第37炼向量的数量积——坐标化解决向量问题

1、第37炼向量的数量积一一坐标法在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。一、基础知识 1向量的坐标表示T T（1 ）平面向量基本定理：在平面中，如果两个向量e,e2不共线，则对于平面上的任一向量a，存在x,y R，使得a =xei 畑，且这种表示唯一。其中称为平面向量的一组基底，而有序实数对4 4x, y称为在ei,e2基底下的坐标（2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底l/j，在方向上它们分别与x, y轴的正方向同向，在长度上，H=1，由平面向量基本

2、定理可得：平面上任一向量a，均有a =xi yj，其坐标为 x, y，从图上可观察到恰好是将向量a起点与坐标原点重合时，终点的坐标（3 ）已知平面上的两点坐标，也可求得以它们为起终点的向量坐标：设A（Xi, % ） B（X2, y2 ），则 AB =（X2xy? -）（可记为“终” 一 “起”），所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标自然可求。另外A,B,AB三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可求出另一个点的坐标2、向量的坐标运算：设 a = x1, y1 ,b = x2, y2，则有：4 1+（1）加减运算： a _ b 二 N _ x2, % _ y2一呻（2

3、）数乘运算：-a = x1, y1T 4（3）数量积运算：a= nx2 %y2（4）向量的模长：a = Jx： + y：3、向量位置关系的判定：一 H i（1）平行：a/b= x1y x2y1（2）垂直：a - b = a b 二 0 =（3） 向量夹角余弦值：cos-a,b；4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图形，则可尝试建系的方法，看能否把问题解决(1 )具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形(2) 带有直角的图形：直角梯形，直角三角形(3) 具备特殊角

4、度的图形(30,45,60：|,120等)二典型例题：例1 :在边长为1的正三角形 ABC中，设BC二2BD,CA二3CE，思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形,所以考虑利用建系解决数量积问题，如图建系:F面求E坐标：令E x,y . CE 二 x -如，CA1亟2，2CA =3CE 可得:3(x1I 2丿13后3 J6爲二 E -, 36例2： (2012江苏，9)如图，在矩形点E为BC中点，点F在边CD上,值是思路：本题的图型为矩形，且边长已知，ABCD 中，ABf2, BC=2，故考虑建立直角坐标系求解,以A为

5、坐标原点如图建系： B .2,0 ,设F x, y ,由F在CD上可得 y =2 ,再由 AB A解出 x : AB = (V2,0 ), AF =(x,2 )，yAB AF h2xh ：；2 二 x =1 F 1,2，E 、2,1忒迈,1 ,乩 1 - 2,2AE BF 2 1 .22=2答案：AE bF =辽例3：如图，平行四边形 ABCD的两条对角线相交于 M，点P是MD的中点，若AB =2 ,-1，且.BAD =60；,则 AP CP -思路：本题抓住 BAD =60：这个特殊角，可以考虑建立坐标系，同时由 忒2，=1可以写出各点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解解：以AB为x轴，过

6、A的垂线作为y轴可得:B 2,0 ,D*1忑）5厂）3Q7 3.3AP , ,CP =I8 8丿135.3AP CP 二8 I 8丿7 F 13）亠3巧5屁_ | + 1717答案：例4：已知直角梯形 ABCD中，AD / BCADC= 90；,AD =2, BC =1,P是腰 DC 上的动点，则PA的最小值为思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出PA 3PB的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求解，在建系的过程中，由于梯形的咼未知，为了能够与出B坐标，可先设高为h。解：以AD,CD为轴建立直角坐标系，设梯形高为h则 A

7、2,0 ,B 1,h，设动点 P 0,y，则 PA = 2y ,PB = 1,h - yPA 3毘二 5,3h 4yPA5$+（3h 4y f A5 （等号成立：3h=4y=y = 3h）4答案：5小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无法实现，所以“没有条件要创造条件”，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出，是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用例 5 :给定平面上四点 O.A.B.C 满足 OA =4,OB =3,OC =2,OB O

8、C =3U 6ABC 面积的最大值为思路：由OB =3,OC =2,0B 0C =3可计算出OB,OC的夹角BOC二60，则可按照这个特殊角建立坐标系，则由OA = 4可知A在以0为圆心，半径r =4的圆上。B 3,0 ,C 1,、3，BC = J7若要求Sabc的最大值，只需找到 A到BC的最大值，数形结合可得距离的最大值为dO_Bcr，进而可求出Sabc的最大值。解: B3,0，C1,3 BC:yFx - 3 即 2y 、3x - 3、亠03/3dA_BC max =dO_BCr 二飞丁- 4+ 477=违+ 2听丿 2例6：如图，在直角三角形 ABC中，AC=f3, BC，点M,N分别是

