2020-2021学年高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法—概率的应用课时素养评价北师大版必修3

1、2020-2021学年高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法概率的应用课时素养评价北师大版必修32020-2021学年高中数学 第三章 概率 3.3 模拟方法概率的应用课时素养评价北师大版必修3年级：姓名：课时素养评价二十三模拟方法概率的应用(20分钟35分)1.下列关于几何概型的说法中,错误的是()a.几何概型是古典概型的一种,基本事件都具有等可能性b.几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关c.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个d.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】选a.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.2.已知函数f(x)=log2x,x,在区间上任取一

2、点x0,则使f(x0)0的概率为()a.1b.c.d.【解析】选c.欲使f(x)=log2x0,则x1,而x,所以x01,2,从而由几何概型概率公式知所求概率p=.3.如图,a是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点a,连接aa,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为()a.b.c.d.【解析】选c.当aa的长度等于半径长度时,aoa=,由圆的对称性及几何概型得p=.4.如图,在边长为2的正方形中,随机撒1 000粒豆子,若按3计算,估计落到阴影部分的豆子数为()a.125b.150c.175d.200【解析】选a.由题意知圆的半径为1,则圆的面积近似为3,又正方形面积为4,则阴影部分

3、面积为(4-3)=.设落到阴影部分的豆子数为n,则=,n=125.5.已知正方体abcd-a1b1c1d1内有一个内切球o,则在正方体abcd -a1b1c1d1内任取点m,点m在球o内的概率是_.【解析】设正方体的棱长为2.正方体abcd-a1b1c1d1的内切球o的半径是其棱长的一半,其体积为v1=13=.则点m在球o内的概率是=.答案:6.如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的

4、,那么射中黄心的概率为多少?【解析】记“射中黄心”为事件b,由于中靶点随机地落在面积为1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为12.22 cm2的黄心时,事件b发生,于是事件b发生的概率为p(b)=0.01.即“射中黄心”的概率是0.01.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:90796619

5、1925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()a.0.35b.0.25c.0.20d.0.15【解析】选b.易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,所以所求概率p=0.25.2.已知集合a=x|-1x5,b=x|2x3,在集合a中任取一个元素x,则事件“xab”的概率为()a.b.c.d.【解析】选a.ab=x|2x3,因为集合a表示的区间长度为5-(-1)=6,集合ab表示的区间长度为3-2=1.故事件“xab”的概率为.3.如图,在aob中,

6、已知aob=60,oa=2,ob=5,在线段ob上任取一点c,则aoc为钝角三角形的概率为()a.0.6b.0.4c.0.2d.0.1【解题指南】试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况,第一种aco为钝角,第二种oac为钝角,根据等可能事件的概率得到结果.【解析】选b.试验发生包含的事件对应的是长度为5的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况:第一种aco为钝角,这种情况的边界是aco=90的时候,此时oc=1,所以这种情况下,满足要求的是0oc1.第二种oac为钝角,这种情况的边界是oac=90的时候,此时oc=4,所以这种

7、情况下,满足要求的是4oc5.综合两种情况,若aoc为钝角三角形,则0oc1或4oc5.所以概率p=0.4.4.九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一棵类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()a.b.c.d.【解析】选c.由题意知bc=2,bc=5,设ac=x,则ab=ab=x+2,在rtacb中,由勾股定理得52+x2=(x+2)2,解得x=,所以从该葭

8、上随机取一点,则该点取自水下的概率p=.5.勒洛三角形是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的.其画法是:先画一个正三角形,再以正三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形,如图中实线所示.现要在勒洛三角形中随机取一点,则此点在正三角形abc内的概率为()a.b.c.d.【解题指南】首先明确所求概率类型为一个与面积相关的几何概型,然后明确勒洛三角形的定义:三段圆弧围成的曲边三角形,勒洛三角形的面积需要借助扇形面积与三角形面积求解,最后求出正三角形abc的面积,代入几何概型的概率计算公式求解即可.【解析】选b.不妨设bc=2,则以b为圆心的扇形a

9、bc的面积s扇形abc=,sabc=22=.由题图可知,勒洛三角形的面积为3个扇形abc的面积减去2个正三角形abc的面积,即3-2=2-2,所以在勒洛三角形中随机取一点,此点在正三角形abc内的概率是=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,四边形abcd为矩形,ab=,bc=1,以a为圆心,1为半径作四分之一个圆弧,在dab内任作射线ap,点p在圆弧上,则射线ap与线段bc有公共点的概率为_.【解析】因为在dab内任作射线ap,所以它的所有等可能事件所在的区域是dab,当射线ap与线段bc有公共点时,射线ap落在cab内,则区域为cab,所以射线ap与线段bc有公共点的概率为=.答案

10、:7.如图,矩形abcd中,点a在x轴上,点b的坐标为(1,0),且点c与点d在函数f(x)=的图像上.若在矩形abcd内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于_.【解析】由已知得b(1,0),c(1,2),d(-2,2),f(0,1),则矩形abcd的面积为32=6,阴影部分的面积为31=,故该点取自阴影部分的概率等于=.答案:8.已知直线y=x+b的横截距在-2,3内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是_.【解析】所有的基本事件构成的区间长度为3-(-2)=5,因为直线在y轴上的截距b大于1,所以直线横截距小于-1,所以“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本事件构成的区间长度为-1-

11、(-2)=1,由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为p=.答案:【补偿训练】在平面直角坐标系xoy中,设d是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,e是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向d中随机投一点,则落入e中的概率为_.【解析】如图,区域d表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域e表示单位圆及其内部,因此p=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知圆c:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.(1)求圆c的圆心到直线l的距离;(2)求圆c上任意一点a到直线l的距离小于2的概率.【解析】(1)由点到直线l的距离公式可得d=5.(2)由(1)可知圆

12、心到直线l的距离为5,要使圆上的点到直线的距离小于2,设与圆相交且与直线l平行且相距2的直线为l1,其方程为4x+3y=15.则符合题意的点应在l1:4x+3y=15与圆相交所得劣弧上,由半径为2,圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60.故所求概率为p=.10.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;(2)若a是从区间0,3上任取的一个数,b是从区间0,2上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.【解析】设事件a为“方程x2+2ax+b2=0有实根”,当a0,b0时,方

13、程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为=4a2-4b20,即ab.(1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件a中包含9个基本事件,事件a发生的概率p(a)=.(2)试验的全部结果所构成的区域为(a,b)|0a3,0b2.构成事件a的区域为(a,b)|0a3,0b2,ab.如图,所以所求概率p(a)=.1.(2020惠州高一检测)关于圆周率,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对(x,y),再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m,最后根据统计个数m估计的值.如果统计结果是m=34,那么可以估计的值为()a.b.c.d.【解析】选b.由题意,120对正实数对(x,y)中的x,y满足该不等式组表示的平面区域的面积为1.要使正实数对(x,y)中的x,y能与1构成钝角三角形的三边,则x,y需满足该不等式组表示的平面区域的面积为-,则-,.2.对某人某两项指标进行考核,每项指标满分100分,设此人每项得分在0,100上是等可能出现的