高中数学 第四章 圆与方程本章复习与测试 新人教A版必修2(2021年最新整理)

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2、必修2的全部内容。7第四章 圆与方程例说解析几何圆问题的常规处理办法一、知识讲解知识点1：圆的概念和方程（1)平面内到定点距离等于定值的点的集合（轨迹）称为圆；（2）以为圆心，以为半径的圆的标准方程为：；以为圆心，以为半径的圆的一般方程为:；以为直径的圆的方程为：(3）以为圆心,以为半径的圆的参数方程为：（其中是参数）。知识点2：圆的位置关系（1）点与圆的位置关系点与圆：若，点在圆内；若，点在圆上；若,点在圆外。点与圆：若,点在圆内；若,点在圆上;若，点在圆外。（2)直线与圆的位置关系联立直线方程与圆得一元二次方程，若，直线和圆有一个交点（相切）；若，直线和圆有2个交点（相交）；若，直线和圆没

3、有交点（相离）。圆的圆心到直线的距离为.若，直线和圆有一个交点(相切）；若,直线和圆有2个交点(相交）;若，直线和圆没有交点(相离）。圆与直线相交于两点。则：（3）圆与圆的位置关系,的圆心距若，则两圆外离；若，则两圆外切;若，则两圆相交； 若，则两圆内切；若，则两圆内含；二、典例分析问题1：待定系数法求解圆的标准方程例题1：(2014陕西）若圆c的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线yx对称，则圆c的标准方程为_.解析：由题意可得圆的圆心为（1，0),故而可得圆的标准方程为：变式：（2014山东)圆心在直线x2y0上的圆c与y轴的正半轴相切,圆c截x轴所得弦的长为2，则圆c的标准方程为_。解

4、析：由题意可得圆心坐标可设为，根据圆与y轴的正半轴相切，故而可得,根据弦长公式可得，故而可得圆的标准方程为：。问题2：利用距离公式求解圆的位置关系例题2：（2016山东）已知圆m：x2y22ay0（a0）截直线xy0所得线段的长度是2,则圆m与圆n:(x1）2(y1）21的位置关系是()a。内切 b.相交 c。外切 d。相离解析:由题意可得圆的标准方程为，圆心到直线的距离为：，根根据弦长公式可得，故而圆m的标准方程为，,故而可得，两圆相交。例题3:（2014江西)在平面直角坐标系中，a，b分别是x轴和y轴上的动点,若以ab为直径的圆c与直线2xy40相切，则圆c面积的最小值为(）a。 b。 c

5、。（62） d.解析：由平面直角坐标系的性质可得 ，故而可得圆c的图像经过原点o.由图像可得点c到直线的距离和到点o的距离相等，故而当时，半径最小,此时,故而面积的最小值为。变式：（2017新课标1卷）已知双曲线c：(a0,b0）的右顶点为a,以a为圆心，b为半径做圆a，圆a与双曲线c的一条渐近线交于m、n两点。若man=60,则c的离心率为_.解析：如图所示，过点a作渐近线的垂线ab，由,又，故而，解得。问题3:巧思圆的几何性质与最值、范围问题例题4：（2014北京，7)已知圆c：(x3）2(y4)21和两点a（m,0)，b（m，0)（m0）.若圆c上存在点p，使得apb90,则m的最大值为

6、(） a。7 b.6 c。5 d.4解析：根据可得点p在以ab为直径的圆上，故而点p的轨迹方程为：故而此问题可转化为以ab为直径的圆与圆c有交点的问题,即，解得，故而选b.变式:(2014全国课标2)设点m（x0，1),若在圆o：x2y21上存在点n，使得omn45，则x0的取值范围是（）a。 1，1 b. c. , d. 解析：点m(x0，1)在直线y1上，而直线y1与圆x2y21相切据题意可设点n（0，1）,如图，则只需omn45即可，此时有tan omntan 45，得0mn|on1,即0|x0|1，当m位于点(0,1)时，显然在圆上存在点n满足要求，综上可知1x01.问题4:利用基本不

7、等式求解圆的最值问题例题5：(2016吉林长春质量监测）设m，nr，若直线（m1)x（n1）y20与圆（x1)2（y1）21相切，则mn的取值范围是()a.1-,1 b.（，1-1，)c。22,22 d.(-,2222,)解析：根据直线与圆的位置关系可得:，化简可得,根据基本不等式可得,化简可得，解一元二次不等式可得或者，当且仅当时取等号。故而选d。问题5：巧用建系法解答“定长+动点”问题例题6：(2016四川）已知正三角形abc的边长为2，平面abc内的动点p,m满足|1，,则|2的最大值是（)a. b。 c. d。解析：如图所示，以bc中点为原点建立平面直角坐标系，此时：。故而可得点p在以a为圆心，以1为半径的圆上，故而点p的轨迹方程为，由可得点m为cp的中点。假设点坐标为，故而可得点坐标为,代入轨迹方程化简可得：。此时可得点在为圆心，以为半径的圆上。，因此.问题7：巧用参数方程(三角换元）法解答取值范围问题例题7：已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则的取值范围是 ( ）a. b. c. d. 解析：由题意可