矩阵秩的研究与应用毕业论文

1、百度文库让每个人平零地捉升口我矩阵秩的研究与应用摘要矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数 学研究的一个重要工具。矩阵理论是线性代数的主要组成部分，也是线性方程组的理 论基础。而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个基本概念，也是矩阵最重要的数量特征 之一，它在初等变换下是一个不变量。它反映矩阵固有特性的一个重要概念。矩阵一 旦确定秩也就确定了。它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、 应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：即秩的儿种不同定义，相关性质，以及 矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比

2、较分析。后面着重介绍了矩 阵秩的应用部分，主要是其在线性代数中的应用和解析儿何上的应用。这里就不细说 了，具体内容还得从文章中来了解。关键词:矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。4矩阵秩的研究与应用1前言矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵 的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。更重要的是将它推广 到实际应用中，那么我们H前在其应用方面的研究乂达到了一个什么程度呢？本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使 后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年 来许多学者对它都有研究，而

3、且其中的部分理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法 在企业战略管理、营销活动、供应链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等 方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析儿何中的理论上的应用, 而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性 系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在 测量平差中的应用。理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的部分来进行探讨，其 意义更加广泛且深远。在前人研究的基础上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并 简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。百度文库让每个人平零地捉升口

4、我2矩阵的理论研究2.1矩阵秩的定义：秩的定义形式上看比较简单，但是难于理解为什么这样定义，有什么缘曲？事实 上矩阵秩的概念是从线性方程组中来的：给出加个元一次方程组成的方程组，其中有些方程可以用别的方程来运算得出， 因此这些方程去掉后，不影响方程的通解性。比如 方程x + y = 5可以由以下两个方程相减得出3x+4y = 7 2x + 3y = 2因此山这三个方程组成的方程组与山后面两个方程组成的方程组是同解的，兀+，= 5是多余的，可去掉。这样对于加个”元一次方程组成的方程组就可 想办法 去掉那些可用其他方程表示的方程，剩下相互独立的方程。例如高斯消元法来去掉, 而剩下的那些独立的方程的

5、个数就是这个方程组的秩，矩阵的秩是从方程组的秩中来 的，理解了这个就理解了秩的概念，这也是秩的儿何意义。如果从向量的相关性的角 度考虑，可以这样认为：是矩阵的行（列）向量组的极大线性无关组的这个数，即这 个向量组的行（列）秩。传统的代数中有两种定义矩阵的秩的方法：定义一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.所 谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵 的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。定义2：设若有一个尸阶子式不为0,且A的所有厂+ 1阶子式（假设A有 尸+ 1阶子式）全为0或不存在，则称r为A的秩，记作rank（A）,若 A = 0

6、,则 rank（A） = 0。定义一.定义二，这两个定义是等价的。它的等价性可由向量的线性相关性来 证，课本中已有证明。关于矩阵秩的刻画方式很多，下面给出的命题1就是关于矩阵秩的等价描述的 一组结论.命题1设A为mxn矩阵，则下面各结论等价：2) A的行向量组的秩等于厂；3) 4的列向量组的秩等于厂；4) 4的行空间的维数等于厂；5) A的列空间的维数等于厂；6) h元其次线性方程组AX=O的解空间的维数等于n-/ o定义3：矩阵A经过初等行变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A的 秩.矩阵A的秩为厂，记为R(A) = r .特别，零矩阵0的秩/?(0) = 0.该定义不仅便于理解，用该定

7、义计算矩阵的秩也十分方便只要对矩阵进行初等 变换成阶梯型就能直接看出其秩了.实际上定义三就是根据定理“初等变换不改变矩 阵的秩”得来的。下面举例以加深理解和比较这三个定义：例1 求矩阵A的秩其中4=2一125-137一210解：法一(定义1)112113123A有4个3阶子式，235=0,237=0 ,257=0 ,-10-1-10-2-1-1-2123357=0.即它的所有3阶子式均为0.0 -1 -2我们再随便写儿个它的2阶子式，11 =10,故A的秩为2.2 3法二(定义2)令q=(l,1,2,3),色=(2,3,5,7), a3 = (-1,0,-1,-2).则人=a2显然中两两不成比

