平面向量全部讲义

1、1.向量的有关概念第一节平面向量的概念及其线性运算(1) 向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模. (2) 零向量：长度为 0的向量，其方向是任意的.单位向量：长度等于 1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的E零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量：长度相等且方向相反的向量.例1 .若向量a与b不相等，则a与b 一定()A .有不相等的模B .不共线C .不可能都是零向量D .不可能都是单位向量uuu uuur例2.给出下列命题：若|a|=|b|,贝y a= b;若A, B, C, D是不共线的四点，贝U AB

2、= DC等价于四边形 ABCD为平行四边形；若 a = b, b= c,贝U a= c;a= b等价于|a|= |b|且a / b;若a / b, b / c,贝U a / c.其中正确命题的序号是()A .B .C .D .CA2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则(1) 交换律：a + b = b+ a;(2) 结合律：(a + b) + c= a+ (b + c)平行四边形法则减法求a与b的相反向量一b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a b = a+ ( b)求实数入与向量a 数乘的积的运算(1) 1 *丨川a|;(2) 当心0时，扫的方

3、向与 a的方向相同；当 疋0时, 七的方向与a的方向相反: 当A 0时，沦=0X ua)=(入矗;(XF a = ?a+ g:Xa + b) = X + X例 3 :化简 AC BD + Cd AB得()ABCDEF 中,uuuuuurA . 0B . BEC . AD例4: (1)如图，在正六边形A.ABB.DAC.BCuuu uuu uuurBA + CD + EF =(uuu D. CF12 uuur uuur uuur设 D ,E 分别是 ABC 的边 AB,BC 上的点，AD = AB,BE = BC.若 DE = X AB + X AC(X, X为实数)，贝U X+ X的值为巩固练

4、习：1. 将4(3a+ 2b) 2(b 2a)化简成最简式为 .2. 若OA + OB|=|O)A OB|,则非零向量 oA, 觅的关系是()A .平行 B.重合 C .垂直D .疋uuur uuu uuu3 .若菱形ABCD的边长为2,则I AB CB + CD |=uuu4. D是厶ABC的边AB上的中点，则向量 CD等于()uuur 1 uuuuuur 1 uuuuuur 1 uuuuuur 1 uuuA . BC + BA B . BC -BAC. BC 2 BAD . BC +? BAuuur uuu uuur uuu uuur uuiu uuu5 .若A, B, C, D是平面内任

5、意四点，给出下列式子：AB + CD = BC + DA :AC + BD = BC +uuur uuuuuuruuiuAc Bd = Dc + Ab .其中正确的有()A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个6.如图，在 ABC中，D, E为边AB的两个三等分点，CA = 3a, CB= 2b,求CD, Ce.不确uultAD :1DDq 巩固练习 1。16a + 6b 2。C 3。24。A5。C6.解:AB = AC+ CB =3a+ 2b, D, E为AB的两个三等分点, Ad = 1aB=- a + 2b=de.cd = CA + Ad = 3a a+ fb = 2a +

6、 |b.Ce = Cd + De = 2a2243b a+ 3b = a + 3b.3.共线向量定理：向量a(a 0)与b共线等价于存在唯一一个实数入使得b=入a例5.已知a与b是两个不共线向量，且向量 a + ?b与一(b 3a)共线，则 入=uuuuuuuuu例6.设两个非零向量a与b不共线，若AB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b),求证：A, B, D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+ b和a+ kb共线.巩固练习：1 .给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小七=0(入为实数)，则入必为零.人为

7、实数，若 扫=，则a与b共线.其中错误的命题的个数为()A . 1B . 2C . 3D . 4uuur uuuruuu uuiruuu uuu2. 如图，已知AB= a, AC = b,BD= 3 DC，用 a, b 表示 AD，则 AD=()31311A . a+ 4bB.a + 4bCqa + 4b3. 已知向量a, b, c中任意两个都不共线，但量 a + b+ c=()A . aB. bC . cuuur 1 uuur uuuD4a+ 4ba + b与c共线，且b+ c与a共线，则向4如图，在 ABC中，/ A = 60 Z A的平分线交BC于D，若AB= 4,且AD = -AC +

