x r）是偶函数，当且仅当c =0时，常函数y =c（x r）既是奇函数也是偶函数；2一次函数y =kx +b （

9、k 0 ）是奇函数的充要条件是 b =0 ；3二次函数y =ax2+bx +c （ a 0 ）是偶函数的充要条件是 b =0 。二、函数的单调性：1、定义：对于函数y = f ( x)以及定义域内的给定区间i，如果任意x1、x i2，且x x12，总有f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2），则称f ( x)是区间 i 上的单调递增（减）函数，区间i称为f ( x)的单调递增（减）区间；2、常用性质：（1）若f ( x ) 在区间 i 上单调递增（减），c 为任意常数，则f ( x ) +c 在区间 i 上也单调递增（减）；（2）若f ( x)在区间i上单调递增（减），k为任意非零常数

10、，当k 0时，k f ( x )在区间i上单调递增（减）；当k 0 ， b 0 ）和 y =ax -x x（a 0，b 0）：y =ax +b b （ a 0 ， b 0 ） y =ax -x x（a 0，b 0）yy图像oxox定义域奇偶性递增区间( -,0) u(0, +)奇函数 b b -,- ， , + ( -,0) ， (0, +)递减区间 b- , 0a b ，0, 无渐近线x =0，y =ax第6页（共40页）【例题解析】1、判断下列函数的奇偶性：（1）f ( x ) =x 2 -3 | x | +2； （2）f ( x) =-3x 3 +x +2sin x；（3）f ( x )

11、 =x(1 -x ) x -1； （4）f ( x ) =x2-x +1；（5）f ( x ) =| x |cos x +1； （6）f ( x) =1 -x 2 | x +2 | -2；（7）f ( x ) =lg( 1 +x 2 +x )； （8）f ( x ) =lg1 +x1 -x；（9）f ( x) = 1 -x2+x2-1； （10）f ( x ) =x -2 x2 x +1；（11）x2 +sin x, x 0 f ( x ) =x 2 -sin x, x x2+x =| x | +x -x+x =0恒成立，所以函数的定义域为 r，f ( -x) =lg( 1 +x 2 -x )

12、 =lg11 +x2+x=-lg( 1 +x 2 +x ) =-f ( x )，所以，函数f ( x )为奇函数；（8）奇函数；（9）f ( x ) =0 ， x -1，1既是奇函数又是偶函数；（10）函数的定义域为 r，f ( x) =x (2 x -1) 2 x +1，f ( -x) =-x (2 -x -1) -x (1 -2 x )=2-x +1 1 +2 x= f ( x)，所以，函数f ( x )为偶函数；（11） 偶函数；（12） 当 a =0 时，函数为偶函数；当 a 0 时，f ( -a) - f ( a ) =2 | a | 0 即 f ( -a) f ( a )，f (

13、-a) + f ( a ) =2 a2+2 | a | +2 0 即 f ( -a) -f ( a )，所以函数为非奇非偶函数。第7页（共40页）2、（1 ）若函数f ( x) =( a -1) x3 +(b +1) x 2+( c -2) x +d是偶函数，则实数 a、b、c、d应满足的条件是a= 1，br，c= 2，dr ；【变式】若f ( x) =ax 2 +(b -3) x +3（x a 2 -2, a ）是偶函数，则a =1 ，b =3 ；（2）若f ( x ) =| x -1| -a 1 -x 2是奇函数，则实数a =1 ；【变式 1】若f ( x ) =lgax -1x +1是奇

14、函数，则实数a =1 ；【变式 2】若f ( x) =2 x2 x+a-1是奇函数，则实数a =1 ；（3）设f ( x) =ax3+bx +7 ，且 f (5) =3 ，则 f ( -5) =11 ；-1【变式】（2012 年上海卷理科）已知 g ( x ) = f ( x ) +2g ( -1) =，则y = f ( x ) +x；2是奇函数，且f (1) =1。若（4）设奇函数f ( x )的定义域为-5, 5，若当x 0, 5时，f ( x )的图像y如 右 图 所5示，则不等式f ( x) 0的解集为( -2, 0) u(2, 5；o 2x【 变 式 】 已 知 定 义 在( -3,

15、 3)上 的 奇 函 数y = f ( x)， 当y0 x 3时，图像如右图所示，则不等式x f ( x) 1 f ( x) =-1, x 1。4、（1）已知y = f ( x)是 r 上的奇函数，且当x 0时，f ( x ) =2 x +cos x，求f ( x)的解析式；（2）已知y = f ( x)是 r 上的偶函数，且当 x 0 时， f ( x) =x2-2 x ，求 f ( x )的解析式。【解】（1） 2 x +cos x , x 0； （2） f ( x) =xx22-2 x, x 0 +2 x, x 0。5、已知函数f ( x)和g ( x)的定义域都是( -,-1) u(