8、例，故秩不可能是1,但可能是2,这还需要验证,k + 2k “ = 一 1则带入数据,即有k + 3 匕=02何+5灯=T3& + lk2 = -2即有a、= -3冬+a2,也就是勺能被色,勺线性表出o故其秩为2.法三(定义3)1123112 311 2 323572斤、0 1110 111,最终阶梯型矩阵一1 0 -1 -20 1110 0 0 0不为0的行数是2,故其秩为2【2】2.2矩阵秩的性质：1 rankA + B) rankA + rankB2、rank (AB) min (rankA、rankB)3、rankAmn n)4、rank(PA) = rank(AQ) = rank(P

9、.Q可逆)5、若的秩为i则存在可逆矩阵P、Q使得PAQ =6、rank(A) = O,当且仅当A是零矩阵;7、rank(Ann) = n ,当且仅当|A|0 ；若|A|=0,则 rank(Ann) /?；8、 rankO、B丿=rankrank=rank(A) + rank(B)；由上述性质7,我们乂可以得到命题2 rank(A) = n U同H 0 ,从而有以下一些等价条件:1) nxn矩阵A的秩等于”；2) 矩阵A的行列式不为零；3) 矩阵A是可逆矩阵；4) 齐次线性方程组AX=O只有零解；5) 矩阵A能表示成一些初等矩阵的乘积的形式A =；6) 矩阵4的所有特征值均不为零。有了这些等价条

10、件，在解决一些具体问题的时候是十分方便的。2.3秩的求法：求矩阵秩的方法很多，拿来一个题H首先要认真仔细审题，尤其要挖掘题设所隐 含的、不明显的条件，寻找这些题设与要解得结论的关系，从而确定解题思路。有时 也要做一些技巧的变形，或构造一些辅助的条件，作为解决问题的桥梁，这是难点所 在。也正是数学难学的原因所在，总之，要因题而异，所谓学无定法。比如对一个具 体矩阵来说，秋的求法可利用上面提到的三个定义求得，既简便，乂可行，如例1 三种方法均可使用，难易程度不分彼此。而对于一些抽象矩阵则很难一下看出思路和 方法，还需利用其他知识等综合考虑问题，这需要学生多多做题，积累经验，具体问 题具体分析。我们

11、来看下面一个例题。例2.3设是阶方阵，试证：如果AB = O,贝ljrank (A) + rank(B) n 分析：解这个题需要山题设AB = 0联想到秩与齐次线性方程组关联，清楚 AB = O与AX =0两者的关系，更深一步是需要明白矩阵乘积的意义.证明：因为= 所以B的列向量都是齐次线性方程组AX=0的解，所 以几伙(B)小于或等于方程组AX =0的基础解系的个数n-rank(A),即rank(B) 2） （*）中有一个向量可以由其余的向量线 性表出，那么向量组匕称为线性相关的.定义5： 向量组不线性相关,即没有不全为零的数心耳虫 使kxa + k2a2 + + ksas = 0,就成为线

12、性无关；或者说，一向量组少,勺，匕称为线性无关，如果山ka + k2a2 + + &, =0可以推出k、= k-, = = & = 0.定义6： 向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本 身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分百度文库-让每个人平竿地捉升口我向量组都线性相关.结合定义一，我们要判断向量组(*)是否线性相关，只需求出该向量组构成的 矩阵的秩即可，其秩也就是其极大线性无关组的个数，从而判断出其是否线性相关。定理311设0,吩eP,令A = (z,a2,其中A是hxs矩阵，ar.(/= 1,2-,5)为”维列向量，且(召七，兀)，

13、则线性相关O AX = 0有非零解O rank(A) s.tz, rank (A) = s .定理3.1.2向量组勺J勺与向量组绚宀，能够互相线性表出，则称这两 个向量组等价。其等价的充分必要条件是R(A) = R(B) = R(A,B).其中A和3分别是向量组勺宀，和勺,$,.勺所构成的矩阵.11百度文库-让每个人平竿地捉升口我例31设有向量组(1) 4=(1,0,2)口=(1，1，3)43=(1，_1，。+ 2);(2) A = (1,2,。+ 3)角=(2,1, a + 6)；角=(2,1, a + 4)，.试问：当为何值时，向量组与(2)等价？当“为何值时，向量组与(2)不等价?解作初

