2017-2018学年高二化学苏教版选修六（浙江专用）创新同步课时限时训练+专题1+课题三+硝酸钾晶体的制备+Word版含答案

1、研 究 生 课 程 论 文(2014-2015学年第一学期)车载天线伺服系统模型的降阶与控制器设计分析提交日期： 研究生签名：学号 学院课程编号课程名称线性系统学位类别任课教师教师评语：成绩评定： 分任课教师签名： 年 月 日 摘 要对高阶系统模型的降阶和控制器的设计与综合历来是自动控制领域里基本且重要的问题，围绕这两个问题已产生了许多方法并且在实际中得到广泛应用。本文以一个5阶的车载天线伺服系统模型为例，将此高阶模型降为二阶系统，采用包括PID控制器，超前-滞后控制器,分别运用极点配置、LQR、H设计结合内模原理设计状态反馈控制器，以及基于LQR的输出反馈控制器等在内的多种方法控制器来使系统

2、达到一定的性能指标。通过分析使用控制器后的系统阶跃响应曲线和伯德图，了解控制器各参数对系统的影响；讨论了常数干扰情况下，受控系统的性能的变化情况。最终，通过对此车载天线伺服系统模型以上几个问题的讨论与分析，具体的阐释了高阶系统的控制器的设计方法。关键词：模型降阶；PID；超前-滞后；极点配置； LQR；H目 录第一章 问题描述- 1 -第二章 系统模型及降阶- 3 -2.1原系统模型- 3 -2.2 系统降阶- 4 -2.2.1平衡实现- 4 -2.2.2奇异值分解- 5 -2.2.3 系统降阶- 6 -2.3降阶结果分析- 7 -2.3.1平衡降阶结果分析- 7 -2.3.2 消除零点降阶结

3、果分析- 8 -第三章 经典控制器设计- 10 -3.1 PID控制器的设计- 10 -3.1.1 PID控制器原理- 10 -3.1.2 PID控制器各个环节的作用- 11 -3.1.3 PID控制器参数整定- 11 -3.1.4 PID 控制器仿真- 14 -3.1.5 PID控制结果分析- 15 -3.1.6 本章小结- 19 -3.2 超前-滞后控制器设计- 20 -3.2.1 超前-滞后控制器原理- 20 -3.2.2 超前-滞后控制器参数整定- 22 -3.2.3 超前-滞后控制结果分析- 25 -3.2.4 本章小结- 28 -第四章 现代控制器设计- 29 -4.1 极点配置状

4、态反馈控制- 29 -4.1.1 极点配置状态反馈控制原理- 29 -4.1.2 极点配置状态反馈控制参数计算- 32 -4.1.3 极点配置状态反馈控制参数整定- 33 -4.1.4 极点配置状态反馈控制仿真- 37 -4.1.5 常数干扰情况- 43 -4.1.6 本章小结- 47 -4.2 LQR状态反馈控制器- 48 -4.2.1 LQR基本原理- 48 -4.2.2 LQR状态反馈参数整定- 50 -4.2.3 常数负载扰动分析- 56 -4.2.4 5阶和上包络系统LQR状态反馈控制及仿真- 57 -4.2.5 本章小结- 58 -4.3 H控制器设计- 60 -4.3.1 H控制

5、原理- 60 -4.3.2 2阶系统的H控制模型- 63 -4.3.3 2阶系统的H控制参数整定- 64 -4.3.4 常数负载扰动分析- 65 -4.3.5 5阶系统控制和上包络线控制- 66 -4.3.6 本章小结- 67 -第五章 总结- 69 -参考文献- 70 -第一章 问题描述车载天线伺服系统速度环的5阶辨识模型如下：1， 将上述5阶辨识模型G5降阶注1为2阶标称模型G2和不确定性上包络模型Gsup，三者的幅频特性如图1所示。比较三者的阶跃响应和伯德图以及频域指标和时域指标，分析所得降阶模型在不同频段上的误差，说明对控制器设计带来的影响。图12， 设计经典控制器注2，如PID，超前

6、-滞后控制(非重点)，给出阶跃响应和伯德图以及频域指标和时域指标，说明控制器参数对闭环系统影响。3， 针对G2，运用极点配置、LQR、H的状态空间法设计状态反馈控制器。要求闭环系统可无静差地跟踪阶跃信号，系统常数负载扰动注3情况下，闭环系统可同样对阶跃信号达到无静差跟踪。给出阶跃响应和伯德图以及频域指标和时域指标，分析系统的稳定裕量，说明控制器参数对闭环系统影响。4， 运用3中得到的控制器控制注4G5与Gsup。若闭环系统稳定，给出阶跃响应和伯德图以及频域指标和时域指标，比较与3中的差异，并分析原因。若所得闭环系统不稳定，重复3、4步骤，直至获得稳定的控制器注5。5， 要求2、3、4所设计控制

