用卷积法证明中心极限定理

1、用卷积法证明中心极限定理郝越 B10050724(Q3-32)naotilus9112 Dec, 26th, 2011中心极限定理是概率论中十分重要的一个定理，它揭示了大量独立同概率分布的随机变量之和(或平均值)逼近正太分布的规律，具有非常高的理论和实用价值。然而在高等教育出版社的概率论与数理统计教程这本教材中的227页举例解释了通过卷积公式导出中心极限定理的来历，然而书中指出“由于卷积计算相当复杂，无法写出当随机变量数趋于无限 时其和或平均值的概率分布函数形式”，这给证明带来了困难。本文将信号与系统中的观点，通过Matlab实验给出直觉，并使用傅里叶变换的方法“化积为乘”求出卷积，以证明该定

2、 理。中心极限定理(Central Limit Theorem )数学定义如下：设 Xn是独立同分布(identically independent distributed, IID )的随机变量序列，且E(XJ ，Var (Xi)20。记*YnX1 X2Xn nVn则对任意实数y，有lim P(Yn*ny)1 y上(y)1 e 2dt卷积公式如下g(x)f (y)h(x y)dy.在频域G(w)F(w)H (w).在概率论中，我为证明该定理，首先要说明随机变量和的概率密度分布和卷积的关系。 们知道两个随机变量和的分布是其各自概率分布的卷积。证明方法也很简单:设X1是X2是独立随机变量，其概率

3、分布为R(X1)，P2(X2)那么对于任何t有:P(X1 X2 t)Pi(x1)P2(x2)dx1dx2.为 x2 t用换元法：uX1，vx1 x2 ；那么P(Xi X2 t)R(u)F2(v u)dudvtP(u)P2(v u)du dvtP * P2 v dv可见求出R*F2便可以得到P(x1 x2)。如果大量这样的随机分布卷积是不是真的逼近高斯分布呢？事实上在“信号与系统”这门课中通过Matlab对信号进行卷积的实验可以直观地告诉我们答案是肯定的。我们将门函数信号看作某个随机变量的分布，当这样两个门函数卷积时，得出一个三角波函数(如下图)，这个我们也可以通过计算得出，而三个门函数相卷积时

4、， 一个不太容易预见的情况出现了，图中竟然出现一个钟形函数。经过实验，当足够多的相同门函数卷积时，最终的曲线会无限逼近高斯函数曲线。im 他001-乩dmi 啦 皿 罰 3 换Q1.SQ有人认为门函数的傅里叶变换是Sa函数，并且Sa函数本身就形似高斯函数虚线，而高斯函数有一个奇怪的性质就是其在时域和频域中的形状是相同的，那么，是不是上述情况只是门函数的特例？事实上足够多的随机信号连续卷积，最终也会无线逼近高斯函数。和R1紳亦 那 SD 期Vs%rnrr aooo Ten 型b qra 河o ?nr mmurog仇可以猜想，任何信号无限自卷积， 就可以得到高斯函数信号。通过严格的数学证明也可以得

5、到相同的结论。当计算连续卷积时，信号与系统中的理论告诉我们，运用傅里叶变换， 在频域计算卷积将会相对容易。这里给出证明方法：为了便于证明首先对问题进行归一简化，设Xr,X2，,Xn是n个独立随机变量，他们的概率密度同为 P(x)。则其均值为：xP(x)dx 0标准差为：x2P(x)dx 1另外：P(x)dx 1记SXX +? +XX- Vn , Pn(x)为其概率密度JnJn* nP n(x)P(x)* P(x)* p(x)* *P(x)共n个P x)卷积则有Pn(x)HP*nC.Hx)e x2/2 当 n要证明中心极限定理即证明Pn(x)对P(x)傅里叶变换得变换对 P(x)F()，则由Pn

6、(x)一 nP*n ( 一 nx)得Pn(x)Fne i x/ nP(x)dx对e i x/ n泰勒展开，得2F( .=)11 x 1 1 x + (无穷小项)P(x)dx、n、n 2、nP(x)dx丄 xP(x) dx 一、n2n2x P(x)dx +（无穷小项）P（x）dx由归一化条件则其均值为xP(x)dx2x P(x)dxP(x)dx 1最终得2n（无穷小项）.当n （无穷小项）0，所以limnlimn2n2/2对上式求傅里叶反变换，得当Pn(x)x2/2 e结论：在证明中可以发现，傅里叶变换将函数投影（或者说分解）到正交函数系上的功能为运算带来了极大的便利。 斯变换解决一些涉及到卷积

