2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)(文科)

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷 ）（文科 ）本试卷分第卷 （选择题 ）和第卷 （非选择题 ）两部分 ，共 150 分，考试时间 120 分钟第卷一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 ）1已知集合 Ax|x3n2，nN，B6，8，10，12，14，则集合 AB 中元素的个数为 （)A5B4C3D22已知点A(0，1)，B(3，2），向量（ 4， 3），则向量（)A（7，4)B(7，4)C（1，4)D(1，4)3已知复数 z 满足（z1）i1i，则 z ()A 2i B 2 iC2 i D 2i4如果

2、3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数 ，()y28x 的焦点从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数 ，则这 3个数构成一组勾股数的概率为A. 130 B.1510 5 11C.10 D.2015已知椭圆 E 的中心在坐标原点 ，离心率为 2，E 的右焦点与抛物线 C：重合 ， A，B是C 的准线与 E的两个交点 ，则|AB|（）A3B6C9D126.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有委米依垣内角，下周八尺 ，高五尺问：积及为米几何？ ”其意思为： “在屋内墙角处堆放米 （如图 ， 米堆为一个圆锥的四分之一 ）， 米堆底部

3、的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺 ，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺 ， 圆周率约为 3，估算出堆放的米 约有 ( )A14 斛 B22 斛C36 斛 D66 斛7已知 an是公差为 1的等差数列 ，Sn为an的前 n项和，若 S84S4，A.127 B.129C10 D 12则 a10 ()()8函数 f(x) cos(x )的部分图象如图所示 ，则 f(x)的单调递减区间为A. k14，k43 ， kZB. 2k14， 2k43 ，kZC. k 41， k 43 ，kZD. 2k41，2k43 ， kZ9执行如图所示的程序框图，如果输入的

4、t 0.01，则输出的 n()A 5 B6C7 D 810已知函数f(x)2x12，x1，log2(x1)，x1，且 f(a)3，则f(6a)(7 A 4 B3 C 34 D11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（ 半径为 r）组成一个几何体 ，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则 r （）A 1 B2C4 D 812设函数 yf（x）的图象与 y2x a的图象关于直线 yx 对称，且 f（2）f（4）1， 则 a （）A 1 B1C2 D 4第卷二、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共20 分把答案填在题中横线上 ） 13在数列 an中，a12，an

5、12an，Sn为an的前 n项和若 Sn 126，则 n 14已知函数 f（x）ax3x1 的图象在点 （1，f（1）处的切线过点 （2，7），则 a xy 20，15若 x，y 满足约束条件 x2y10，则 z3xy 的最大值为 2x y20，216已知 F是双曲线 C：x2y 1的右焦点 ，P是 C的左支上一点 ，A（0，6 6）当 APF 8周长最小时 ， 该三角形的面积为 三、解答题 （解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤 ）217（本小题满分 12分）已知 a，b，c分别为 ABC内角 A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.（1）若 ab，求 cos B；（2）设

6、 B 90，且 a 2， 求 ABC 的面积18.（本小题满分 12分）如图，四边形 ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面 ABCD.（1）证明：平面 AEC平面 BED ；（2）若 ABC 120，AEEC，三棱锥 E-ACD 的体积为 36，求该三棱锥的侧面积19 （本小题满分 12 分 ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元 ）对年销售量 y（单位： t） 和年利润 z（单位：千元 ）的影响对近 8 年的年宣传 费 xi 和年销售量 yi（i1，2，8）数据作了初步处理 ， 得到下面的散点图及一些统计量的 值（1）根据散点图判断 ，yabx与

7、 ycd x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费x 的回归方程类型？ （给出判断即可 ， 不必说明理由 ）（2）根据（1）的判断结果及表中数据 ，建立 y 关于 x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润 z与 x，y 的关系为 z0.2yx.根据（2）的结果回答下列问题：年宣传费 x49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费 x 为何值时 ，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 （u1，v1），（u2，v2）， ，（un，vn），其回归直线 vu的斜率和截 距的最小二乘估计分别为20(本小题满分 12 分)已知过点 A(0， 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： 1 交于 M