7、器，在超调量小于30%的情况下，控制G2或G5的过渡时间不大于0.5s；控制Gsup过渡时间不大于1s。注1：降阶方法不局限于平衡截断法，可以使用多种降阶方法；注2：可以针对G2进行控制器设计，但是所得控制器一定要通过G5与Gsup的验证；注3：扰动的位置在速度环输出端；注4：提示可以采用输出反馈的形式，也可以使用其他形式；注5：若无法完成4中控制器对G5与Gsup的验证，则论文被视为不合格。注6：注意课程论文不同于小作业，最后提交论文要具有一般论文的结构，不能只是对上述问题简短作答。注7：大作业中Gsup可以取下式：也可以自己设定，但Bode图幅频特性必须是实际模型幅频特性的近似上包络线。图

8、1中的实测模型BODE图可以运用文件data.txt中的辨识输入输出数据(采样时间为0.01s)通过FFT算法绘制（参考matlab中 spectrum函数），其中data.txt中的第一列数据为辨识输入，第二列为辨识输出。第二章 系统模型及降阶2.1原系统模型车载天线伺服系统速度环的5阶辨识模型如下：原5阶系统的Bode图如图2.1所示。图2.1 原5阶系统Bode图考虑控制系统的结构图，如下所示：图2.2 系统的结构图图中r表示系统的外部输入，即天线的指令信号;w表示天线的外部干扰源扰动信号,C表示控制器，可以是PI控制器等等。对于辨识出来的5阶系统，不管是分析系统的性能还是对系统进行控制

9、器设计都很复杂，因此我们希望将其简化。故在设计控制器之前我们需要将5阶系统模型进行降阶。2.2 系统降阶2.2.1平衡实现原对象模型为严真，若不考虑干扰，则对象模型为单输入单输出系统，故可设其状态空间实现为，记为。存在等价变换，等价实现为，则有，。记原实现的能控Gramian矩阵为，能观Gramian矩阵为，等价实现的的能控Gramian矩阵为，能观Gramian矩阵为，则有 因此，有，与代数等价。实现和都是原对象模型的最小实现，、和都是正定对称阵，设的特征值为，。易知，必然存在一个正交阵使得，令，则，故可得因此，与有相同的特征值，设为。又是正定对称阵，有，则有，故同样存在一个正交阵，使得，。

10、取，则。由及，有即，此处，便是等价实现的Hankel奇异值，且有，可以通过判断降阶阶次，并取得降阶实现其中，变换矩阵，可通过以下几式解得其中，为的特征值，为的特征值。和可通过奇异值分解求得、和。2.2.2奇异值分解设为的酉矩阵，设为的特征值，为对应于的特征向量，则有，即，故即又，所以。假设，并令，则，且有，其中，即称为的奇异值。可以取，为对应于特征值的单位正交特征向量，则有，。故又令，则，再由正交化过程选出个向量，使与的个向量构成n维酉矩阵的一组标准正交基，记，则为一酉矩阵。此时，有，又由上知通过选择合适的可使。综上，可通过以上的推导过程得到合适的酉矩阵和，使其中，为的奇异值。2.2.3 系统

11、降阶原对象模型的平衡实现为：其中，为矩阵，为矩阵，为矩阵，故对象降阶后的模型为使用Matlab中的balreal，modred函数得到平衡降阶结果为：降阶后系统的传递函数为：2.3降阶结果分析2.3.1平衡降阶结果分析由2.2.3小节得到结果可知，得到的传递函数为非严真，降阶系统与原系统特性对比如下：图2.2 原11阶系统和降阶后3阶系统的伯德图对比由图2.2，即平衡实现2阶和原5阶系统的Bode对比可以看出：两者在低频段和中频段曲线基本重合，降阶后的误差很小；两者在高频段有较大的差别，5阶系统曲线下降的较快，且在高频段存在一个使曲线不平滑的突变，而2阶系统曲线下降的较慢，曲线平滑。在高频处的

12、较大区别会使得后期利用2阶系统设计的控制器对于原5阶系统的控制能力不如理想，故此时可通过消除一个零点的方式使得到的2阶系统更加贴近原5阶系统。2.3.2 消除零点降阶结果分析去掉一个零点并调节零点的位置，配合直流增益情况下，得到下列模型：图2.3 3种系统Bode图对比由图2.3可以看出：消除零点后的2阶系统与原5阶系统的Bode图在低频段，中频段和高频段都有较高的吻合度，在此基础上设计得出的控制器用于控制5阶系统更有适用性。 表2.1 三种系统频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）2阶系统1.822124.6279122.4799155.008