8、入AB (氐R)，则AD的长为()A. 2 .3B. 3 .3C. 4 3D. 5 .3uuu uuur uuir uuuruuuu5. 在?ABCD 中，AB= a, AD= b, AN= 3 NC, M 为 BC 的中点，贝V MN=(用a, b表示).uuuruuu uuur uuu uuur uuuu6. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC夕卜，BC 2=16,|AB + AC |= | AB AC,贝y| AM| =.1例5 . 例6 .解(1)证明:3uuiuuuuruuuAB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b),uuuruuiu uuuuuur

9、uuu uuiu BD =BC + CD= 2a+ 8b + 3(a b) = 2a + 8b+ 3a3b = 5(a+ b) = 5 AB .AB , BD共线，又它们有公共点 B , A, B, D三点共线./ ka + b与a + kb共线，存在实数 入 使ka + b= ?(a + kb),即ka+ b= 2a+入b. (k 为a =(入k 1)b. a, b是不共线的两个非零向量，- k=入1 = 0, k2 1 = 0. k= 1.1 1C B D B 4a + b 2uuu 1 uuu uuu4. 向量的中线公式： 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，贝U OP =2(OA +

10、 OB).5. 三点共线等价关系uuuruuuuuuuuu uuuA , P, B三点共线？ AP =XAB(疋0)? OP= (1 t) OA+ tOB(O为平面内异于 A, P, B的任uuu uuu uuu一点，t R)? OP = xOA + yOB (O 为平面内异于 A, P, B 的任一点，x R , y R, x+ y= 1).第二节平面向量的基本定理及坐标表示1. 平面向量基本定理如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数X, X,使a=Xe1 + Xe2.其中，不共线的向量e1, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基 2

11、. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a = (x1, y1), b = (x2, y2),则 a + b =(X1 + x2, y1+ y2), a b= (x1 X2 , y1 y2) , ?a=( Xx, Xy, |a= x1+ y1.(2) 向量坐标的求法： 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.uuuuuu , 设 Ag , y1), B(X2, y2)，则 AB =(X2 X1, y2 y1), | AB |=X2 X1 2+ y2 y1 2.3. 平面向量共线的坐标表示设 a = (X1, y1), b= (X2, y2),其中 b丰 0

12、.a/ b? X1y2 X2y1 = 0.6例 7 若 A(0,1), B(1,2), C(3,4)，则 AB 2BC=uuuu例8已知点M(5, 6)和向量a = (1, 2)，若MN = 3a,则点N的坐标为() 例10:( 1)如图，平面内有三个向量 OA, ob, OC，其中OA与OB的夹角为120 OA与OC的夹角为30且OA|= |OB|= 1, |OC|= R3,若 0C= QA + QB(人 吐 R)，贝U 入+ 卩的值为uuuCA = c.求 3a+ b 3c;D ( 2,0)A (2,0) B ( 3,6)C (6,2)uuuuuur例 9 .已知 A( 2,4), B(3

13、, 1), C( 3, 4).设 AB = a, BC = b,求满足a= mb+ nc的实数 m, n.r uuu ruuurr ra, BE b ,则BC可用向量a, b表示为R),则 mn 一1 uuu uuu-CA CB ,则32D.-3B.C.巩固练习：1. 若向量 a= (1,1), b= ( 1,1), c= (4,2)，贝U c= () A 3a + b B 3a b C a + 3b D. a+ 3b2. 已知向量 a= (x, y), b= ( 1,2)，且 a+ b= (1,3)，则 |a|等于() A. 2 B. ：3 C. 5 D. . 103. 已知向量 a= (

14、3,2), b= (x, 4)，若 a/ b,贝 U x= () A . 4 B. 5 C. 6 D . 74. 设点A(2,0), B(4,2)，若点P在直线AB上，且|AB|= 2|AP|,则点P的坐标为()A . (3,1) B . (1, 1) C. (3,1)或(1, 1) D .无数多个1 1 1 15. 已知 a= (1,2), b = ( 3,2)，当 ka + b 与 a 3b 平行时，k= ()A.4 B . 4 C. 3D.6. 已知向量 a= (cos 0, sin 0)，向量b= /, 1)，则|2a b|的最大值、最小值分别是( )DA . 4 ,2, 0 B .