14、等航变换，有(4，02，&3，01，戸2，03)111122、01-121123a + 2a+ 3a+ 6a + 4.(02-111 01-1211(00a + a-la + j 当0工-1时，有行列式|q a划=0 + 1工0, rank (a、a2 aj = 3,故线 性方程组 x1a1 + x2a2 + x3a3 = (/ = 1,2,3)均有唯一解.所以A,角,03可由向量组线性表示.行列式協炖屈| = 6工0,故wss可由向量组线性表示.因此向量组(1)与(2)等价.q02-1 1 1 当 dH-l 时，有 G，MS，01，02,03)T01-12 1 11000-2 0 -2/由于

15、 rankax ,a2,a3) rank (a, a?,巾,0J ,线性方程组 xxa + x2a2 + 兀巾=0、无解, 故向量0i不能山口心心线性表示.因此向量组(1)与不等你向量组的秩与向量组的最大无关组密切相关，向量空间的基的本质就是向量空间 的一个最大无关组，向量组的秩乂恰好等于其构成的矩阵的秩，这使得矩阵的秩与向 量空间的维数和向量空间的基相联系.因此，研究矩阵的秩、向量组的秩、向量空间 的维数以及线性方程组解得理论和方法密不可分.3.2矩阵的秩在求解线性方程组问题中的应用线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题，在解决和讨论线性方程组 的解的问题时，我们可以运用矩阵的秩的知识

16、.而线性方程组要解决的问题可以归纳 为以下三类问题：1. 方程组是否有解？2. 方程组有解时，解的个数是多少？3. 如何求出解？对于上述三个问题，无一不与矩阵的秩有关。下面的定理4.2.1建立了线性方程 组解的判定与矩阵秩之间的关系，从而将线性方程组解得判定问题转化为计算系数矩 阵与增广矩阵秩，并判断系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等的问题，使线性方程组解 的判定与求解难度大大降低.定理3.2.1 元线性方程组AX=b1) 无解的充分必要条件是R(A) R(A、b);2) 有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(A,b) = n ；3) 有无限多解的充分必要条件是R(A) = R(A、b) n.

17、例3.2.1 设有线性方程组(1 + 兄)召 + x2+x3=O x +(1 + A)x2 +x3=3 (*)Xj + x2 +(1 + 2)x3 = 2问2取何值时，次方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无限多个解？并在有无限多解时求其通解.解法一 对增广矩阵B = (A,b)作初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，有fl + 2110(1 11 + 2B =11 +几1311 + A13jj-d+Drj1 1 11+21 + 兄110丿11 +兄2 1 11 +兄02-23-20 2-23-20-22(2 + A)几(1 + A) j0 0X几(3 + A)(1 -几)(3 + 2)丿当

18、久工0且久工一3时，R(A) = R(B) = 3,方程组有唯一解;(2)当兄=0时，R(A) = 1,R(B) = 2,方程组无解；当2 = -3时，R(A) = R(B) = 2,方程组有无限多个解.继续对增广矩阵3作初等变换，将其化为最简形12百度文库让每个人平零地捉升口我11-2-3、10-1-1B =0-33601-1-2000,0000 ,/山此得同解的线性方程组二=一1X2 =兀3 _ 2兀3为自由未知量,令X3=c(ce/?).|J方程组(*)的通解为解法二因系数矩阵A为方阵,故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式1 +兄111 + A1I|牛11 + A1= (3 + 2)

19、11 +兄1111 + 2111 + A1 1 1= (3 + 2)00 =(3 + 2)，/ 、兀2=CT1+-2丿1cwR因此，当2工0且兄h-3时，方程组L)有唯一解;当兄=0时，对增广矩阵3作初等行变换，将其化为仃 1 1 0、111 oB =11130 0 0 1J 1 1 丿,0 0 0 0;则R(A) = 1、R(B) = 2,故方程组(*)无解;当兄=-3时，对增广矩阵3作初等行变换，将其化为(-2 110、10-1-rB =1 -21301-1-2 1 1-2一3丿000则R(A) = R(B) = 2,故方程组)有无限多个解，其通解为/ 兀2=C1+-20ceR上例中介绍的