13、45阶系统1.0515-5.4798107.2769108.7201包络模型0.0856-74.7103243.8721104.0225下面是三者的开环阶跃响应对比：图2.4 三种系统开环阶跃响应图对比表2.2 三种系统时域指标对比图调节时间 （s）超调量 （%）上升时间 （s）峰值时间 （s）2阶系统0.11140.40510.02270.03785阶系统0.11930.39960.03140.0455包络模型00.02511.75780.42930.0407由图2.4也可以看出：消除零点后的2阶系统与原5阶系统的开环阶跃响应曲线基本重合，2阶系统较之5阶系统达到稳定状态更快，具有较小的调节

14、时间，两者超调量基本一致。由图也可得知，包络模型的开环阶跃响应振荡较另两者剧烈，并且调节时间较长。由以上观察可得，消零点的2阶系统与原5阶系统时频特性较为接近，这方便于以后的控制器设计对于原5阶系统的控制，但是两者与包络模型都存在较大的差异，基于最终的目标是使得基于2阶模型设计的控制器都能较好地控制原5阶系统与包络模型，这提示我们在进行设计的时候需要考虑到三者之间的相互关系从而进行参数的选择与调整，以三者均能达到较好的控制为立足点。第3章将开始针对本系统进行经典控制器设计PID控制器与超前滞后控制器。第4章是现代控制器设计，包括极点配置方法、LQR方法及方法，并与内模原理和状态观测器相结合以达

15、到控制要求。第三章 经典控制器设计3.1 PID控制器的设计3.1.1 PID控制器原理将偏差的比例（Proportion）、积分（Integral）和微分（Differential）通过线性组合构成控制量，并用此控制量对被控对象进行控制的控制器称作PID控制器。PID控制系统由模拟PID控制器和被控对象组成。是给定值，是系统的实际输出值，给定值与实际输出值构成控制偏差。作为PID控制的输入，作为PID控制器的输出和被控对象的输入。所以模拟PID控制器的控制规律为图3.1 PID控制系统框图PID控制器的系统结构框图如图3.1所示，其传递函数如下：其中： 控制器的比例系数 控制器的积分时间，也

16、称积分系数 控制器的微分时间，也称微分系数当，可化为：从上式可以看出，加入PID控制器之后，两个开环零点被引入了系统，同时系统的型别提高了。3.1.2 PID控制器各个环节的作用比例环节（P）：比例环节的作用是对偏差瞬间作出反应。偏差一旦产生控制器立即产生控制作用，使控制量向减少偏差的方向变化。控制作用的强弱取决于比例系数，比例系数越大，控制作用越强，则过渡过程越快，控制过程的静态偏差也就越小；但是越大，也越容易产生振荡，破坏系统的稳定性。积分环节（I）：积分环节主要用于消除稳态误差，提高系统的无差度。积分环节的调节作用虽然会消除静态误差，但也会降低系统的响应速度，增加系统的超调量。积分常数越

17、大，积分的积累作用越弱，这时系统在过渡时不会产生振荡；但是增大积分常数会减慢静态误差的消除过程，消除偏差所需的时间也较长，但可以减少超调量，提高系统的稳定性。当较小时，则积分的作用较强，这时系统过渡时间中有可能产生振荡，不过消除偏差所需的时间较短。微分环节（D）： 微分环节的作用使阻止偏差的变化。它是根据偏差的变化趋势（变化速度）进行控制。偏差变化的越快，微分控制器的输出就越大，并能在偏差值变大之前进行修正。微分作用的引入，将有助于减小超调量，克服振荡，使系统趋于稳定，特别对髙阶系统非常有利，它加快了系统的跟踪速度。微分部分的作用由微分时间常数决定。越大时，则它抑制偏差变化的作用越强；越小时，

18、则它反抗偏差变化的作用越弱。3.1.3 PID控制器参数整定控制器参数的整定是指决定控制器的、的具体数值。整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配，以改善系统的动态和静态指标，取得最佳的控制效果。本次实验首先尝试过利用使用临界比例度法进行参数整定，但围绕所得结果进行参数调整得到的效果不是特别好，故最终主要是采用试凑方法得出。首先观察2阶系统的根轨迹图：图3.2 2阶系统根轨迹图可得系统稳定的取值范围为，令、，不同取值阶跃响应如下：图3.3 不同Kp取值阶跃响应可以看到，随着增大，系统的振荡加剧，超调增加，调节时间变大，经比较，选择在后期实验中可得到较好的结果。现固定，不同的取

