概率统计作业答案

1、概率统计作业答案1 某工厂生产的产品以100个为一批.在进行抽样检査时,只从每批中抽取3 个来检査，若是发觉其中有次品，则以为这批产品不合格.假定每批产品中的次品最 多不超过2个，且其中恰有/(月0, 1, 2)个次品的概率如下：一批产品中的次品数012概率求(1) 一批产品能通过检査的概率；(2)在一批产品能通过检査的条件下，这批产品没有次品的概率.解I (1)记A=产品能通过检査,B冃产品中有i个次品 (=0,1,2),贝0P(3o) = O3, P(BJ = 04, P(B2) = 0.3P(AIBO) = 1, P8J =今= 0.97, P(AIB2) = - = 0.941GooG

2、oo由全概率公式，得所求概率为2P(A) = P(BJP(A I BJ “970/-0(2)咱们要求的概率是卩(町4 沁=冬皿旦2 =丛空“.309P(A)P(A)0.9702. 发报台别离以概率及发出信号及“”。由于通讯系统受到干扰,当发出信号“”时，收报 台以概率及收到信号“”及又当发出信号时，收报台以概率及收到信号a及 求：(1) 收报台收到信号的概率；(2) 当收报台收到信号“”时，发报台确系发出信号“”的概率。解1 (1)记心收报台步到信号B=发报台发出信号贝！JP(B) = 0.6, P(B ) = 0.4P(A I B) = 0.& P(A I B) = 0.2, P(AB) =

3、 OA, P(A IB) = 0.9由全概率公式，收报台收到信号“”的概率为_P(A) = P(B)P(A I B) + P(B)P(A I B) = 0.52(2)当收报台收到信号时，发聲确系与售号的概率是 如*空坐凹色込竺空“75P(A) l-P(A)0.483. 两台机床加工一样的零件,第一台出现废品的概率为,第二台出现废品的概率为， 加工的零件混放在一路。若第一台车床与第二台车床加工的零件数比例为5:4,求：(1) 任意从这些零件中掏出一个恰为合格品的概率；(2) 任意从这些零件中掏出一个，发觉恰为合格品。试问它为第二台车床加工的可能 性有多大？解儿所取的零件由第台机床加工”(上12)

4、丿掏出的零件为合格品”；则戸二討帥J二0.笳戸二訂触卜0.98（1）由全概率公式，任意从这些零件中掏出一个恰为合格品的概率是：嘲=乞戸她同）=|沁95 +加朋=鳥加0.%32.1yzyuu（2）由贝叶斯（Bayes）公式知，所求概率为：4. 用甲胎蛋白法普査肝癌，由过去的资料取得灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概 率）是95%.特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。又己知广州肝癌发 病率为 （1999年数据），即每一万广州人中有两人得肝癌。假设某人的査验结果是阳 性，试问：他应该沮丧到什么程度？解答案是令人惊讶的，他乃至应该维持谨慎乐观的态度。为何呢？咱们来求一下他真的患有肝癌的（

5、条件）概率。令 人=査验结果是阳性, B时他真的患病,贝11P(BA) =P(B)P(AB)0.02%x95%qO19%P(B)P(AB) + P(B)P(AB)O.O2%x95% + (1-O.O2%)x(1-9O%)5.设随机变量X N（44）,求：（1）P（-2X3）；（3）肯定几使得p（x）no9。-2-4 X -410-4解(1) P(-2X10) = P(3) = 1-(-0.5)=(0.5) = 0.69152 2X-4 一4d _44一(3) 由 P(X )= P() = 1-0() = () 0.9 =(1.28)2 2 2 2得 -1.28,故 dSl4426.设随机变量X

6、N(l,4)，求下列概率：(1) P(-1.6X4.56)-16-1 X-15 8-1解(1) P(-1.6X 5.8) = P(:-) = D(2.4)- 4.56) = 1-P(-4.56 X 4.56) = 1-P( )2 2 2=1-(0(1.78) 一 (-2.78) = 2 -(1.78) 一 (2.78) = 2- 0.9625 一 0.9973 = 0.04027.设持续随机变量X的概率密度为:fW =A1 + x2-00X00求：(1)常数(2) X落在区间0,1内的概率。解(1)由概率密度的性质，有30. dx = A arctan x = Az ,故 1 + aT7Tl=

7、j fM(lx= j p-v = A j(2)由前率计算公知，所求概率亦I 11P(0 X 1) = f dx = arctan x?严(1 +厂)兀8.设随机变量X的散布函数为F(x) = A + Barctanx , -z)x-KOo(1) 求常数AB； (2)求P(IXIvl)； (3)求概率密度。解(1)由 liin F(x) = 0 及 lim F(x) = 1,得.YTYyWA + B(-兰) = 0,A + B(-) = l2 2 解得71 = 1 B亠2兀(2) P(l X 1) = F(l) - F(-l) = (A + Barctanl) 一(A + Barctanl)=

8、-x(y2龙(1 +，)(3)随机变量X的概率密度为f(x) = F(x) = Bx (arctan x)z = 9.设袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取到黑球为止，别离就(1)不放回取球与(2)有放回取球两种情形 计算取球次数的数学期望、方差与标准差.【解设X与Y别离表示情形(1)与(2)的取球次数，则不难明白，X的概率散布表 为：X123P(Xp)从而相应的数学期望为 E(X) = 1x0.64-2x0.3 + 3x0.1 = 1.5又 E(X2) = I2 x 0.6 + 22 x 0.3 + 32 x 0.1 = 2.7故D(X) = E(X2)-E2(X) = 0