15、4 2 4 C . 16,0 D . 4,07. 已知向量 a= (1,2), b = ( 2,3), c= (4,1)，若用 a 和 b 表示 c,贝U c=.& 已知向量 a= (3,1), b = (1,3), c= (k,7)，若(a c) / b，贝U k=.Luur uuuLuur(2)已知AD, BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线，且AD(3).如图，已知 c 为 OAB 边 AB 上一点，且 AC 2CB,OC mOA n OB(m, n变式训练:uuuruuur uuur1.在厶ABC中，已知D是AB边上一点，若AD 2DB,CD2.设D, E分别是 ABC的边AB,

16、BC上的点,1 2-AD = AB, BE = -BC. 若 DE = AB + bAC(入，h 为实数)，贝U 乃 +.例 7. ( 3, 3) 例 8.A 例 9 .解：由已知得 a= (5 , 5), b= ( 6, 3), c= (1,8).h的值为3.若M为ABC内一点，且满足AM3 1AB AC ,则 ABM与 ABC的面积之比为4 4(1)3a + b 3c= 3(5, 5) + ( 6, 3) 3(1,8) = (15 6 3, 15 3 24) = (6, 42).6m+ n= 5,m = 1,(2) Tmb+ nc= ( 6m+ n, 3m+ 8n),.解得3m + 8n

17、= 5,n = 1.B C C C C D2a b5平面向量基本定理及其应用：如果，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 入，2使a =入&+力e2,其中e1, e2是一组基底.特别注意：若e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，a =入&+泌2, b1e120则a b11224.若点M是厶ABC所在平面内的一点，且满足1A.529D.255AM = AB + 3AC，则 ABM与厶ABC的面积比为21:4 C2 r 4 r1例 10： 6a b9 a3 32平面向量共线的坐标表示例11.已知a= (1,2), b= (-3,2)，当实数k取何值时，ka+ 2b与2a 4b平行?8

18、平面向量的数量积及应用练习：1.已知向量 a= (2,3), b= ( 1,2)，若(ma + nb)/ (a 2b),则彳等于( )C1 1A . 2B . 2C . D2uuur uuu2.已知 A(1,1), B(3, 1), C(a, b). (1)若 A, B, C 三点共线，求 a, b 的关系式；若 AC = 2 AB，求点 C 的坐标.知识梳理1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个_ 向量b的夹角，记作(2)范围：向量夹角(3)向量垂直：如果uuuuuiu向量a和b，作OA = a, OB = b，则a, b.b的范围是，且=b, a.称作向量a与b，则a与b垂直，记作2.平面

19、向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义： 实数，可以等于正数、负数、零叫作向量a和b的数量积(或内积)，记作a b = 其中|a|cos 0(|b|cos B)叫作向量.可见，a b是 a在b方向上(b在a方向上)的投影.(a + b) =uuu uuuAB= 5,求 AB BC ,uuiuCD3.平面内给定三个向量a = (3,2), b= (1,2), c= (4,1). (1)求满足a= mb + nc的实数 m, n;若(a+ kc) / (2ba)，求实数k；例11.解法一：/ 2a 4bz 0,.存在唯一实数入使ka + 2b= X2a 4b).将a, b的坐标代入上式，得(k

20、6,2k+ 4) = ?(14, 4)，得 k 6 = 14 入且 2k + 4= 4人解得 k= 1.k 2 = 0,解法二：同法一有 ka+ 2b= ?(2a 4b),即(k 2 ?)a + (2 + 4?)b = 0. v a 与 b 不共线，二2 + 4L 0.k= 1.uuuruuuruuur uuir1. C 2.解：(1)由已知得 AB= (2, 2), AC= (a 1, b 1),vA, B,C 三点共线，二 AB / AC.2(b 1)+ 2(a 1) = 0,即卩 a + b= 2.uuuruuua 1 = 4,a = 5,(2) / AC = 2 AB , .(a 1,