9、AB,BC的中点,点P是L ABC内及边界上的任一点，则Tn MP的取值范围是思路：直角三角形直角边已知，且P为图形内动点，所求 MP不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设P x,y，从1 5而可得AN MP x - 3y ，而P所在范围是一块区域,2 4所以联想到用线性规划求解解：以AC,BC为轴建立直角坐标系A 0八3 ,B 1,0 ,M、逅nRo，设 P(x,y) C 2丿吃丿 2MpU”2 2答案:4,7例7:平面向量a,b,c 满足 a e = 1,b e = 2,4 4则a b的最小值是AN MP =丄x1 i751 Qy -一n 2丿 2丿数形结合可得：ANMP- -2,7I

10、L 4 4思路：本题条件中有 e =1，而；=1,b： = 2可利用向量数量积的投影定义得到；,：在2上的投影分别为1,2，通过作图可发现能够以e的起点为原点，所在直线为x轴建立坐标系,则a,b起点在原点，终点分别在x =1,x二2的直线上，从而 a,b可坐标化，再求出 a b的最值即可44解：如图建系可得： a = 1,a ,b = 2,b由 a - b =2 可得：J:; 1 -2亠ab? =2= a-b?=3而a b = 2 ab，由轮换对称式不妨设 a b，贝U a-b = ., 3= b = a-、3.a b = 2 a a -牙3 = a2 -3a 2 二5答案：-4例8已知点M为

11、等边三角形 ABC的中心,AB =2，直线I过点M交边AB于点P，交边AC于点Q，则BQ CP的最大值为思路：本题由于I为过M的任一直线，所以AP A B A Q 的不确定，从而不容易利用三边向量将BQ,CP进行表示,所以考虑依靠等边三角形的特点,ACBI方程，与MQ建立直角坐标系，从而A, B,C,M坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线AB, AC方程联立解出P,Q坐标，从而BQ CP可解出最大值解：以BC,AM为轴建立直角坐标系2.3B(-1,0)C(1,0)A(0,T3)M 0,亍设直线l“kx =3由 B -1,0 ,C 1,0 ,A 0八3 可得:AB: y =、3 x 1 , A

12、C : y = y = -、3 x -1y=kx 三二3 解得:kJ3y = kx3 解得:.BQ込啓，耳孔gk +3 ） k +丁3 |3k ,3k 15.3 3k 5、3 -3k,3k 1 ,3k -1 _3 k - . 3 3 k - , 3kk - 39 k 3k2 -6k2223 k2 -326k 22z 21 6k 18+402 3(k2-3)3 ik2 -3若直线与AB, AC相交，则k40221 6 2 6 -3 . k -33 .0-39BQ6 一-4022答案：-229例9：如图，四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形，LI PQR 是圆O的内接正三角形，当LIPQR绕

13、着圆心O旋转时，AQ OR的取值范围是（A. 一1-运,1+血B.-1 - -2, 1 j 2 jBQD思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐标系，为了使坐标易于计算，可以O为坐标原点如图建系:O 0,0 ,A -1,-1，确定Q,R点的坐标是一个难点，观察两个2点之间的关系，无论LI PQR如何转动， ROQ，如何从这3个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢:考虑圆的参数方程（参数的几何意义为圆心角，与角度相联系），设D2:2:R cossin 二，从而 Q cos；两点坐标表示出来，从而可求出AQ OR的范围v 0,2ii,用二的三角函数将f/2兀、解：AQ = I c

14、os 日3丿+ 1,sin+13丿丿，Oh j cosRSin v2- AQ OR = cost cos v1sin v sin v - 23_ 1J3|cos日 +、一sin 日 +1+ sin日 I-1 sin 日一逅cos日+12 2 -I 22一二COS v-sinr cost sim21 2 1 2 cossin v cos v cos sin 二2 2 21 . 1sin v cos = 2 sin i ?-2 22, - 、答案：选C小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点,除了想到传统坐标之外， 还应想到圆的参数方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的ZROQ =二

15、一），可依靠参数的3几何意义将条件充分的利用起来。AB2，两宛=1,7?=斌十忌， 若 OP 1，则 OA1例10：在平面上,AB1 _ AB.的取值范围是（I 2-4另一方面:x2 y2 -2ax a2 = 1a2 = 12ax 7 2ax 三a2 x2同理,y22 2 2 2a _1a x=y _12+(y_bf=1 可得：X2 兰 1y22综上所述:x2 宀 2，则答案：D小炼有话说:OB1 =1入手，选（1）本题涉及到的点与线段较多，所以难点一方面在于是否能够想到建系去处 理，还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴。也许有同学会从择O为坐标原点，这样 Bi,B2在以原点为圆心的单位圆上，且所求OA只需计算出A的坐标即可。但这种选法继续做下去会发现，首先b1,b2在圆上的位置不确定，坐标不易写出,1其次无法定位A, P，从而使得条件 OP V