9、.45 , b(X) = jD(X) a0.67 而Y的概率散布为：P(y = )=(0.4/-1 0.6, k = 1,2,3,，即 Y G(06) 从而砒)=丄=专，皿)=1 =学，a(Y) = 4D(Y).O5U.o 3O.o* 910.设随机变量xuo,求随机变量函数y = cosx的数学期望与方差.解随机变量X 50“的密度为丄，0 X /W =兀0,其它。则函数y=cosx的数学期望与方差别离为XE(Y) = E(cosX )=j cosx f(x)c/x-xcosxc/xD(Y) = E(r2)-E2(y)= E(cos2 X)= |cos2x-f(x)dx-xcos xdx =

10、丄”| (1 + cos(2x)x = -(x +sin(2x)|；0厶Zr11.设随机变量x mr2),求随机变量函数r=ixi的数学期望与方差。解(1)先求F的散布函数：F(y) = P(IXI0时,y _ Q yF(y) = P(-y X y) = f (e dx=i 一、2兀 bo故YTXI的概率密度为/(y) = F(y) = Vcr0,、(2) E(r)= j0E(y2) = E(X2) = D(X) + E2(X) = cr2o故 D(y)= E(r2)-E2(y)=(1 -)r212某工厂有200台同类型的机械，每台机械工作时需要的电功率为1()千瓦。由于工艺等 原因，每台机械

11、的实际工作时刻只占全数工作时刻的75%,各台机械是不是工作是彼 此独立的。求：(1)任一时刻有140至160台机械正在工作的概率；(2)需要供给多少电功率能够保证所有机械正常工作的概率不小于？解设事件A表示机械工作，则可把200台机械是不是工作视作200重贝努利实验。设 丫表示任一时刻正在工作的机械数，则Y 2(200、075) (1) 由De Moivre -Laplace中心极限定理知V375V375V377=20 (1.63) 1 = 2 x 0.9484-1 = 0.8968(2) 设任一时刻正在工作的机械数不超过川，则题目要求P(0 y 0.95art f17 一 、 , z 150

12、 x 壬 0 150、壬 ？ 150、c l、即有 P(0 r m) a Z)(,) 一 叙 ，)a Z)() 一 (-24.5)J37.5V37.5J37.5m 150.Z( )2 (1.645),J37.5故晋取/7 = 161,即需要供给1610千瓦的电功率.13设整体X G(p),抽取样本X、X“rX八 求：(1) 样本均值戸的数学期望与方差；(2)样本方差S?的数学期望。)1 n解因为X G(“)，故E(X) = , D(X) = + P(1) E(X) = E(X) =丄，D(X) = A2 = 1 pn iijr(2) E(S2) = D(X) = n。14.设整体 X N(40

13、、25)。(1) 抽取容量为36的样本，求样本均值戸在兰与43之间的概率;(2) 抽取样本容量多大时，才能使概率P(l 乂 4011)0.95?(3) 抽取样本容量/多大时，才能使E( X-p) 0.5 ?解设样本容量为斤，则=吕号N(0,l)。(1)现在 n = 36,乂 40725/362(0,1),故所求概率为P(38X 43) = P(-2.4 片二40 3.6) 725/36=(36)-(一24) = 0.99984 一(1 一 0.9918) = 0.9916P(IX-40I1) = P(ImI)= 2 0.975 二(1.96),5n 96.04,取川=9715设整体XGg 其中

14、0 vvl。求未知参数卩的矩估量与最大似然估量，并说明 它们是不是为无偏估量。解因为XG(p),故E(X)=丄，故有矩法方程：乂 =丄。PP解之得p的矩估量是p = y设样本观测值为心冬，则似然函数为Up) = fl(1 f =(1 - Pn/-I故In L(p) = n(x _ 1) ln(l _ /?) + n In p,有似然方程：d = -n(x-1) + n丄=0 ,dp1 - p p解之得p的最大似然估量值是D =最大似然估量也是P = -L.xX因为 E(b)= E(A = = =P，所以参数P的矩估量和最大似然估量都不是无偏估量。16.设&=(X|,X2,X” )和02=02(

15、X|,X2,X”)是&的两个彼此独立的无偏估八 3 八计，且方差D(d)= ：D(q)。-2(1) 试证明：对任意常数比，& = 3+(1-灯02都是&的无偏估量；(2) 在所有这些无偏估量中，试求方差最小的无偏估量。解(1)因为*(&) =+ (1)0 = kE(6) +) = k0+(l-k)0 = 0所以，对任意常数s e=ko(-k)Oi都是&的无偏估量。(2) r(0 = D_k6+(-k)0i = k2Z)(61) + (1-k)2D)=伙2 +(1*)2(&) = (2/ +3(1 *)2)?|l2 =(5伙一 3)2+|)(|l)225523八2八故方差最小的无偏估量是-e-o2.17假设考生成绩服从正态散布N(“,b)。现随机抽取36人，算得平均成绩是分，标准 差为15分。试问在显著性水平Q二下，是不是能够为这次考试全部考生的平均成绩为 70分？解设考生成绩服从正态散布X NQ1Q、依题意.要査验的假设是施：“ =0 = 70 H :“H“（）X u 弘因为未知,所以应选取统计量=7 川一 1）；在显著性水平a = 0.05下 S / yjn3”15/笑