8、，N 两点(1)求 k 的取值范围；(2)若12，其中 O 为坐标原点 ，求|MN|.21 (本小题满分 12 分 )设函数 f(x) e2x aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 fx() 零点的个数；2(2)证明：当 a0 时， f(x) a2 aln .a请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答 ， 如果多做 ，则按所做的第 时请写清题号22.（x2）2（y3）2题计分作答(本小题满分 10 分)选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 是 O的直径 ，AC是 O的切线 ，BC交 O于点 E.(1)若 D 为 AC 的中点 ，证明： DE 是 O 的切线；(2)若 OA 3CE，求

9、 ACB 的大小23 (本小题满分 10 分 )选修 4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极求 C2MN 的面在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x 2，圆 C2：(x1)2(y 2)21， 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3的极坐标方程为 4( R )，设 C2与 C3的交点为 M，N， 积24(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f(x)|x1| 2|x a|， a0.(1)当 a1时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6， 求 a 的取值范围2015 年普通

10、高等学校招生全国统一考试(全国卷 )(文科 )参考答案与详解本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 ，共 150 分，考试时间 120 分钟第卷一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 ）1解析： 选 D 集合 A 中元素满足 x3n2，nN，即被 3除余 2，而集合 B 中满足 这一要求的元素只有 8 和 14.故选 D.2解析： 选 A 法一 ：设 C（x，y），则 （x，y1）（4， 3），x 4，所以y2，从而 （4，2）（3，2）（7， 4）故选 A.法二：（3， 2） （0，1）（3，1），（4

11、， 3）（3，1）（ 7，4）故选 A.i13解析： 选 C （z1）i i1，z1 i 1i，z2i， 故选 C.4解析： 选 C 从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果： （1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5）， 1（2，4，5）， （3， 4，5），其中勾股数只有 （3，4，5），所以概率为 10.故选 C.5解析： 选 B 抛物线 y28x 的焦点为 （2，0）， 椭圆中 c 2，c 1 2 2 2又 ， a4，b a c 12，a222从而椭圆的方程为 1x6

12、1y21.抛物线 y28x 的准线为 x2， xA xB 2 ，将 xA 2 代入椭圆方程可得 |yA| 3，由图象可知 |AB|2|yA| 6.故选 B.所以r16， 所以米堆的体积为 V 1 1 2 1413r2512216 53920(立方尺 )故堆放的米约有32091.62 斛22）（故选 B.6.解析： 选 B 设米堆的底面半径为 r 尺 ，则 2r 8，7 解析： 选 B 公差为 1，8（8 1）S88a121 8a1 28， S4 4a1 6.1 S8 4S4， 8a1 284（4a16），解得 a12，1 19a10a19d29 2.故选 B.8解析： 选 D 由图象知 ，周期

13、 T 2 4541 2，2 2， . 由 41 22k，得 4 2k，kZ ，不妨取 4， f（x）cos x 4.由 2k x 42k ，13得 2k41x0.01；运行第二次：S 0.5 0.25 0.25， m 0.125， n2， S0.01；运行第三次：S 0.25 0.125 0.125， m 0.062 5，n3，S0.01；运行第四次：S 0.125 0.062 50.062 5，m0.031 25，n4，S0.01；运行第五次：S 0.031 25，m0.015 625，n5，S0.01；运行第六次：S 0.015 625，m0.007 812 5，n6，S0.01；运行第七

14、次：S 0.007 812 5，m0.003 906 25， n 7， S0，所以 2a 1 1 无解；若 a1，则 log 2（a 1） 3，解得 a1 8，a7，所以 f（6 a） f（ 1） 211 2 47.综上所述 ， f（6 a） 47.故选 A.11解析： 选 B 如图 ，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为 r，高为 2r，2r2r（5 4）r2.又 S 16 20，（54）r21620， r24， r 2， 故选 B.12 解析： 选 C 设 （x， y）为 yf（x）图象上任意一点 ，则（y，x）在 y2xa 的图象上 ，所以有 x 2y