19、值的阶跃响应如下：图3.4 不同Ki取值阶跃响应此时系统可跟踪输入，可看到随着增大，系统超调变大，振荡加剧，但调节时间变小，针对要求达到的调节时间0.5s，选择再进行整定。现固定，不同的取值的阶跃响应如下：图3.5 不同Kd取值阶跃响应可看到随着增大，系统响应速度加快，过程的振荡时间较短，但振荡幅度变大，相应部分的负值也随之增大，但调节时间变小，针对要求达到的调节时间0.5s，考虑实际中响应为负值的情况不宜过大，选择。最后，三者综合考虑，在上面的取值基础上进行调整，最终得到当，可达到控制要求。3.1.4 PID 控制器仿真图3.6 PID控制仿真图其中，PID为自搭模块，具体结构如下：图3.7

20、 PID控制器仿真图Simulink仿真结果如下：2阶系统5阶系统包络模型3.1.5 PID控制结果分析（1）2阶系统经PID控制后响应如下：图3.8 2阶系统阶跃响应对比图图3.9 2阶系统Bode对比图表3.1 2阶系统经PID控制后时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳态值2阶系统0.246080.790.01430.02630.4738PID控制系统0.323300.32330.62620.9967表3.2 2阶系统经PID控制后频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）2阶系统1.822124.6279122

21、.4799155.0084PID控制系统10.484685.22908.536787.3811（2）5阶系统经PID控制后响应如下：图3.10 5阶系统阶跃响应对比图图3.11 5阶系统Bode对比图表3.3 5阶系统经PID控制后时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳态值5阶系统10.1559010.155910.18691.3631e+025PID控制系统0.302200.30220.54130.9953表3.4 5阶系统经PID控制后频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）5阶系统1.0515-5.479810

22、7.2769108.7201PID控制系统8.254481.08058.512373.4400（3）包络经PID控制后响应如下：图3.12 包络模型阶跃响应对比图图3.13 包络模型Bode对比图表3.5 包络模型经PID控制后时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳态值包络模型0.634500.63450.63654.5810e+024PID控制系统0.30600.01170.30600.52650.9978表3.6 包络模型经PID控制后频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）包络模型0.0856-74.71032

23、43.8721104.0225PID控制系统2.666678.27048.695985.8125（4）三种系统经PID控制后的阶跃响应如下：图3.14 三种系统Bode对比图表3.7 三种系统经PID控制后时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）2阶系统0.323300.32330.62625阶系统0.302200.30220.5413包络模型0.306000.30600.5265三种系统经PID控制后的Bode图如下：图3.15 三种系统经PID控制后Bode图表3.8 三种系统经PID控制后频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率

24、（rad/s）2阶系统10.484685.22908.536787.38115阶系统8.254481.08058.512373.4400包络模型2.666678.27048.695985.8125 可得，同一控制器下，包络模型截止频率最大，调节时间最小，快速性较好，但包络模型存在超调及振荡，这是由于模型本身不稳定性较大，与另两者特性区别较大，而2阶系统和5阶系统特性较为接近，故控制结果较为接近。幅值裕度及相位裕度三者依次减少，故系统稳定性也相对变小，而响应时间也相应变快。与未控制系统指标相比（表2.1，2.2），经PID控制后的系统调节时间虽变长，但仍符合控制要求，且系统稳定性大大增加。3.1

25、.6 本章小结本章进行了PID控制器的设计，使系统的调节时间缩短，且由参数整定过程可得PID控制器三个参数分别对系统的影响。比例环节的增大，使系统响应变快，但也越容易产生振荡；积分环节越大，积分作用越大，偏差消除的越快，但超调量也会增大，使系统稳定性变差；微分环节越大，系统对偏差变化抑制作用越强，跟踪速度越快，但参数过大会使系统过于灵敏而产生振荡，使系统稳定性变差。3.2 超前-滞后控制器设计3.2.1 超前-滞后控制器原理实际上，PID校正装置难以物理实现，常常将PD校正特性的高频部分“削平”，变为超前校正特性，将PI校正特性的低频部分“削平”，变为滞后校正特性，其传递函数如下其中，。超前校

