《矩形的性质和判定》同步练习及答案17页

1、矩形的性质和判定一填空题1如图，矩形ABCD中，ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF若AB=8，且EF平分BED，则AD的长为 题1 题3 题42若矩形的一条对角线与一边的夹角是40，则两条对角线相交所成的锐角是 3如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AEBD于点F，则CF的长是 4如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DEAM，垂足为E若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为 5如图，在矩形ABCD中，ABC的平分线交AD于点E，连接CE若BC=7，AE=4，则CE= 题5 题6 题76如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点

2、O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm7如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形8如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为 （填一个即可）题8 题11 题129已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为 10木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框 （填“合格”或“不合格”）11如图，在四边形ABCD中，已知ABDC，AB=DC，在不添

3、加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是 12如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件 ，使四边形DBCE是矩形二解答题13如图，在ABCD中，BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，F=45（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sinAEB的值 14如图，AD是等腰ABC底边BC上的高点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积 15如图，四边形ABCD

4、中，ABDC，B=90，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC 16如图，在ABCD中，AEBC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长 17平行四边形ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积矩形的性质和判定解析一填空题（共12小题）1如图，矩形ABCD中，ABC的平

5、分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF若AB=8，且EF平分BED，则AD的长为12【分析】根据两直线平行，内错角相等求出AEB=EBC，再求出ABE=EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解【解答】解：矩形ABCD中，ADBC，AEB=EBC，ABC的平分线交AD边于点E，ABE=EBC，ABE=AEB，AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：122若矩形的一条对角线与一边的夹角是40，则两条对角线相交所成的锐角是80【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即

6、可【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40，两条对角线相交所成的钝角为：180402=100故它们所成锐角为：180100=80故答案为803如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AEBD于点F，则CF的长是【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到ABE=BAD=90，根据余角的性质得到BAE=ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE=，BD=，根据三角形的面积公式得到BF=，过F作FGBC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是矩形，A

7、BE=BAD=90，AEBD，AFB=90，BAF+ABD=ABD+ADB=90，BAE=ADB，ABEADB，E是BC的中点，AD=2BE，2BE2=AB2=2，BE=1，BC=2，AE=，BD=，BF=，过F作FGBC于G，FGCD，BFGBDC，=，FG=，BG=，CG=，CF=故答案为：4如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DEAM，垂足为E若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为【分析】由AAS证明ABMDEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明RtDEMRtDCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x

8、，AM=BC=3x，在RtABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，AB=DC=1，B=C=90，ADBC，AD=BC，AMB=DAE，DE=DC，AB=DE，DEAM，DEA=DEM=90，在ABM和DEA中，ABMDEA（AAS），AM=AD，AE=2EM，BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在RtDEM和RtDCM中，RtDEMRtDCM（HL），EM=CM，BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在RtABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，BM=；故答案为：5如图，在矩形ABCD中，ABC的平分线交

9、AD于点E，连接CE若BC=7，AE=4，则CE=5【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在RtCED中，根据CE=计算即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADBC，AB=CD，BC=AD=7，D=90，AEB=EBC，ABE=EBC，AB=AE=CD=4，在RtEDC中，CE=5故答案为56如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=2.5cm【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出ABC=90，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可【解答】解：四边形ABCD是矩形，ABC=90，

10、BD=AC，BO=OD，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：BD=AC=10（cm），DO=5cm，点E、F分别是AO、AD的中点，EF=OD=2.5cm，故答案为：2.57如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加ACBD条件，才能保证四边形EFGH是矩形【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HGBD，EHAC，根据平行线的性质EHG=1，1=2，根据矩形的四个角都是直角，EFG=90，所以2=90，因此ACBD【解答】解：G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，HGBD，EHAC，EHG=1，1=2，2=EHG，四边形EFGH是矩形，EHG=90，2=90，AC

11、BD故还要添加ACBD，才能保证四边形EFGH是矩形8如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD为矩形，则需添加的条件为DAB=90（填一个即可）【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件DAB=90可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定【解答】解：可以添加条件DAB=90，AO=CO，BO=DO，四边形ABCD是平行四边形，DAB=90，四边形ABCD是矩形，故答案为：DAB=909已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为BAD=90【分析】根

12、据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，BAD=90，四边形ABCD是矩形，故答案为：BAD=90（答案不唯一）10木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格【解答】解：解：802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，D=90，同理：B=BCD=90，四边形A

13、BCD是矩形，故答案为合格11如图，在四边形ABCD中，已知ABDC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是A=90【分析】根据有一个角是90的平行四边形是矩形，即可解决问题【解答】解：ABDC，AB=DC，四边形ABCD是平行四边形，当A=90时，四边形ABCD是平行四边形故答案为A=90（填B=90或C=90或D=90也可以）12如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形【解答】解：添加EB=DC理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，且AD

14、=BC，DEBC，又DE=AD，DE=BC，四边形DBCE为平行四边形又EB=DC，四边形DBCE是矩形故答案是：EB=DC二解答题（共6小题）13如图，在ABCD中，BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，F=45（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sinAEB的值【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知DAB是直角；（2）如图，过点B作BHAE于点H构建直角BEH通过解该直角三角形可以求得sinAEB的值在RtBCE中，由勾股定理得在RtAHB中，BH=ABsin45=7所以通过解RtBHE得到：sinAEB=【解答】（1）证明：

15、四边形ABCD是平行四边形，ADBCDAF=FF=45，DAE=45AF是BAD的平分线，EAB=DAE=45DAB=90又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形（2）解：如图，过点B作BHAE于点H四边形ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，DCB=D=90AB=14，DE=8，CE=6在RtADE中，DAE=45，DEA=DAE=45AD=DE=8BC=8在RtBCE中，由勾股定理得在RtAHB中，HAB=45，BH=ABsin45=7 在RtBHE中，BHE=90，sinAEB=14如图，AD是等腰ABC底边BC上的高点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE

16、（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出ADC=90，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可【解答】（1）证明：点O是AC中点，AO=OC，OE=OD，四边形ADCE是平行四边形，AD是等腰ABC底边BC上的高，ADC=90，四边形ADCE是矩形；（2）解：AD是等腰ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，BD=CD=8，AB=AC=17，ADC=90，由勾股定理得：AD=15，四边形ADCE的面积是ADDC=1

17、58=12015如图，四边形ABCD中，ABDC，B=90，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由B=90可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得EAG=EGA=FGC，再利用直角三角形的性质可求得D=ECD，可证得ED=EC【解答】证明：（1）ABCD，且FC=AB，四边形ABCF为平行四边形，B=90，四边形ABCF是矩形；（2）EA=EG，EAG=EGA=FGC，四边形ABCF为矩形，AFC=AFD=90，D+DAF=FGC+ECD

18、=90，D=ECD，ED=EC16如图，在ABCD中，AEBC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明AEF=90即可（2）证明ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长【解答】（1）证明：CF=BE，CF+EC=BE+EC即 EF=BC在ABCD中，ADBC且AD=BC，ADEF且AD=EF四边形AEFD是平行四边形AEBC，AEF=90四边形AEFD是矩形；（2）解：四边形AEFD是矩形，DE=8，AF=DE=8AB=6，BF=10，AB2+AF2=62+82=100=BF2BAF=90AEBF，A