20、两种解决问题的方案各有特点解法一直接利用上面定理4.2.1的结 论来判别，具有一般性；解法二针对方程个数与未知数个数相等这一特点，应用了克 拉默法则，易于确定待定参数的值，使问题简单化.但是，当方程个数与未知数个数 不等时，第二种方法不能使用.从以上我们看到，借助矩阵的秩可以求线性方程组AX=b和AX =0的解,但是， 线性方程组AX=b和AX =0的解的结构尚不清晰.有了向量空间的基与维数的概念 后，矩阵的秩乂帮助人们从更高的层次来看待线性方程组的解.定理4.2.2就刻画了线 性方程组解的结构.定义7：齐次线性方程组AX=0 (*)的一组解帀,，称为)的一个基 础解系，如果1) (*)的任一

21、个解都能表成，久的线性组合；2) 弘，帀2,，线性无关.定理3.2.2设加”矩阵A的秩= r ,则”元齐次线性方程组AX =0的解集14百度文库让每个人平零地捉升口我S的秩7?(S) = “-/.其通解为X=時 + 空2- + C其中肚2,，乩是解集的极大无关组，即徐，易7是方程组惑=0的基础 解系.方程组AX=b的通解为X =牯+切2 + /_,.+八其中处人为任意实数, ，&是方程组AX=0的基础解系，是 AX=b的某个解.下面的例题就是对上述定理的一个应用，它总结了基础解系的求法，解的结构的 求法，以及矩阵的秩在其中的作用.例3.2.2求解非齐次线性方程组X _ _ 兀3 + 耳=0 X

22、 _ 尤2 + 屯 _ 3兀| =1(2)Xj X-, 2旺 + 3兀4 = 1/2解法一 对增广矩阵3作初等变换仃-1-110、1-10一11/2、B =1-11-31001-21/2J-1-23_1/2 丿00000丿可见R(A) = R(B) = 2,故方程组(2)有无限多解，并有x, =x2+x4 +1/2 x3 = 2x4 +1/2，Kx2=x4=0，贝Ij加=兀=丄，即得方程组的一个解（称为特解） 22、 0=1/20 ,在对应的齐次方程组片:严中，取卜及屮，则卜卜儿及 帆勺g丿2丿比丿（1丿匕丿I。丿即得对应的齐次线性方程组的基础解系勺丿11、100，2 =20；1于是方程组（2

23、）通解为/ 1/2、尤21000+ C?2+1/2E丿1 0 Jcpc2 e R解法二 对增广矩阵8作初等行变换仃-1-110、1-10-11/2、B =1-11-31001-21/2J-1-23-1/2；00000丿可见R(A) = R(B) = 2,故方程组(2)有无限多解，并有X)=x2+x4 +1/2 x3 = 2xa +1/2取吃,些为自山未知量，并令x2 =cpx4 =c2 ,则方程组(2)的通解为/ X2=U+C2+1/2、q2c2 +1/210+02+(2、01/2kC2；0丿X /丄3丿c,c2e R这里向量=,为方程组(2)对应的齐次线性方程组的基础解系. 2丄3-3矩阵的

24、秩在二次型问题中的应用二次型即二次齐次多项式，它有着十分广泛的应用，尤其是在解决二次曲线与二 次曲面以及证明不等式方面有着显著地作用。高等代数课程中的核心内容是将二次型 化为标准型，它在物理学、工程学、经济学等领域都有十分重要的作用，常用的方法 有：配方法、初等变换法、正交变换法。那么它和矩阵的秩乂有什么联系呢？定义8：数域P/xn矩阵A,B称为合同的，如果有数域P 71X72矩阵C使 B = CTAC o两个重要结论：1)两个复对称矩阵合同的充分必要条件是秩相等。2)两个实对称矩阵合同的充分必要条件是正惯性指数与负惯性指数分别相等。定义9：二次型的儿种表述：n n/（几吃，內）=工丫呦兀无；

25、r-1 ；-1（2）/（xpx2,.sxn） = I1x12 + a22x + +amx9； + 2工勺兀书；i由上面的定义可知，只要取定一组基之后，就能建立曲数域P上的线性变换到数 域P上的X矩阵的1-1对应。线性变换的和对应矩阵的和，线性变换的乘积对应矩 阵的乘积，可逆的线性变换对应可逆的矩阵，且逆变换和逆矩阵对应。同样线性变换 的秩对应矩阵的秩,这样就把一个抽象的问题转换为具体问题，从而使问题得到简化。 (45 810131520百度文库让每个人平零地捉升口我224矩阵的秩在解几何中的应用判断空间点与点；直线与直线；直线与平面；平面与平面的位置关系，是代数知 识在空间解析儿何上的应用，体

