不定积分公式10982

1、Ch4、不定积分1、不定积分的概念与性质1、 原函数与不定积分定义1：若F (x) f(x)，则称F(x)为 f (x)的原函数。 连续函数一定有原函数； 若F(x)为 f ( x)的原函数，则 F(x) C也为 f(x) 的原函数；事实上， F(x) C F(x) f (x) f (x) 的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由 F1(x) F1(x) F1 ( x) F2(x) f(x) f(x) 0，得 F1(x) F2(x) C 故F(x) C表示了 f (x)的所有原函数，其中 F(x)为 f(x) 的一个原函数。定义 2： f ( x)的所有原函数称为 f (x)的不定积分，记为

2、 f(x)dx， 积分号， f (x) 被积函数， x 积分变量。显然f (x)dx F( x) C kdxkx C x dx1x1C11ln x C12、 基本积分表 (共 24 个基本积分公式)3、 不定积分的性质 f(x) g(x) dxf(x)dx g(x)dx kf (x)dx k f (x)dx (k 0) cscx cscx cot x dxcsc2 xdx cscx cot xdxcot x cscx Cdxsin 2 xcos 2 x22sin x cos x2 2 dxsin x cos x22csc xdx sec xdx cot x tan x C22 cot2 xdx

3、csc2 x 1 dx cotx x C1、2、2、不定积分的换元法、第一类换元法（凑微分法）f ax b dx1f axab d axb , 即dx1d ax ba1、求不定积分sin 5xdxsin 5xd5x 5xu 1 sinudu51 2x 7 dxdx2xdxa22x7 d (1 2x)xa1 x a 2dxaxa2nnxx1dxdxn,例 2、求不定积分x 1 x2 dxx2x2e3x3dx3x3d12 cos1 dxx 2 xcos1dxcos xdx1arctan x aax arcsina即xn 1dx1212dx3cos xd xx2x3dxn1 sinx2 sin x3

4、、 1 dxxd ln x, exdx de x , sin xdxsecx tan xdxxdx22axd sec x,2 dx1 x 2d a2 x2 , tan xdxsin xdxcosx1cos(5x) C512x7171x212116113(20)(23)12 dxx21 dxx2d xdcosx, cos xdx dsinx, sec2 xdx dtanx,d arctan x,dx1 x 2d arcsin x,d cos xln cos x C ln sec x Ccosx(16)cot xdxcosxdx sin xd sin xln sin x Cln cos xCsin

5、 xsec x secx tan xd secxtan xsecxdxdxlnsecxtan xCsecxtan xsecxtan xcsc x csc x cot xd csc xcot xcsc xdxdxlncscxcot xCcsc xcot xcsc xcot x1 dxd ln xln ln xCx ln xln xdxd tan x12ln tan x 1Ccos x 1tan xtan x 1(17)(18)(19)xex1edxxex1ed1ln 1dxx1exxeex1eln 1e2x dxdex2x1earctanexxe21x1 x2 dx1 x2 d1 x2例 4、求

6、不定积分dx2xx22adxd(xa)d (x a)xa2a1 ln2axaxa(21)(22)x4x 2 2xsin 2 xdx2dx5dx3dxx32xdxdx2x1ln2x23arctan2x 2 6 dx5x22xd x 2x 2 2xdxx 1 2 412ln x2cos2x dx22xx11x223 arctan221cos2xd 2 x21sin 2 x C41 sin 5xcos3xdxsin 8x2cos xdxcot x dx ln sin x dx11sin 2 x dxcos8x cos 2 x C16 4d ln sin xd sin x1 sin xsin ln s

7、in x 1 sin x2 dx cos2 xsin x ln sin xd cos x 2 cos xsec2 xdxln sin xtan xln ln sin x CC cosxdxcosx sin xdx2 sin xcsc x4d12lncsccot二、第二类换元法1、三角代换例 1、 a2 x2 dx解：令 x a sint （或a cost ）a2x2 acost , dxa costdt原式=a cost a costdt2 1 cos 2t a dtdtcos 2td 2t22a2 x2 C22aat sin 2t242axC arcsin2a12a2x arcsina1 x

8、 a22x2 Cxa2xadx22axx arcsina解：令 x asin t a cos tdt 原式= a cos tdt t Cx arcsinadxa2 x 2解：令 x atant （或acott） ，则 a2x2 asect , dx asec2 tdt原式=a sec2 tdta sectsectdt ln sect tan tlnx2(24)ln x x 2 a2 C dxx x 2 4解：令 x atant (或acott) ，则 x2 42 sect,dx2 sec2 tdttantln原式= a sec tdt sectdt ln sectasect例 5 、2dx 2

