(通用)2020年中考数学重点突破(附答案与解析)：相似

1、2020 年数学一轮复习之针对训练：相似的突破1如图，在abc 中，abac，ad 是abc 的角平分线，e，f 分别是 bd，ad 上的点，取 ef 中点 g，连接 dg 并延长交 ab 于点 m，延长 ef 交 ac 于点 n（1） 求证：fab 和b 互余；（2） 若 n 为 ac 的中点，de2be，mb3，求 am 的长2如图，在abc 中，点 o 在边 ac 上，o 与abc 的边 bc，ab 分别相切于 c，d 两点， 与边 ac 交于 e 点，弦 cf 与 ab 平行，与 do 的延长线交于 m 点（1）求证：点 m 是 cf 的中点；（2）若 e 是的中点，bca，1 求2

2、求的弧长；的值3如图，在平面直角坐标系中，点 b（12，10），过点 b 作 x 轴的垂线，垂足为 a作 y 轴的垂线，垂足为 c点 d 从 o 出发，沿 y 轴正方向以每秒 1 个单位长度运动；点 e 从 o出发，沿 x 轴正方向以每秒 3 个单位长度运动 ；点 f 从 b 出发，沿 ba 方向以每秒 2 个单位长度运动当点 e 运动到点 a 时，三点随之停止运动，运动过程中ode 关于直线 de 的对称图形是de，设运动时间为 t（1） 用含 t 的代数式分别表示点 e 和点 f 的坐标；（2） 若ode 与以点 a，e，f 为顶点的三角形相似，求 t 的值； （3）当 t2 时，求 o点

3、在坐标4如图 1，在菱形 abcd 中，ab ，bcd120，m 为对角线 bd 上一点（m 不与点 b、 d 重合），过点 mncd，使得 mncd，连接 cm、am、bn（1） 当dcm30时，求 dm 的长度；（2） 如图 2，延长 bn、dc 交于点 e，求证：amdebecd；（3） 如图 3，连接 an，则 am+an 的最小值是 3 5如图，在矩形 abcd 的边 ab 上取一点 e，连接 ce 并延长和 da 的延长线交于点 g，过点 e 作 cg 的垂线与 cd 的延长线交于点 h，与 dg 交于点 f，连接 gh（1） 当 tanbec2 且 bc4 时，求 ch 的长；（

4、2） 求证：dffghfef；（3） 连接 de，求证：cdecgh6如图，在rtabc 中，a90，ab20cm，ac15cm，在这个直角三角形内有一个内 接正方形，正方形的一边 fg 在 bc 上，另两个顶点 e、h 分别在边 ab、ac 上（1） 求 bc 边上的高；（2） 求正方形 efgh 的边长7如图 1，abc 内接于o，点 d 是 e的 中点，且与点 c 位于 ab 的异侧，cd 交 ab 于点（1） 求证：adecda（2） 如图 2，若o 的直径 ab4，ce2，求 ad 和 cd 的长8如图，abc 中，abac，am 为 bc 边的中线，点 d 在边 ac 上，联结 b

5、d 交 am 于点 f，延长 bd 至点 e，使得 ，联结 ce求证：（1） ecd2bam；（2） bf 是 df 和 ef 的比例中项9如图，在梯形abcd 中，adbc，bcbd10，cd4，ad6点 p 是线段 bd 上的动点， 点 e、q 分别是线段 da、bd 上的点，且 dedqbp，联结 ep、eq（1） 求证：eqdc；（2） 当 bpbq 时，如果epq 是以 eq 为腰的等腰三角形，求线段 bp 的长；（3） 当 bpm（0m5）时，求peq 的正切值（用含 m 的式子表示）10如图，已知平行四边形 abcd 中，ad ，ab5，tana2，点 e 在射线 ad 上，过点

6、e 作 efad，垂足为点 e，交射线 ab 于点 f，交射线 cb 于点 g，联结 ce、cf，设 aem （1）当点 e 在边 ad 上时，求cef 的面积；（用含 m 的代数式表示）当4dcebfg时，求 ae：ed 的值；（2）当点 e 在边 ad 的延长线上时，如果aef 与cfg 相似，求 m 的值11在abc 中，acb90，ab20，bc12（1）如图 1，折叠abc 使点 a 落在 ac 边上的点 d 处，折痕交 ac、ab 分别于 q、h，若9abc，则 hq 4 dhq（2） 如图 2，折叠abc 使点 a 落在 bc 边上的点 m 处，折痕交 ac、ab 分别于 e、f