21、 b 1) = 2(2 , 2).解得b 1 = 4,b = 3.点C的坐标为(5, 3).5m+ 4n= 3,m = 9,3.解(1)由题意得(3,2) = m( 1,2) + n(4,1)，所以得2m+ n = 2,8n = 9.性质几何表示坐标表小定义a b= |a|b|cos a, ba b= a1b1+ a2b2模a a= |a|2或|a|=/aa| a | J a； a；uuu若 A(X1, y1), B(x2, y2),则 AB = (X2 x1, y2 y1)uuuAB = (X2 x1 )2 + (y2 y1)2a丄b的等价条件a b= 0a1b1+ a2b2= 0夹角a b

22、cosa, b= aibi(|a|b|z 0),a1a2b22cos a ? b 11J a： a：肩 b；|a b|与 |a|b| 的 关系|a b|w|a|b|1 22 ： 22| a1ba2b21 * a1 a b1 b?(引b=a ( %)(数乘结合律).向量数量积的运算律a b =(交换律)3.平面向量数量积的性质：已知非零向量a = (a1, a2), b = (b1, b2)一、平面向量数量积的运算例1(1)在等边三角形 ABC中，D为AB的中点,(2)若 a = (3, 4), b = (2,1)，求(a 2b) (2a + 3b)和|a+ 2b|.(2)a+ kc = (3

23、+ 4k,2+ k), 2b a = ( 5,2)，由题意得 2X (3 + 4k) ( 5)x (2 + k)= 0.*=亦4.已知向量a= co#, sin , b= cog,- sin|，且 x n n3, 4 .5310变式训练1已知下列各式：|a|2= a2; 鷲=b;(a b)2 = a2b2:(a b)2= a2 2a b + b2,其中正确的有().|a| aA . 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 下列命题中： a (b c)a ba c ；a(b c)(ab)c ；(ab)2 |a |2 21 a| | b |b|2 ；rrrr rr若a b 0,则a 0或b0 ；若

24、abcb,则ac ；其中正确的是(答：)r r r ror r 心2r r r r3. 已知 a2,b3,a与b的夹角为 120，求(1ab;(2) ab ；(3(2a b(a3b)(1)求a b及|a+ b|； (2)若f(x) = a b |a+ b|,求f(x)的最大值和最小值.三、求夹角例 3 已知 |a| = 4, |b|= 3, (2a 3b) (2a + b) = 61.(1)求 a 与 b 的夹角 0;4已知 a 3, br b与r a43r r r r的夹角为 ，求(3a b) (a 2b)。4变式训练：r rr r rr r1.已知a 1 b 2,且a b与a垂直，求a与b

25、的夹角5.已知 a= (1, 3), b= (4,6), c= (2,3)，则(b c)a 等于().A . (26, 78) B . ( 28, 42) C. 52D. 782.若a,b是非零向量且满足(a 2b)a , (b 2a)rrb ，贝y a与b的夹角A. B.C.63D.a b，贝U a与a b的夹角为(答：30o)r rrr3.已知a,b是两个非零向量，且ab、求平面向量的模例2. (1)设向量a, b满足ab 1及3a 2b 3，求3； b的值4、已知a (6,0) , b ( 5,5)，则a与b的夹角为( )A、45 0B、60 0C、135 0 D、(2)设平面向量a=

26、(1,2), b= ( 2, y)，若 a / b，则 |3a+ b等于().120A.5B.6C. 17D.26r 1 r 1 r r r u r r r u5.已知 a (1-), b (0, -),c a kb, d a b , c 与 d 的夹角为一，贝V k 等于 (答：1)；224变式训练1 .已知 | a |=2,| b |=5, a - b =-3,则 | a + b |=,|a - b |=-12(答:上)2. 若向量a, b满足|a|= 1, |b|= 2且a与b的夹角为;,则|a + b| =6.已知|a | 3 , |b | 5，且a b 12，则向量a在向量b上的投影为3. ABC 中，|AB| 3, |AC| 4 , | BC | 5，则 AB BC(答：一9)；四。利用数量积解决垂直问题ur ururLTur ur例4若非零向量、满足，证明：urur2.已知 OFQ的面积为 S，且OF FQ 1，若2S 3，贝U OF , FQ夹角2的取值范围是 12变式训练：uurirnuuuur uiuu31.已知 OA ( 1,2),OB(3,m)，若 OA OB，贝U m(答：