16、-1, 1) u(1, +)，且f ( x)为偶函数，g ( x)为奇函数，若f ( x ) +g ( x) =1x -1，求函数f ( x)和g ( x )的解析式。【解】f ( x ) =1x 2 -1，x ( -,-1) u( -1, 1) u(1, +)，g ( x ) =x2x-1，x ( -,-1) u( -1, 1) u(1, +)。6、讨论函数f ( x) =2 x +8x-1在区间 (0, +)上的单调性，并证明。【解】函数f ( x) =2 x +8x-1在区间 (0, 2)单调递减，在区间(2, +)单调递增。设x1、x2是区间(0, +)上任意两个实数，且x x12，则

17、 8 8 2( x -x )( x x -4)f ( x ) -f ( x ) =2x + -1-2x+ -1= 1 2 1 2x x x x1 2 1 2，因为0 x x12，所以x -x 01 2；当0 x x 21 2时，x x -4 0 1 2，即f ( x ) f ( x ) 1 2，所以f ( x)在区间(0, 2)单调递减；当2 x 0 ，所以 f ( x ) -f ( x ) 0 ，即 f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 1 2 1 2，所以f ( x)在区间(2, +)单调递增。第9页（共40页）1212【变式】判断函数f ( x) =x1 -x2在区间( -1,

18、 1)上的单调性，并证明。【解】设x1、x2是区间( -1, 1)上任意两个实数，且x x12，则x x ( x -x )(1 +x x )f ( x ) -f ( x ) = 1 - 2 = 1 2 1 21 -x 2 1 -x 2 (1 -x 2 )(1 -x 2 ) 1 2 1 2，因为 -1 x x 1 ，所以 x -x 0 ， 1 -x 2 1 2 1 2 1 2 10 ，1 -x220，从而f ( x ) -f ( x ) 0 1 2，即f ( x ) 0，解得：-1 x 1，所以函数的定义域为( -1,1)。设 x 、 x 为区间 ( -1,1) 1 2上任意两实数，且x x12

19、，则1 -x 1 -x (1 -x )(1 +x )f ( x ) - f ( x ) =lg 1 -lg 2 =lg 1 21 +x 1 +x (1 -x )(1 +x ) 1 2 2 1，而(1-x )(1+x ) 2( x -x ) 1 2 -1 = 2 1(1-x )(1+x ) (1-x )(1+x ) 2 1 2 1，因为-1 x x 0 2 1，1 -x 01，1 +x 01，因此2( x -x ) (1-x )(1+x ) (1-x )(1+x ) 2 1 0 ，即 1 2 1，从而 lg 1 2(1-x )(1+x ) (1-x )(1+x ) (1-x )(1+x ) 2

20、1 2 1 2 10，即f ( x ) f ( x ) 1 2，所以函数f ( x ) =lg1 -x1 +x是( -1,1)上的减函数。【变式 1】求证：函数f ( x ) =log12x +2x -2在(2, +)单调递增。【变式 2】求证：函数f ( x) =4x2x +1是( -,+)上的增函数。8、已知函数f ( x)的定义域为 r，给出下列命题：若f ( x)在 r 上单调递增，且f ( x) 0则f ( x)在 r 上单调递增；第10页（共40页）若f ( x)在 r 上单调递增，则 f ( x)2在 r 上单调递增；若任意x r，有f ( x ) 0x -x1 2，则f ( x

21、)在 r 上单调递增。其中真命题的序号为 。9、求下列函数的单调区间：（1）y =x +9x； 增区间：( -,-3) ， (3, +)；减区间：( -3, 0) ， (0, 3)【变式】y =-x-25x； 增区间：( -5, 0) ， (0, 5)；减区间：( -,-5) ， (5, +)（2）y =2 x -3x； 增区间：( -,0)，(0, +)；无减区间【变式】y =4x-3 x； 减区间：( -,0) ， (0, +)；无增区间（3）y = -2 x2+5 x -21 5 ； 增区间： , ；减区间： 2 4 54, 21 【变式 1】 y = 2 x2-2 x -3； 增区间：

22、( -,1)；减区间：(1, +)【变式 2】y =log ( x 22-2 x -3)；增区间：(3, +)；减区间：( -,-1)10、（1）若函数f ( x) =x2+2( a -1) x +2的减区间为( -,4，则实数a的值为 3 ；（2）若函数f ( x) =x 2 +2( a -1) x +2在区间( -,4上单调递减，则实数a的取值范围是( -,-3。11、（2006 年北京卷理）已知函数1 1 则实数 a 的取值范围是, 7 3 (3a -1) x +4 a , x 1 f ( x ) =log x , x 1 a；是( -,+)上的减函数，第11页（共40页）4 - 2 2