7、若 fmac，求证：四边形 aemf 是菱形；（3） 在（1）（2）的条件下，线段 cq 上是否存在点 p，使 cmp 和hqp 相似？若存在， 求出 pq 的长；若不存在，请说明理由12如图，在 abc 中，c90，cdab 于 d，（1） 若 ac：cb3：2，求 ad：db 的值；（2） abc 的角平分线分别交 ac，dc 于 e，f 两点求证： + ；（3） 延长 cd 至 g，使 dg cg，连接 ag，f 为 ag，cb 延长线上的交点，ag5，sin agd ，直接写出 cf 的长13如图，在 abc 中，acb90，acbc6cm，点 p 从点 a 出发，沿 ab 方向以每秒

8、cm 的速度向终点 b 运动，同时，动点 q 从点 b 出发沿 bc 方向以每秒 1cm 的速度向终点 c 运动，将pqc 沿 bc 翻折，点 p 的对应点为点 p，当其中一个动点到达终点时 另一个点随着停止，设 q 点运动的时间为 t 秒（1） 当 t 为何值时，pqbc；（2） 在运动过程中，设pbq 的面积为 s（cm2），求 s 与 t 的函数关系式（不要求写出 自变量取值范围），并求出其面积 s 的最大值；（3） 在运动过程中，是否存在四边形 qpcp为菱形，若存在，请求出 t 的值；若不存在， 请说明理由14如图， abc 中，acb90，acbc，d 是线段 ab 上一点（0ad

9、 ab）过点b 作 becd，垂足为 e将线段 ce 绕点 c 逆时针旋转 90，得到线段 cf，连接 af，ef设 bce 的度数为 （1）依题意补全图形若 60，则caf 30 ； ；（2）用含 的式子表示 ef 与 ab 之间的数量关系，并证明15如图，已知等腰abc 中，abac，adbc，ac 与 x 轴交于点 e，d（2，0），a（5，3） （1）求点 b 的坐标；（2） 求 de 的长；（3） 探究：在 x 轴上是否存在点 p，使以 a、d、p 为顶点的三角形 cde 相似？若存 在，请求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由答案与解析1如图，在abc 中，abac，ad 是ab

10、c 的角平分线，e，f 分别是 bd，ad 上的点，取 ef 中点 g，连接 dg 并延长交 ab 于点 m，延长 ef 交 ac 于点 n（1） 求证：fab 和b 互余；（2） 若 n 为 ac 的中点，de2be，mb3，求 am 的长解：（1）abac ad 为bac 的角平分线adbc，fab+b90，即fab 和b 互余；（2）过点 n 作 bc 平行线交 dm 延长线于点 q 交 ab 于点 p，交 ad 于点 kde2be n 为 ac 的中点，nqbc， nk ，ap ab，令 de4k，eb2k 所以 nk3k 又nqbc又g 为 fe 中点，egfg ef，nq10k p

11、q10k6k4k，bcdqdbmqpm，又bm3，pm2，ap5，am5+272如图，在abc 中，点 o 在边 ac 上，o 与abc 的边 bc，ab 分别相切于 c，d 两点， 与边 ac 交于 e 点，弦 cf 与 ab 平行，与 do 的延长线交于 m 点（1）求证：点 m 是 cf 的中点；（2）若 e 是的中点，bca，1 求2 求的弧长；的值证明：（1）o 与abc 的边 bc，ab 分别相切于 c，d 两点， acbodb90，cfab，omfodb90，omcf，且 om 过圆心 o，点 m 是 cf 的中点；（2）连接 cd，df，of，o 与abc 的边 bc，ab 分

12、别相切于 c，d 两点， bdbc，e 是 的中点，dcefce，abcf，aecfacd，adcd，a+b90，acd+bcd90， bbcd，bdcd，且 bdbc，bdbccd，bcd 是等边三角形，b60，a30ecfacd，dcf60，dof120，bca，a30，ab2a，aca，ada，aa，adoac b90， adoacb， ，doa，的弧长 a；a30，odab，ao2doa，aeaooe 1aa，3如图，在平面直角坐标系中，点 b（12，10），过点 b 作 x 轴的垂线，垂足为 a作 y 轴的垂线，垂足为 c点 d 从 o 出发，沿 y 轴正方向以每秒 1 个单位长度运