26、正环节在和之间的频段提供超前相位，并且其传递函数分别包含了一个零点和一个极点，其零点靠近原点，起主要作用，故超前校正又称为微分校正。图3.16 经补偿后无源超前网络的bode图由求导，易得最大超前角为，即。此时，校正后系统的截止频率为，对其两边取对数，可得，正好是对数频率和的平均值，因此，在伯德图的横坐标上，位于和的几何中心。另外，可求得处的对数幅值为综上可知，超前校正环节对系统对数幅相特性的改善主要是通过和来体现。滞后校正环节在和之间的频段呈积分效应，故滞后校正环节又称为积分校正。其传递函数分别包含了一个零点和一个极点，其极点靠近原点而起主要作用。 图3.17 经补偿后无源滞后网络的Bode

27、图同理，由，容易求得滞后校正环节的最大滞后角为 ，即此时，在伯德图上，刚好位于和的几何中心。由于滞后校正环节所引入的相位滞后可能会降低系统的相位裕度，为尽量减少这种相伴滞后对系统稳定性的影响，应使滞后校正环节的转折频率远小于校正后的截止频率，通常可取。若滞后校正环节低频段贴近零分贝线，则与系统前身通道串联意味着能在不改变系统稳态精度的同时，降低中高频段增益，使截止频率左移，间接起到增加相位裕度的作用，此时对高频噪声信号有抑制作用，且越大，通过的噪声电平越低。若其高频段贴近零分贝线，则能提高开环系统低频段增益，可在基本维持系统稳定裕度和抗高频噪声能力不变的前提下提高系统的稳态精度。图3.18 无

28、源滞后-超前网络的Bode图3.2.2 超前-滞后控制器参数整定3.2.2.1 超前-滞后参数计算从第一章对降阶后的2阶系统的分析可以看出，系统的剪切频率为122.4799 rad/s，相角裕度为24.6279度。很显然，动态快速性能较好，但是系统稳定性较低。由降阶后的2阶闭环系统阶跃响应图可得，系统不能跟踪阶跃输入，且振荡剧烈，故在设计控制器时，首先根据内模原理加入内模模块，保证能够跟踪阶跃输入；在设计超前滞后控制器时，考虑提高系统的稳定性，并且保证系统一定的快速性，需要考虑将截止频率左移，。加入积分模块（）后的系统响应及Bode图如下：图3.19 加积分环节的2阶系统阶跃响应图图3.20

29、加积分环节的2阶系统Bode图此时相位裕度为：，截止频率为：，相位裕度有所提升，但是截止频率并不符合要求，此时加入超前滞后控制器来达到控制要求。由上面分析已知，超前环节可用于在期望截止频率附近增加相位裕度，滞后校正可用于将图3.20中幅频特性的凸起尽量往下压。而改变积分环节中的放大系数，改变系统的截止频率。在控制系统分析与设计中，通常采用开环频率指标来估算闭环系统时域性能，其三阶近似公式为： 对于二阶系统，有因此，根据本次实验要求的超调量以及调节时间，若选择相角裕度为，可计算得到截止频率为：由二阶系统公式得，由三阶近似公式得，初定截止频率范围为到之间。3.2.2.2 滞后校正环节设计滞后校正可

30、将原系统加积分环节后幅频特性中的凸起往下压，由图3.20可得凸起峰值处的频率约为，令。令，此时，不同的b取值决定下压的程度。则滞后校正环节为加入滞后环节后的系统响应及Bode图如下：图3.21 加滞后环节的2阶系统阶跃响应图图3.22 加滞后环节的2阶系统Bode图此时系统不满足期望的要求，截止频率为，调节时间明显不符合要求，因此还需要设计超前校正环节。3.2.2.3 超前校正环节设计令系统期望截止频率为，根据经验，通常可选取，于是可得。此时期望截止频率对应的相位裕度为，若期望相位裕度，则由，得补偿的超前相角为，根据公式可得约为0.07，而在处的频率为，则为0.01。则可在0.01 0.07选

31、取。试取=0.05，此时滞后-超前校正后的系统的响应和Bode图为：图3.23 加超前滞后环节的2阶系统阶跃响应图图3.24 加超前滞后环节的2阶系统Bode图接下来就需要考虑的值使最终控制结果满足要求，由于最后该控制器还要用于5阶系统和包络模型，故在整定的值时，同时观察三种系统的控制结果来确定，有必要时，也可对上述值进行修改配合，经试验，确定当，时可达到满意的结果。因此，最终确定的超前滞后控制器为含内模的超前滞后控制器为：3.2.3 超前-滞后控制结果分析（1）2阶系统经超前滞后控制后响应如下：图3.25 2阶系统阶跃响应对比图图3.26 2阶系统Bode对比图表3.9 2阶系统经超前滞后控