7、、因此在工程数学计算中，我们常常使用傅里叶变换或者拉普拉 微分方程的计算问题。 而卷积具有促使信号平滑化的特点，我们可以据此设计信号滤波器，达到降噪处理的目的。附文:在写完这篇文章之后， 我发现我只是在讨论信号与系统中的数学方法， 并没有什么深层 次的东西。我在网上找了一篇文章， 能够深层次的揭示信号与系统的设计哲学， 不妨拿来分 享一下。以下是全文和我的一些理解批注。1:系统和信号都可以用 函数来表示，在这一点 上，两者是统一的。信号 函数很好理解，系统是一 个“黑盒子”，如何用一 个函数来表示这个黑盒 子的本身性质？ 有一个办法，就是给系统 在零时刻加一个冲击，系 统会产生一个响应，这个

8、响应信号的函数就可以 表示这个系统。也就是是 说所有的系统都可以用 一个时域信号来表示！讲一个故事：张三刚刚应聘到了一个电子产品公司做测试人员，他没 有学过信号与系统”这门课程。一天，他拿到了一个产品， 开发人员告诉他，产品有一个输入端，有一个输出端，有限 的输入信号只会产生有限的输出。然后，经理让张三测试当输入 sin（t）（ty的问题都可以用x-f（x）-f-1（x）-y 来得到。3:傅里叶变换并没有抽 象到这个地步，实际上， 傅里叶变换和微分分解 一样也是一种函数分解 法，只不过是像向量投影 一样，将函数分解到正交 基底上的。1. 到底什么是频率？一个基本的假设：任何信息都具有频率方面的

9、特性，音频 信号的声音高低，光的频谱，电子震荡的周期，等等，我们 抽象出一个件谐振动的概念，数学名称就叫做频率。想象在 x-y平面上有一个原子围绕原点做半径为1匀速圆周运动，把x轴想象成时间，那么该圆周运动在y轴上的投影就是一个sin（t）的波形。相信中学生都能理解这个。那么，不同的频率模型其实就对应了不同的圆周运动速 度。圆周运动的速度越快，sin（t）的波形越窄。频率的缩放有两种模式（a）老式的收音机都是用磁带作为音乐介质的，当我们快放的时候，我们会感觉歌唱的声音变得怪怪的，调子很高，那是因为圆周运动”的速度增倍了，每一个声音分量的sin（t）输出变成了 sin（nt）。（b）在CD/计算

10、机上面快放或满放感觉歌手快唱或者慢 唱，不会出现音调变高的现象：因为快放的时候采用了时域 采样的方法，丢弃了一些波形，但是承载了信息的输出波形 不会有宽窄的变化；满放时相反，时域信号填充拉长就可以 了。4:傅里叶变换当然是有 物理意义的，因为能画出 频谱图来！而复数的存在 是为了表征相频率特性。2. F变换得到的结果有负数/复数部分，有什么物理意义 吗？解释：F变换是个数学工具，不具有直接的物理意义（注4），负数/复数的存在只是为了计算的完整性。3信号与系统这们课的基本主旨是什么？对于通信和电子类的学生来说，很多情况下我们的工作 是设计或者 OSI七层模型当中的物理层技术，这种技术的复 杂性首

11、先在于你必须确立传输介质的电气特性，通常不同传 输介质对于不同频率段的信号有不同的处理能力。以太网线 处理基带信号，广域网光线传出高频调制信号，移动通信， 2G和3G分别需要有不同的载频特性。那么这些介质（空气，电线，光纤等）对于某种频率的输入是否能够在传输了一定的 距离之后得到基本不变的输入呢？那么我们就要建立介质的频率相应数学模型。同时，知道了介质的频率特性，如何设 计在它上面传输的信号才能大到理论上的最大传输速率？-这就是信号与系统这们课带领我们进入的一个世界。5:我认为工程中解决问 题几乎都需要建立一个 系统，这些系统只是实际 意义和复杂程度不同罢 了，数学模型具有通用 性。当然，信号与系统的应用不止这些，和香农的信息理论 挂钩，它还可以用于信息处理 （声音，图像），模式识别，智能 控制等领域。如果说，计算机专业的课程是数据表达的逻辑 模型，那么信号与系统建立的就是更底层的，代表了某种物 理意义的数学模型。数据结构的知识能解决逻辑信息的编码 和纠错，而信号的知识能帮我们设计出码流的物理载体（如