13、动；点 e 从 o出发，沿 x 轴正方向以每秒 3 个单位长度运动 ；点 f 从 b 出发，沿 ba 方向以每秒 2 个单位长度运动当点 e 运动到点 a 时，三点随之停止运动，运动过程中ode 关于直线 de 的对称图形是de，设运动时间为 t（1） 用含 t 的代数式分别表示点 e 和点 f 的坐标；（2） 若ode 与以点 a，e，f 为顶点的三角形相似，求 t 的值； （3）当 t2 时，求 o点在坐标解：（1）bax 轴，cby 轴，b（12，10），ab10，由运动知，odt，oe3t，bf2t（0t4），af102t，e（3t，0），f（12，102t）；（2）由（1）知，odt

14、，oe3t，af102t， ae123t，bax 轴，oab90aoc，ode 与以点 a，e，f 为顶点的三角形相似， doeeaf 或doefae，当doeeaf 时，t ，当doefae 时，t6（舍），即：当ode 与以点 a，e，f 为顶点的三角形相似时，t（3）如图，当 t2 时，od2，oe6，秒；在 doe 中，根据勾股定理得，de2 连接 oo交 de 于 g，oo2og，oode， odoe deog， doeogoo2og ，aoc90，hoo+aoo90， oode，oed+aoo90，hoooed，过点 o作 ohy 轴于 h，oho90doe，ohoeod， ， ，

15、oho（，oh， ），4如图 1，在菱形 abcd 中，ab ，bcd120，m 为对角线 bd 上一点（m 不与点 b、 d 重合），过点 mncd，使得 mncd，连接 cm、am、bn（1） 当dcm30时，求 dm 的长度；（2） 如图 2，延长 bn、dc 交于点 e，求证：amdebecd；（3） 如图 3，连接 an，则 am+an 的最小值是 3 解：（1）如图 1，连接 ac 交 bd 于 o， 四边形 abcd 是菱形，acbd，bd2ob，cdbcab bcd120，cbd30，oc bc，oboc ，bd3，bcd120，dcm30， bcm90，cmbc1，bm2cm

16、2，dmbdbm1；（2）四边形 abcd 是菱形，abcd，abcd，mncd，mncd，abmn，abmn，四边形 abnm 是平行四边形， ambn，ambebd，abcd，abmedb，abmedb， ，amdebeab，abcd，amdebecd；（3）如图 2，四边形 abcd 是菱形，abd abc，cdab， bcd120，abc60，a bd30，连接 cn 并延长交 ab 的延长线于 p，cdmn，cdmn，四边形 cdmn 是平行四边形，当点 m 从点 d 向 b 运动时，点 n 从点 c 向点 p 运动（点 n 的运动轨迹是线段 cp），apc abd30，由（2）知，

17、四边形 abnm 是平行四边形，ambn，am+anan+bn，而 am+an 最小，即：an+bn 最小，作点 b 关于 cp 的对称点 b，当点 a，n，b在同一条线上时，an+bn 最小，即：am+an 的最小值为 ab，连接 bb，bp，由对称得，bpbpabbbp 是等边三角形，bp 过点 b作 bqbp 于 q，bpb2apc60，bq bp，bqbq ，aqab+bq，在 rtaqb中，根据勾股定理得，ab 即：am+an 的最小值为 3，故答案为 33，5如图，在矩形 abcd 的边 ab 上取一点 e，连接 ce 并延长和 da 的延长线交于点 g，过点 e 作 cg 的垂线

18、与 cd 的延长线交于点 h，与 dg 交于点 f，连接 gh（1） 当 tanbec2 且 bc4 时，求 ch 的长；（2） 求证：dffghfef；（3） 连接 de，求证：cdecgh（1）解：在 bce 中，当 tanbec2， 2，即 2，解得，be2，由勾股定理得，ce四边形 abcd 为矩形， abcd，echbec， 2 ，tanech2，即 2，eh4，ch10；（2）证明：fegfdh90，efgdfh， efgdfh， ，dff ghfef；（3）证明：efgdfh，cgdche，又gcdhce，gcdhce， ，又gcdhce，cdecgh，cdecgh6如图，在 a

19、bc 中，a90，ab20cm，ac15cm，在这个直角三角形内有一个内 接正方形，正方形的一边 fg 在 bc 上，另两个顶点 e、h 分别在边 ab、ac 上（1） 求 bc 边上的高；（2） 求正方形 efgh 的边长解：（1）作 adbc 于 d，交 eh 于 o，如图所示：在 rtabc 中，a90，ab20cm，ac15cm， bc 25（cm）， bc ad abac，ad 12（cm）；即 bc 边上的高为 12cm；（2）设正方形 efgh 的边长为 xcm，四边形 efgh 是正方形，ehbc，aehb，ahec，aehabc ，即 ，解得：x，即正方形 efgh 的边长为