26、现了代数与儿何的完美结合，我们用矩阵的秩对这儿 类关系作出详细的研究，这拓广了矩阵秩理论的应用，简化了平面与直线相关位置的 判断方法。4.1我们先回顾下平面与直线的相关位置的知识吧！在空间直角坐标系o；7,j,Z中，平面与直线方程有（1）平面的一般方程Av + Bv + Cz + r = 0；x = x（） + Xu + X2v（2）平面的参数方程 ,（其中）为平面上的一z = Zq + Z + Z个点，a = XvYvZb = XlyY 为平面的方位向量）.直线的一般方程Ax + By + Clz +=0AyX + B.y + Cz + D, =0x = x（ + Xt（4）直线的参数方程y

27、 = y. + Yt ,（其中人3心工482山。（州,儿,2。）为直线& = Zo + Zt上的顶点,V = X.Y.Z为直线的方向向量）.x = x0 + Xt定理4.1.1平面Ax + By + Cz + D = 0与直线 y = y0 + Yt相交、平行、直线在平面上的 z = z0 + Zr充要条件分别为：AX + BY + CZO；AX+BY + CZ = 0,Ao + Byo + Czo + MO；AX +BY + CZ = AxoByo + C + D = O.定理4.1.2两平面恥+ B+ C忆+ 0=0与心+ B* + C2Z + 0=O相交、平行、重合 的充要条件分别为：A

28、jBjCj H A2B2C2 ；A B、 C. Dx= _L = _Lh_L；A 5 G D厶二A _ B _ C = D兀一瓦m X = X)+ Xyt fx = x2 + X2t定理413直线 )，=牙+孚与2 一 乙2-勺A =ZH0X2乙百度文库-让每个人平竿地捉升口我4-2由矩阵的秩判断平面与直线的相关位置定理421设空间中四个点pg x,召)J = 12 3,424州 X勺1M 3511兀儿4 b矩阵A的秩R(A) = r，则有(1) 厂=4时，四点异面;(2) r = 3时，四点共面;(3) r = 2时，四点共线;(4) 厂=1时，四点重合.定理4.2.2(2)设空间两平面的方

29、程为严陀心叩SAx + B2y + C2z = D2(2)线性方程组(2)的系数矩阵和增广矩阵分别为A =卜坊Ci h=U2 B? C2J4 b2 c2 d2两平面心(i = 1,2)相交的充要条件是r(A) = r(A) = 2 ；两平面花(i = 1,2)平行的充要条件是心)=l,r(A) = 2 ；两平面(i = 1,2)重合的充要条件是r(A) = r(A) = 1定理4.2.3设空间平面与直线的参数方程分别为x = u + X + X2v x =召 + X3ty = yo+Yill+Y2v = x + z = z1- Joz2Z3丿IZz2Z Z 丿平面与直线相交的充要条件是r(A)

30、 = 3:平面与直线平行的充要条件是r(A) = 2,r(A)= 3 ； 直线在平面上的充要条件是r(A) = r(A) = 2 .定理424设空间两直线的一般方程分别为Ax+dy+Gz + D =0Ayx + By + Cyz + Dy =0Ayx +Bi y + C3Z + D3 = 0 AAx + BAy + CAz, + DA =0系数构成的矩阵为鼻 d q daA =a2 b2 c2M =A B. Cy Dy4 B3 C34 B3 C3 DyU4 Bq J,4BqC4D加两直线异面的充要条件是r(A) = 3,r(A) = 4；两直线相交的充要条件是r(A) = r(A) = 3 ；两直线平行的充要条件是r(A) = 2、r(A) = 3 :两直线重合的充要条件是r(A) = r(A) = 2 .定理4.2.5设空间三平面的方程分别为AyX+ By + Cz + D =0 A2x + B2y + C2z + D2 =0 , &x+ C3z + g = 0系数构成的矩阵为鼻 B、C DAA, Bj Cy A B) G Dy厶k B3 C3 丿,3 B3 C3 D3三平面重合的充要条件是r(A) =