9、x 2 a2解：令 x asect (或a csct ) ，则x2a2 a tant, dxasect tan tdt原式=a sect tan tdtsectdt lnsecttan t Ca tan tx lna(25)ln xx 2例 6 、x 9 dxx解： 令 x a sect ，则 x23tant,dx3sect tantdt原式= 33tsaenctt 3sect tantdt2tan2 tdt2sec2t 1 3 tant3 x2 933 arccosx2C x2 933 arccosCxa22 xxa sin t小结： f (x) 中含有 x2a2 可考虑用代换xa tan

10、tx22 axa sect2、无理代换dx解： 令 3 x1 t, 则x t 31, dx3t 2dt原式=3t 2dt 3 t2 11 t 1t1dtt 1 1 dt1tt22t lndx解： 令 6 x t, 则 x5原式= t361t dtt22 33 x 1 3ln 1t 6, dx 6t5 dtt21t2 dtdt6tarctant6 6 x arctan 6 x例 9、 1x 1 x xdx解：令 1 xxt, 则 xdxt22tdt21原式= t 21t2tdtt2 1 2t2t2dt1t21 1 dt2 t 1 ln t 1 C2 t 12x1x ln1x例 10、dx1 ex

11、解： 令 1 ext, 则 xln t2 1 ,dx2tdtt 2 11原式 1t22t dtt 2 12 t2dt11ln t 12 t 1ln 1 exx 11 e x 14、 倒代换dx例 11、d6xxx1解：令 x 1,则xx6t 6 , dx4t6dtt2原式t 6dt4t6246d 4t 6 14t 6 1214ln 4t6 1C 214 ln6x6x1ln41ln244C3、分部积分法分部积分公式：UVUV , UV UVUVUV dxUV dxU Vdx ，故UdVUVVdU前后相乘）前后交换）例 1、 x cosxdxx sin xcosx C例 2 、xexdxxx xd

12、e xex edxx xe例 3 、ln xdxxlnxxd ln或解：令 ln xt , xt e原式tdettetetdttetx ln xxxdsin x xsinx sin xdx例 4 、 arcsin xdxet Cex Cx 1 dxxx ln xx arcsin x xd arcsin xx arcsin xx ln x xx dx1 x 21 d 1 x2x arcsin x2 1 x2x arcsin x或解：令 arcsin x t, x sint原式 td sin t tsin t sin tdt tsint cost Cx arcsin xx ln x 1 x2x l

13、n x 1 x2x 1 x 1 x2 dx xln x 1 x2 x 1 x21 x 2 Cx1 x2dx例 5、 ex sin xdxsin xdexxe sin xx x x e cosxdx e sin x cosxdexx e sin x ecosxxe d cosxxxe sinx cosx e sin xdx故 ex sin xdx1xe sin x cos xC2例 6 、 x2dxcosxxd tanxxtanxtan xdxxtanx ln secx C例 7 、 ln x 1 x 2 dx4、两种典型积分、有理函数的积分P(x)a x na x n 1a xa有理函数 R(

14、x)P(x)anxman1xm 1a1xa0 可用待定系数法化为部分分Q(x)bmxmbm 1xm 1b1 xb0式，然后积分x32 x5x635x6xB12B3x3例 1、将AA3AB5xx22x6x3解： 2x2化为部分分式，并计算dxdxx2dxx3或解： I 122x5 112 dxx2 5 x 62xx 2 5x 65x1 ln x 2 5 x 622 x 3 dxx 2 5 x 65 ln( x1111 1 1 dx2 x 3 x 22) 6ln( x 3) Cdxx 2 5 x 61 ln x22dxx(x 1) 21x15x 6 11ln x 322Cx 1 x2 dx x(x

15、 1)2(x 11)2 dx2x4xdx12211dx1x(x 1)lnxx1(x11)2dx1 x12x2 dx12xx2x2x2dxdx1 arctan212x dx12x1x xC 2C1 x12x dx1x2x21 2 2xarctan212lnx 12x 1x2Cx2xarctan x2 12x1ln22x2x2x2x二、三角函数有理式的积分对三角函数有理式积分IR sin x, cosxdx ，令uxtan , 则 x22 arctan u ，22u1 u 2sin x 2 , cos x 2 , dx1 u 21 u22 2 du ，u故I2u ,2,u2 2 du ，三角函1 u 2数有理式积分即变成了有理函数积分。例 5 、dx3 5 cos x解：令u tan x , 则x 2 arctan u ，cosx22u2,1udx2 2 du1 u 2原式22 2 du1 u 2 1 u 23 5 21 u 2dx2 si