32、制后时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳态值2阶系统0.246080.790.01430.02630.4738超前滞后控制系统0.284900.28491.30730.9948表3.10 2阶系统经超前滞后控制后频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）2阶系统1.822124.6279122.4799155.0084超前滞后控制系统11.825774.96357.804071.0485（2）5阶系统经超前滞后控制后响应如下：图3.27 5阶系统阶跃响应对比图图3.28 5阶系统Bode对比图表3.11 5阶系统经超

33、前滞后控制后时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳态值5阶系统10.1559010.155910.18691.3631e+025超前滞后控制系统0.259600.25960.43690.9946表3.12 5阶系统经超前滞后控制后频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）5阶系统1.0515-5.4798107.2769108.7201超前滞后控制系统9.976671.18297.789251.5589（3）包络模型经超前滞后控制后响应如下：图3.29 包络模型阶跃响应对比图图3.30 包络模型Bode对比图表3.13

34、 包络模型经超前滞后控制后时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳态值包络模型0.634500.63450.63654.5810e+024超前滞后控制系统0.247900.24790.33270.9947表3.14 包络模型经超前滞后控制后频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）包络模型0.0856-74.7103243.8721104.0225超前滞后控制系统5.938568.45198.695953.7237（4）三种系统经PID控制后的阶跃响应如下：图3.31 三种系统Bode对比图表3.15 三种系统经超前滞后

35、控制后时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）2阶系统0.284900.28491.30735阶系统0.259600.25960.4369包络模型0.247900.24790.3327三种系统经超前滞后控制后的Bode图如下：图3.32 三种系统经超前滞后控制后Bode图表3.16 三种系统经超前滞后控制后频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）2阶系统11.825774.96357.804071.04855阶系统9.976671.18297.789251.5589包络模型5.938568.45198.695953.72

36、373.2.4 本章小结本章首先介绍了超前-滞后控制器的原理，其次根据超前-滞后控制器理论和降阶后的2阶系统特性计算控制器的参数。随后，根据仿真结果，分别进行超前校正环节参数和滞后校正环节参数整定，在整定过程中分析各参数对系统的影响，从而得到控制器的最终参数。经超前-滞后控制器校正的系统开环截止频率改变（以加积分环节后的2阶系统分析，开环截止频率增加），相角裕度增加，从而系统的快速性变好，稳定性也变好。第四章 现代控制器设计4.1 极点配置状态反馈控制4.1.1 极点配置状态反馈控制原理控制系统的性能主要取决于系统闭环极点的位置，它包含了系统的稳定性、周期、阻尼等动态特性信息。作为系统性能指标

37、的一种形式，往往是给出一组期望极点。而极点配置就是对于给定对象的状态模型，通过选择状态反馈矩阵，使闭环系统的极点配置到期望的极点位置上，以便获得所需要的较好的动态性能。4.1.1.1 状态反馈控制原理如图5.1，对于给定的系统，引入状态反馈后，该系统的控制信号为，其中为系统的参考指令输入，则闭环系统的状态方程为：由于状态反馈不改变系统的能控性。因而，当系统完全能控时，系统可以通过状态反馈的方式任意配置闭环系统的极点，从而使此系统的极点落在期望的极点位置上。系统的能控性取决于状态方程中的矩阵。可根据能控性矩阵判断系统的能控性。若满秩，则系统是完全可控的，可通过状态反馈任意配置极点。图4.1 状态

38、反馈控制框图4.1.1.2 极点配置状态反馈及内模控制原理由于要求系统能无静差跟踪阶跃响应，因而系统型号需为1或1以上。但降阶后的3阶系统为0型系统，若将其中一个极点配置为0，则虽可使配置极点后系统为1型系统，但是造成对象的结构不稳定，因而不可单独通过极点配置达到无静差跟踪阶跃响应的要求。如图4.2，当能控时，若原系统传递函数在原点没有零点，系统可通过增加内模环节，即增加一个积分环节，从而增加一个模态，使得增加内模环节后的闭环系统变成1型系统。闭环系统中为参考输入，为常数负载干扰。图4.2 状态反馈及内模原理控制框图原对象模型和降阶后的对象模型皆为严真，系统实现均为，即。故对象模型的状态实现为

39、：同时，系统实现为最小实现，因而完全能控。且原系统在原点没有零点。因此，如图4.2，给对象施加状态反馈控制和内模控制，并组成闭环系统。易得，则有 其中，。则拉氏变换后，有，为常数项干扰，设值为n。则有：而有因此，增加内模环节后，即使在有常数负载干扰的情况下，系统仍能无静差地跟踪阶跃响应信号。系统的开环传递函数为其闭环传递函数为则特征多项式为通过特征多项式配置闭环系统3个极点的位置，使得系统满足时域要求。4.1.2 极点配置状态反馈控制参数计算根据要求，设计闭环系统的共轭复数主导极点。选择，有。又为使系统稳定，系统的所有的极点应均在左半平面，特征根的实部均为负值，则有即。选择，又根据超调量计算：

