空间向量及其运算知识总结

1、空间向量及其运算1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 注：空间的一个平移就是一个向量 向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示+2. 空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b ; BA OAOBab; OP a(R)运算律：加法交换律：abba加法结合律：（a b） ca(bc)数乘分配律：（a b）ab3平行六面体:AD.4 / 5平行四边形ABCD移向量a到A BCD的轨迹所形成的几何体, 叫做平行六面体， 并记作：ABCD- A BC

2、D +它的六个面都是平行四边 形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4.平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直 线上，所以平行向量也叫做共线向量.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数入使b = xa .要注意其中对向量 a的非零要求.5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 向量.a平行于b记作ab .当我们说向量a、b共线（或a/ b ）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直 线，也可能是平行直线.6.共线向量定理：空间任意两个向量a、b （ b丰0 ）, a/ b

3、的充要条件是存在实数 入使a=Xb .推论：如果I为经过已知点 A且平行于已知非零向量 a的直线，那么 对于任意一点 0,点P在直线I上的充要条件是存在实数 t满足等式OP 0A t a 其中向量a叫做直线I的方向向量空间直线的向量参数表示式：OP 0A t a或 OP 0A t（OB 0A）（1 t）OA tOB ,中点公式.OP （OA OB）2uu.向量与平面平行：已知平面和向量a，作0A a，如果直线OA平行于或在内，那么 我们说向量a平行于平面，记作：a 通常 我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量. 说明：空间任意的两向量都是共面的.r&共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p

4、 与向量a,b共面的充要条件是存在实数x, y使r rp xa yb +推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y ,使LULTLULT LULTUUUUUUU UUUT UULTMPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMAyMBLLT101口山口或 OP xOA yOB zOM ,（x y z 1）上面式叫做平面 MAB的向量表达式T9+空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有 序实数组x, y,z，使pyb zc,rrr若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,C叫做空间的一个基底，a,bS叫做基向量，空间任意三个

5、不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设O,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，口川LULT使 OP xOA yOB zOC + r ruuu r uuu r10空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点 o，作OA a,OB b，rrr则 AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ；且规定0 a,b，显然有a,a11.向量的模：设;若UUUOAa,b12.向量的数量积:a ,已知向量，则称2则有向线段a与b互相垂直，记作：a b. OA的长度叫做向量a的长度或模，记作:|a|.a, b，则|a | |b | cos a,b叫做a

6、,b的数量积，记作a b，即a b |a| |b| cos a,b .uuu r已知向量ab a和轴UUUUT在I上的射影B，则ABuuuu uuur rl, e是I上与l同方向的单位向量，作点A在I上的射影叫做向量UUUAB在轴UAU,作点Bi上或在e上的正射影.可以证明ab的长度| A B | | AB | cos a, e | a e |.13.空间向量数量积的性质：（1） a e I a I cos a, e . （ 2） a（3）a? a a.14空间向量数量积运算律：rrr（1） （ a ba b） a（ b）. （2） a b（3） a （b c） a b a 5 （分配律）.空

7、间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1） 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫 单位正交基底，用i, j,k表示；（2）在空间选定一点 0和一个单位正交基底i, j, k，以点0为原点,b a （交换律）.分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系r r rO xyz，点O叫原点，向量i, j,k都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2.空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组（x, y,z），使

8、uuu rrOA xi yj zk，有序实数组（x, y, z）叫作向量A在空间直角坐标系 O xyz中的坐标，记作 A（x, y,z） , x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖 坐标.常见坐标系 正方体如图所示，正方体ABCD ABCD的棱长为a，一般选择点D 为原点，DA、DC、DD所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系D xyz，则各点坐标为亦可选A点为原点在长方体中建立空间直角坐标系与之类似 正四面体Az轴建立空间直角坐标系 正四棱锥 如图所示，正四棱锥ABCD的射影为原点， 分别为x轴、y 正三棱柱 如图所示，正三棱柱一般选择AC中点为原点,xyz，则各点坐标为C般选择点P在