20、cm7如图 1，abc 内接于o，点 d 是 e的 中点，且与点 c 位于 ab 的异侧，cd 交 ab 于点（1） 求证：adecda（2） 如图 2，若o 的直径 ab4，ce2，求 ad 和 cd 的长解：（1）点 d 是 acdbad，adecdaadecda（2）连结 bd，的中点，点 d 时的中点，adbdab 是o 的直径，adb90，adb 为等腰直角三角形， ，由（1）得adecda，即 ad2cd ed，cd22cd480，解得 cd8 或6 cd88如图，abc 中，abac，am 为 bc 边的中线，点 d 在边 ac 上，联结 bd 交 am 于点 f，延长 bd 至

21、点 e，使得 ，联结 ce求证：（1） ecd2bam；（2） bf 是 df 和 ef 的比例中项证明：（1）abac，am 为 bc 边的中线， bac2bam， ，adbcde，adbcde，bacecd，ecd2bam；（2）如图，连接 cf，abac，am 为 bc 边的中线，am 是 bc 的垂直平分线，bfcf，且 abac，afaf，abfacf（sss）abfacf，由（1）可知：adbcde，abfe，acfe，且efcdfc，dcfcef， ，且 bfcf，bf2df ef，bf 是 df 和 ef 的比例中项9如图，在梯形abcd 中，adbc，bcbd10，cd4，a

22、d6点 p 是线段 bd 上的动点， 点 e、q 分别是线段 da、bd 上的点，且 dedqbp，联结 ep、eq（1） 求证：eqdc；（2） 当 bpbq 时，如果epq 是以 eq 为腰的等腰三角形，求线段 bp 的长；（3）当 bpm（0m5）时，求peq 的正切值（用含 m 的式子表示） 解：（1）adbc，edqdbc，dedq，bdbc，1，deqbcd，dqebdc，eqcd；（2）设 bpx，则 dqx，qp2x10， deqbcd，eq x，epq 是以 eq 为腰的等腰三角形，、当 eqep 时，eqpepq， dedq，eqpqed，epqqed，eqpdeq， ，e

23、q2deqp，（ x）2（2x10）x，解得，x0（舍）或 x即：bp ，6，、当 qeqp 时，x2x10，解得，x6，此种情况不存在，即：bp ；（3）如图，过点 p 作 pheq，交 eq 的延长线于点 h，过点 b 作 bgdc，垂足为点 g，bdbc，bgdc，dg2，bg6 bpdqm，pq102m，eqdc，pqhbdg，phqbgd90，phqbgd，hqeh，ph2，tanpeq 2 m10如图，已知平行四边形 abcd 中，ad ，ab5，tana2，点 e 在射线 ad 上，过点e 作 efad，垂足为点 e，交射线 ab 于点 f，交射线 cb 于点 g，联结 ce、c

24、f，设 aem （1）当点 e 在边 ad 上时，求cef 的面积；（用含 m 的代数式表示）当4dcebfg时，求 ae：ed 的值；（2）当点 e 在边 ad 的延长线上时，如果aef 与cfg 相似，求 m 的值解：（1）efad，aef90，在 rtaef 中，tana2，aem， efaetana2m，根据勾股定理得，afab5，bf5m，四边形 abcd 是平行四边形，bcad ，adbc， gaef90，aefbgf，bgm，m，cgbc+bg+ m2 m， efcg 2m（2 cefm）2mm2；由知，aefbgf，fg，ef2m2（m），egef+fg2m+2（m）2， de

25、eg （ cdem）25m， bgfg （ m）2（ m）（ bfgm）2，4dcebfg时，5m4（ m）2，m（舍）或 m，deadae，ae：ed：3，即：ae：ed 的值为 3；（2）四边形 abcd 是平行四边形，bcad，adbc，efad，efbc，aefcgf90， aef 与cfg 相似，当aefcgf 时，如图 1， afecfg，efbc，bg bcadbc，cbfa，tana2，tancbf2，在 bgf 中，fgbgtancbf 根据勾股定理得，bf， ，afab+bf5+ bcad，bgfaef， ， ，m ；当aefcgf 时，如图 2， eafgfc，eaf+a