40、，计算得，则，在此基础上进行参数调节。 其余一个极点需满足，即。不妨取，保证一定的调整空间。由上述分析可得特征多项式为又由图5.2，可得系统的闭环传递函数为：则其特征多项式为其中，。故也可通过Matlab 中的acker函数求解反馈矩阵K。同时，由于最后基于2阶系统设计得到的控制器需要用于控制5阶系统和包络模型，本次实验采用的方式的加入状态观测器，此时也需要计算观测器反馈矩阵L，故在控制2阶系统时，我们也加入状态观测器，同时对反馈矩阵L进行整定。反馈矩阵L的计算原理与反馈矩阵K相同。理论上，计算反馈矩阵L时，可取较大的极点值，并与主导极点的有较大区别，以保证其能快速跟踪响应结果。4.1.3 极

41、点配置状态反馈控制参数整定由上一节分析已知，不同的极点选择会生成不同的反馈矩阵K，从而产生不同的反馈结果，而反馈矩阵L和另一极点的选择是基于主导极点的选择。利用上一节计算的结果得到的控制结果并不十分理想，故需要对极点进行调整。所以要达到理想的结果，需要多个参数相互配合。本次实验主要采用先固定计算反馈矩阵L所用极点为-120+120j -120-120j，调整计算反馈矩阵K所用极点观察实验结果。通过多次试验，最终确定结合以下组合得到的结果再对进行一些调整后可得到符合要求的结果，该控制器对5阶系统和包络模型的也能达到较好的控制结果：计算反馈矩阵K所用极点：-18+22j -18-22j 100；计

42、算反馈矩阵L所用极点：-120+120j -120-120j；事实上，实验中发现，通过主要修改主导极点实部与值，如两者配合得当，有多组参数可以得到符合要求的结果，本次实验中是通过同时观察控制器对5阶系统和包络模型的控制结果，来确定最终的参数。下面将通过实验观察控制器参数对控制结果的影响。(1)不同主导极点实部取值下的阶跃响应结果：（固定虚部为22及非主导极点为100，）实部：0.5实部：8实部：18实部：50实验结果可得：如主导极点实部变大，阶跃响应调节时间变大，反应缓慢；如主导极点实部变小，阶跃响应稳定性降低，会出现超调，超调量随之变大，振荡加剧，调节时间变大。(2)不同主导极点虚部取值下的

43、阶跃响应结果：（固定实部为18及非主导极点为100，）虚部：0.5虚部：2虚部：22虚部：100实验结果可得：如主导极点虚部变大，阶跃响应调节时间变大，响应较慢，但主导极点虚部变小对响应的影响较小，调节时间基本保持不变，事实上，即使取虚部为0.0001，结果也变化不明显。(3)不同非主导极点取值下的阶跃响应结果：（主导极点为-18+22j -18-22j，）非主导极点：0.5非主导极点：18非主导极点：100非主导极点：500实验结果可得：如非主导极点接近主导极点或小于主导极点，系统稳定性降低，振荡加剧，若非主导极点取值过大，则响应变慢，调节时间变长，事实上，当非主导极点为主导极点的46倍左右

44、时效果较佳。4.1.4 极点配置状态反馈控制仿真如图4.3 ,使用simulink进行仿真分析。图4.3 极点配置状态反馈控制simulink仿真图4.1.4.1 2阶系统极点配置状态反馈控制仿真2阶系统经极点配置状态反馈控制后的阶跃响应图如下：图4.4 2阶系统闭环阶跃响应对比图表4.1 2阶系统时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳定值原2阶系统0.246080.790.01430.02630.4738极点配置系统0.305300.30530.56700.99732阶系统经极点配置状态反馈控制后的Bode图如下：图4.5 2阶系统开环Bode对比图表4.2

45、2阶系统频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）原2阶系统1.822124.6279122.4799155.0084极点配置系统11.805775.93017.5545 55.87794.1.4.2 5阶系统极点配置状态反馈控制仿真5阶系统经极点配置状态反馈控制后的阶跃响应图如下：图4.6 5阶系统闭环阶跃响应对比图表4.3 5阶系统时域指标对比图调节时间（s）超调量（）上升时间（s）峰值时间（s）稳定值原5阶系统10.1559010.155910.18691.3631e+025极点配置系统0.281900.28190.53350.99885阶系统