9、平面ABCD的棱长为a ,（或0C ）、0B （或0D ）、0P所在直线 轴、z轴建立空间直角坐标系POA0 xyz，则各点坐标为ABC ABC的底面边长为 a，高为h , 0C （或 0A）、0B、0E （ E 为 0在 AC 上的射影）所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 0 则各点坐标为3.空间向量的直角坐标运算律：（1） 若 axyz,r b r b r b r b rar arara(ai，a?,a3), b (屈心)，b1 a2 b2, a3b3),b1 a2 a3a2b2a3b3，d)，r ra/baiai , a2， a3)(bi，a?b2，eR)，b3(R)，a1

10、b1 a2b2 agR 0. 卄uuu(2)若 A(Xi,yi,zi) , B(x?,y?, z?)，则 AB (x? Xi,y? yi,z? zj .一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4模长公式：若 a （ai,a2,a3） , b，rrr则 | a | a a5.夹角公式：2a3 ，|b|b2bs2 .a b-r l|a| |b|aibi azda3ba.ai2a22a32 bb：2 l2如图所示，正四面体 A BCD的棱长为a，一般选择 A在 BCD上 的射影为原点， 0C、OD （或0B ）、OA所在直线分别为x轴、y轴、6.两点间的距离公

11、式：若 A(xi, y-i,zi) , B(x2, y2,z2), uuu222则 |AB| -AB,(x2 x,)(y2 yjZ zj ,或 dA,B,(X2 Xi)2 (y2 yi)2 亿乙)2 一空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由uuuAB的方向向量是AB (X2 Xi. y2 wz乙) ra叫做平面 的法向量.A(Xi. yi.zi)与 B(X2. 丫2乙)确定直线r平面法向量如果a ，那么向量二、证明平行问题i 证明线线平行：证明两直线平行可用a/baibi,a2b2.asbs(R)或a/baia2bib2

12、a3bs2. 证明线面平行 直线I的方向向量为3. 证明面面平行的法向量为ni，平面a，平面 的法向量为n ,n 即 an 0 贝 U a /平面的法向量为ur irur ituu，若 ni /“2即 ni 则三、证明垂直问题i.证明线线垂直r r r证明两直线垂直可用 a b abaibi a?b2asbs2. 证明线面垂直r直线I的方向向量为a，平面3. 证明面面垂直ur的法向量为ni，平面的法向量为n ,，若a / n即a n贝U a平面uu的法向量为n2,ir右n-iuuur uun2 即 ni0 则四、夹角 i.求线线夹角r一设a(ai a2 a3 ) ， b(bi.b2.b3)，(

13、0 ,90 为面直线所成角，则:|a| b | cos a.cosa.b|a| |b|abia?b2a3da； a3 vbi2 b2cos|cos a.b |.2.求线面夹角如图，已知个法向量，过P作平面 的垂线PO,连结OA则 PAO为 斜线PA和平面所成的角，记为uuu uurPA为平面的一条斜线，n为平面 的一易得sin| sin(OP. AP ) | | cos2r uuur uur| cos n. AP | | cos n. PAuiu uuiOP. AP |r uuu|n PAI-t tuur.|n|PA|3.求面面夹角I6 / 5ir设n1、巧当法向量当法向量五、距离1 .求点点

14、距离uu,分别是二面角两个半平面iruuir uun,、n2同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小为n1,n2ir uun,、n2 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角 的大小为的法向量,的大小为ir uumm设 A(Xi, yi,zi), B(X2,y2,Z2), dA,B (X2 xj2 (y? uun| AB | 、AB AB2.求点面距离如图，A为平面 作平面 的垂线PO ,uuur uuu | PO | |PA| sinyi)2 zi)2uuur uuuu：(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (Z2 n)2任一点，已知PA为平面 的一条斜线，连结OA则 PAO为斜线PA和平面 uuu r uuumu r uun| PA| | cos PA, n | | PA|n为平面 的一个法向量，过P 所成的角，记为 易得urn r叫.|PA|n|n|7 / 5.如图，设两条异面直线 a、b的公 则向量在n上的正射影长就是两条3. 求线线距离 求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点，异面直线a、b的距离即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方 向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向