26、fe90，gfc+afe90，afc90，adbc，cbfa，tancbftana2，在 bfc 中，cfbf cbf2bf，根据勾股定理得，bf2+cf2bc2，bf2+4bf2（）2，bf1，afab+bf6，在 bgf 中，同理：bg adbc，bgfaef， ， ，m ，即：如果aef 与cfg 相似，m 的值为或 11在abc 中，acb90，ab20，bc12（1）如图 1，折叠abc 使点 a 落在 ac 边上的点 d 处，折痕交 ac、ab 分别于 q、h，若9abc，则 hq 4 dhq（2） 如图 2，折叠abc 使点 a 落在 bc 边上的点 m 处，折痕交 ac、ab

27、分别于 e、f若 fmac，求证：四边形 aemf 是菱形；（3） 在（1）（2）的条件下，线段 cq 上是否存在点 p，使 cmp 和hqp 相似？若存在， 求出 pq 的长；若不存在，请说明理由解：（1）如图 1 中，在abc 中，acb90，ab20，bc12，ach qbc，16，设 hqx， ，aq x，9abc，dhq 16129 x x， x4 或4（舍弃），hq4，故答案为 4（2）如图 2 中，由翻折不变性可知：aeem，affm，afemfe， fmac，aefmfe，aefafe，aeaf，aeafmfme，四边形 aemf 是菱形（3）如图 3 中，设 aeemfmaf

28、4m，则 bm3m，fb5m， 4m+5m20，m ，aeem ，ecacae16，cmqh4，aq，qc当 ，设 pqx，时，hqpmcp， ，解得：x当 ，时，hqppcm，解得：x8 或 ，经检验：x8 或 是分式方程的解，且符合题意，综上所述，满足条件长 qp 的值为或 8 或 12如图，在 rtabc 中，c90，cdab 于 d， （1）若 ac：cb3：2，求 ad：db 的值；（2） abc 的角平分线分别交 ac，dc 于 e，f 两点求证： + ；（3） 延长 cd 至 g，使 dg cg，连接 ag，f 为 ag，cb 延长线上的交点，ag5，sin agd ，直接写出

29、cf 的长解：（1）cdab，adcbdc90acb，acd+a90，acb90，acd+dcb90，adcbadccdb，adccdb， ，ad cd，cd db，ad db，ad：db9：4（2）如图 2，过点 e 作 egab 于 g，连接 fg， cdab，egcf，be 平分cba，cbegbe，eceg， egcd， ，aegacd，+， + 1，ceeg，+1， ；（3）如图 3，在 adg 中，ag5，sinagd ， adag sinagd3，根据勾股定理得，dg4，dg cg，cg dg6，cd2，在 adc 中，根据勾股定理得，ac 由（1）知，adccdb， ， ，db

30、 ，cb，过点 g 作 ghcf 于 h，chgcdb90，bcdgch，bdcghc， ， ，gh ，ch ，acb90fhg， fhgfca， ，cf18 ，13如图，在 rtabc 中，acb90，acbc6cm，点 p 从点 a 出发，沿 ab 方向以每秒cm 的速度向终点 b 运动，同时，动点 q 从点 b 出发沿 bc 方向以每秒 1cm 的速度向终点 c 运动，将pqc 沿 bc 翻折，点 p 的对应点为点 p，当其中一个动点到达终点时 另一个点随着停止，设 q 点运动的时间为 t 秒（1） 当 t 为何值时，pqbc；（2） 在运动过程中，设pbq 的面积为 s（cm2），求

31、s 与 t 的函数关系式（不要求写出自变量取值范围），并求出其面积 s 的最大值；（3）在运动过程中，是否存在四边形 qpcp为菱形，若存在，请求出 t 的值；若不存在， 请说明理由解：（1）由勾股定理得，ab6 ，由题意得，ap则 bp6 t，bqt， t，当 pqac 时，pqbc，则 ，即 ， 解得：t3，则当 t3 秒时，pqbc；（2）过点 p 作 pdbc 于 d， 则 pdac， ，即 ，解得，pd3s bqpd t（3 t2+t，t）t （t）2+ ，当 t时，面积 s 的最大值为 ；（3）如图 2，过点 p 作 peac 于点 e，连接 pp 由题意知，点 p、p关于 bc 对称，bc 垂直平分 ppqpqp，pdpd四边形 qpcp是菱形，则 cdqd， c90，acbc，a45apt，pet，易得，四边形 pecd 是矩形，cdpet，即 cdqdt又 bqt，bc6，3t6，解得，t2若四边形 qpcp为菱形，则 t 的值为 214如图， abc 中，acb90，acbc，d 是线段 ab 上一点（0ad ab）过点b 作 becd，垂足为 e将