15、a，从而有 ya log2（x）（指数式与对数式的互化 ），所以 ya log2（x），即 f（x） a log 2（ x），所以 f（2）f（4）（alog22）（alog24）（a1）（a2） 1，解得 a2.故选 C.第卷、填空题 （本大题共 4小题，每小题 5分，共20 分把答案填在题中横线上 ）13解析： a1 2， an 1 2an，数列 an是首项为 2，公比为 2 的等比数列2（12n）又Sn126，126， n6.12答案：6214解析： fx（） 3ax2 1， f（1） 3a 1.又 f（1） a 2，切线方程为 y（a2） （3a1）（x1）切线过点 （2，7），7（a

16、2） 3a1，解得 a1. 答案：115 z 3x y， y 3x z.直线 y3xz在 y轴上截距最大时 ，即直线过点 B时，z取得最大值x y2 0，x 1，由 解得即 B（1 ，1），x2y 10，y1， zmax 31 1 4.答案：4216解析：由双曲线方程 x2y81可知，a1，c3，故 F（3，0），F1（3，0）当点 P 在双曲线左支上运动时 ，由双曲线定义知 |PF |PF 1| 2，所以 |PF|PF1|2，从而APF的周长 |AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF| 32(6 6)215 为定值，所以当 (|AP|PF1|)最小时，APF 的周长最小，由图

17、象可知 ，此时点 P 在线段由题意可知直线 AF1 的方程为 y2 6x6 6，y 2 6x 6 6，由2x2y821得 y26 6y96 0，解得 y 2 6或 y 8 6(舍去 )，所以 SAPF S AF 1F S PF 1F 1266 62162 6 12 6.答案 ：12 6三、解答题 (解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤 )217解： (1)由题设及正弦定理可得 b22ac.又 ab， 可得 b2c， a2c.由余弦定理可得cos Ba2c2b22ac14.2(2)由 (1)知 b2 2ac.因为 B 90，由勾股定理得 a2c2b2，故 a2 c2 2ac，进而可得 c

18、a 2. 所以ABC的面积为 21221.18.解： (1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形 ，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD ，所以 ACBE.故 AC 平面 BED.又 AC? 平面 AEC ，所以平面 AEC平面 BED.3x (2)设 ABx， 在菱形 ABCD 中，由ABC120，可得 AGGC 2 x，GBGD2. 因为 AE EC，所以在 RtAEC 中，可得 EG 23x.由 BE平面 ABCD ，知 EBG 为直角三角形 ， 可得 BE 22x.由已知得 ， 三棱锥 E-ACD 的体积V 三棱锥11E-ACD32ACGDBE 246x3 36故 x 2.从而可得

19、AE EC ED 6.所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3 2 5.19解： (1)由散点图可以判断 ，ycd x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x的回归方程类型(2)令 w x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程cydw 563686.8100.6，所以 y关于 w 的线性回归方程为 y 100.6 68w ， 因此 y 关于 x的回归方程为 y100.668 x. (3)由(2)知，当 x49时，年销售量 y 的预报值 y100.668 49 576.6， 年利润 z 的预报值 z576.60.24966.32.

20、根据 (2)的结果知 ，年利润 z 的预报值z0.2(100.668 x)x x13.6 x20.12. 所以当 x132.66.8，即 x46.24 时， z取得最大值 故年宣传费为 46.24千元时 ，年利润的预报值最大 20解： (1)由题设可知直线 l 的方程为 ykx1.因为直线 l与圆 C交于两点 ，所以|2k31|1， 因为直线 l与圆 C交于两点，所以1k2 1，解得4 7 4 73 k0， fx()没有零点；当 a0 时，设 u(x)e2x，v(x) ax，x )上单调递增 ，因为 u(x)e2x在(0，)上单调递增 ， v(x) x在(0，x所以 fx()在(0， )上单调递增a1 又fa()0，当b满足0b 且b 时， fb()0 时， fx()存在唯一零点(2)证明：由 (1)，可设 fx()在 (0，)上的唯一零点为 x0，当 x(0， x0)时，fx()0.所以当故 f(x)在(0，x0)上单调递减 ，在(x0， )上单调递增 ，xx0