23、ax ,【变式】已知函数 f ( x) = a 2 x 1 x +2, x 1是( -,+)上的增函数，则实数a的取值范围是4, 8)。12、已知函数f ( x ) =kx2-4 x -8 在 4, 16 上单调递减，求实数 k 的取值范围。【解】当k =0时，f ( x) =-4x -8在4, 16 上单调递减，满足题意；当 k 0 时，二次函数f ( x ) =kx2-4 x -8的对称轴为x =2k，由题意得：k 0 k 0 或 ，解得 16 4k k0 k 18或k 0。综上，实数 k 的取值范围是 -,18。【变式 1】已知函数f ( x ) =ax2+2 x +1在 1, 2上单调

24、递增，求实数 a 的取值范围。（实数 a 的取值范围是-12, +） 【变式 2】已知函数f ( x ) =ax +1x +2在( -,-2)上单调递增，求实数 a 的取值范围。【解】因为f ( x) =ax +1 a ( x +2) +1 -2 a 1 -2 a= =a +x +2 x +2 x +2在( -,-2)上单调递增，所以1 -2 a 0在x 0, 1恒成立，所以， a 0 2 -a 0，解得：实数 a 的取值范围是(0, 2)。【变式 1】已知函数f ( x ) =lg(2 -ax )在(0, 1)单调递减，求实数a的取值范围。（(0, 2）【变式 2】已知 a 0 且 a 1

25、，若函数 f ( x ) =log ( ax -3) 在 (4, 5)a第12页（共40页）单调递减，求实数 a 的取值范围。（3 , 1）4 14、设f ( x)是偶函数，且在0, +)单调递增，比较f ( -3)与f (2 a 2 -4 a +5)的大小。【解】因为2 a2 -4 a +5 -3 =2( a -1) 20 ，所以 2a2-4 a +5 3，从而f (2 a2-4 a +5) f (3) = f ( -3)，即f ( -3) f (2 a2-4 a +5)。15、已知奇函数f ( x)的定义域为( -1, 1)，且在0, 1)单调递减，若f (1 -a ) + f (1 -a

26、2) 0，求实数a的取值范围。【解】因为奇函数f ( x)满足f (1 -a ) + f (1 -a2) 0，所以f (1 -a ) 1 -a a 2 -1 -1，即 a 2 -1 -1 1 -a a 2 -1，解得：实数a的取值范围是(0, 1)。1 -a 0，求实数 a 的取值范围。 （( -3, -1 u1）【变式 2】定义在-2, 2上的偶函数f ( x )在区间0, 2上单调递减，若f (1 -m) f ( m)，求实数 m 的取值范围。【解】由题意得：| m | |1 -m | 2，解得，实数 m 的取值范围是-1,12。第13页（共40页）函数的性质（2）周期性、对称性和图像变换

27、 【知识要点】一、周期性：对于函数y = f ( x )，如果存在非零常数 t，使得 x 取定义域内的任意值时，都有f ( x +t ) = f ( x )成立，那么函数f ( x )叫做周期函数，常数 t 叫做 f ( x )的周期。对于一个周期函数f ( x )来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f ( x )的最小正周期。【注】1、如果 t 是函数 f ( x)的周期，那么 kt （ k z， k 0 ）都是 f ( x )的周期；2、对于函数y = f ( x )，如果存在常数a、b且a b，使得x取定义域内的任意值时，都有f ( x +a ) = f (

28、x +b)成立，则f ( x )是周期函数，且b -a是函数的一个周期。【思考】周期函数一定有最小正周期吗？（否，如常函数） 二、对称性：1、轴对称：对于函数y = f ( x )，如果存在常数a，使得x取定义域内的任意值时，都有f ( a +x ) = f ( a -x )成立，那么直线 x =a是函数f ( x )图像的一条对称轴。更一般地，如果存在常数 a、b，使得 x 取定义域内的任意值时，都有f ( a +x ) = f (b -x )成立，那么直线x =a +b2是函数f ( x )图像的一条对称轴。2、对称中心：对于函数y = f ( x )，如果存在常数a、b、c使得x取定义域内的任意值时，都有f ( a +x ) + f (b -x ) =c成立，那么点 a +b c,2 2是函数f ( x )图像的一个对称中心。三、函数图像变换：1、函数图像的平移：左右平移和上下平移。 2、函数图像的对称：（1）函数y = f ( x ) 关于 x 轴对称的是y =-f ( x)；（2）函数y = f ( x )关于y轴对称的是y = f ( -x)；（3）函数y = f ( x )关于原点对称的是y =-f ( -x)；第14页（共40页）（4）函数y = f ( x )关于直线 x =a对称的是y = f (2a -x )；（5）函数y = f