46、经极点配置状态反馈控制后的Bode图如下：图4.7 5阶系统Bode对比图表4.4 5阶系统频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）原5阶系统1.0515-5.4798107.2769108.7201极点配置系统7.742672.25897.5417 41.56554.1.4.3 包络模型极点配置状态反馈控制仿真包络模型经极点配置状态反馈控制后的阶跃响应图如下：图4.8 包络闭环阶跃响应对比图表4.5 包络模型时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳定值原5阶系统0.634500.63450.63654.5810e+0

47、24极点配置系统0.299800.29980.51901.0082包络模型经极点配置状态反馈控制后的Bode图如下：图4.9 5阶系统Bode对比图表4.6 包络模型频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）原包络0.0856-74.7103243.8721104.0225极点配置系统5.392170.10697.3184 42.20034.1.4.4 三种系统控制结果比较三种系统经极点配置状态反馈控制后的阶跃响应图如下：图4.10 三种系统阶跃响应对比图表4.7 三种系统时域指标对比图调节时间（s）超调量（%）上升时间（s）峰值时间（s）稳定值2阶

48、系统0.305300.30530.56700.99735阶系统0.281900.28190.53350.9988包络模型0.299800.29980.51901.0082三种系统经极点配置状态反馈控制后的Bode图如下：图4.11 三种系统Bode对比图表4.8 三种系统频域指标对比图幅值裕度（dB）相位裕度（）截止频率（rad/s）穿越频率（rad/s）2阶系统11.805775.93017.554555.87795阶系统7.742672.25897.541741.5655包络模型4.415697.53556.261638.4563可以看到，经极点配置状态反馈控制后，三种系统的性能较未加控制

49、器前都有很大的提升，并且系统能跟踪阶跃输入。而由三种系统控制结果的比较可得，加入控制器后，三种系统性能较为接近，满足调节时间及超调量的要求，同时能够跟踪阶跃输入，由Bode图可知，2阶系统与包络系统在低频段和中频段的性能基本一致，三者的时域性能相差不大。4.1.5 常数干扰情况为研究三种系统的输入跟踪性能，现在速度环输出端加入常数干扰，观察加入极点配置状态反馈控制器后的，三种系统的响应情况。 Simulink仿真图如下：图4.12 常数干扰仿真图4.1.5.1 2阶系统常数扰动分析无扰动扰动：0.5扰动：104.1.5.2 5阶系统常数扰动分析无扰动扰动：0.5扰动：104.1.5.3 包络模

50、型常数扰动分析无扰动扰动：0.5扰动：10可见，这三种系统在存在常数干扰的情况都能跟踪阶跃输入，由于干扰处接近输出端，故其对输出的影响十分明显，几乎是在干扰产生的时候即对输出造成影响，但经过足够时间后都能达到稳态，跟踪阶跃输入，干扰幅度越大，达到稳态的时间越长，并且三种系统对干扰的响应基本保持一致。4.1.6 本章小结本章首先介绍了极点配置以及内模原理的理论，根据原理和系统时域要求确定分别确定闭环系统的主导极点和非主导极点。随后，根据极点的数值，求解出状态反馈矩阵的数值及内模参数的数值。因此确定控制器的全部参数。经本章方法校正的2阶系统能准确跟踪阶跃信号，调节时间符合设计要求。开环剪切频率减小

51、，相角裕度增大，系统响应快速性有所减小，但振荡减小稳定性增加。经本章方法校正的2阶系统分别在常数干扰的情况下仍能跟踪阶跃输入，符合要求。将2阶系统的控制器直接用于原5阶系统及包络模型得到的校正系统能准确跟踪阶跃输入调节时间也符合设计要求。在常数干扰的情况下，也符合设计要求。4.2 LQR状态反馈控制器极点配置法是我们从时域指标入于，通过人工的计算选出极点控制系统，此种控制算法没有对控制信号等进行约束，从求得的状态反馈的参数就看出内模状态反馈的值很大，使系统存在一个很大的积分，因此得到的控制信号的幅值很大。在实际的系统中一般对控制信号提出了限幅的要求，所以极点配置法存在很大的弊端。为进一步改善控制器，本小节我们引入最优控制的思想，运用LQR的方法设计控制器。4.2.1 LQR基本原理4.2.1.1 线性二次型调节器对线性时不变定常系统，考虑二次型性能指标函数其中，为半正定的状态加权矩阵，为正定的控制加权矩阵，为半正定的终端加权矩阵。令，其中表示误差矢量，表示预期误差，故表示误差的平方，是用以衡量误差大小的代价函数。越大，也就越大。一般取对角线