毕业论文-数学分析中的反例及其应用

1、本科毕业论文数学分析中反例的应用the application of counter-examples in mathematical analysis 25目 录摘要iabstractii一、前言1二、数学分析中反例的应用1 （一）应用反例透彻理解定义定理的条件1 （二）应用反例准确把握概念间的关系6 （三）应用反例揭示概念的内涵10 （四）应用反例纠正研究学习中的错误11三、数学分析中几个特殊的反例17 （一）洛必达法则失效的极限17 （二）魏尔斯特拉斯著名反例18 （三）函数在极值点的形态18四、应用反例应注意的问题19五、“反例教学法”在教学中的重要意义19 （一）“反例教学法”的实施

2、过程20 （二）“反例教学法”在教学中的重要意义21谢辞23参考文献24附录25 毕业论文摘要摘 要本文的主要内容是对数学分析中反例的应用进行概括总结，以清晰介绍反例这种数学方法为目的，通过具体实例来说明。关于定义、定理，各种教材表述很详细，篇幅原因，本文不作过多冗杂介绍，仅以数个例子代表说明反例在其中所起作用，重点放在应用反例准确把握概念间的关系和纠正学习中的错误两部分。因为数学分析中概念众多，错综复杂，其关系的把握是难点也是重点，文中对收敛、有界、单调、可导、可积等各种重要概念均有涉及；另外，文中对于学习过程中常见的错误也进行了分类，经过细心总结归纳，简单分析了错误形成的原因和结果，力图对

3、数学分析的学习起到一定的参考意义。关键词： 数学分析；反例；应用 ；概念；abstractthe main content of this thesis is a sum up of the applications of counter-examples in the mathematical analysis, in order to introduce this mathematical method clearly with some concrete examples. for many definitions and theorems have been expressed in

4、great detail in a variety of teaching materials, taking into account of the length of this thesis, this thesis does not going to give too many miscellaneous descriptions, only a few which representatively described the role of counter-cases will be mentioned. certainly the applications of counter-ex

5、amples in helping accurately grasping the relationship between concepts and correcting learning errors will be the main points. because there are so many concepts in the mathematical analysis and they are complex, grasping the relationships between them seems to be a difficult but also important wor

6、k, so in this thesis convergence, bounded, monotone, differentiable, integrable and many other important concepts are involved. the paper has also classified many common mistakes in the learning process, by carefully summarize and simple analysis the causes and consequences of these formation, tryin

7、g to form any reference value on the learning of mathematical analysis. keywords：mathematical analysis; counter-examples; application; concept 数学分析中反例的应用一、 前言数学分析的内容包含一套抽象而且形式化的严谨的理论体系，概念的本质较为难以理解。学习过程中容易犯的一些想当然的错误，最常见的，我们容易将一些函数的特殊性质通过四则运算等运算引用到另一些函数上。反例是解决此类问题最有效的方法。更因为数学分析的严谨性，定义定理的给出以及一些常用结论一般都带

8、有一些不可忽视的限制条件，学习时难以牢记而且容易出现张冠李戴的现象，重视和恰当地使用反例，对于透彻理解定理的条件，准确把握概念间的关系，可以起到一般证明过程所无法比拟的重要作用。此外，反例对于数学分析整个学科的理论发展和完善也起着重要作用。它犹如一把标尺，用来衡量理论的正确与否。数学分析中的反例太多太多，篇幅有限，难以枚举，鉴于反例在区分基础概念、透视定理条件上的特殊作用，本文仅对数学分析的基础部分，即函数与极限、一元函数微积分中反例的应用做相应的介绍。同时为了语言表述上的习惯和方便，本文中的例题并非都是举反例来驳斥某个假命题，很多是否定性真命题而以特例来印证其正确性，但其实质都是一样的，仅仅

9、是表达方式上的不同而已。如本文的“（三）、应用反例揭示概念的内涵”一节中，“并非所有的周期函数都有最小正周期”，所举狄利克雷函数是这一命题的正例，也即是“所有的周期函数都有最小正周期”的反例。反例的使用，贵在“巧妙”。反例是与正例相对立的，是教学中不可缺少的认识对象，也是学生认知建构中常常出现的中间形态。我们不能单靠正面示范和反复练习纠正去避免学生的错误。没有反例的衬托，正确的知识不易凸现，学生对知识的理解就不易到位。小学数学课堂教学对于反例使用，贵在巧妙。只有巧妙使用，反例才能对学生的智力活动起到定向纠错、提炼升华的作用。“巧”用反例，防患未然，能使学生激活思维，豁然开朗，形成鲜明的正确印象

10、。二、数学分析中反例的应用反例在数学分析的学习研究中的应用往往是多方面的，准确分类有些困难。这里主要就应用反例透彻理解定义、定理条件，准确把握概念间的关系，揭示概念内涵，纠正错误四个方面进行分类，力图尽可能详尽的将反例在数学分析中的重要应用呈现出来。（一）、应用反例透彻理解定义、定理的条件本节主要通过函数在一点极限的定义、数列收敛的柯西准则等几个具体例子来说明反例在帮助理解定义、定理条件上的作用。另外，对定义、定理中常见的两个限制条件“有限”和“闭区间”做简单说明。1. 关于一个重要定义定义： 设函数在点的去心邻域内有定义，如果存在常数，对于，当时，有，成立，则称函数当时存在极限，极限是，记为

11、或.在此定义中，要求函数在点的去心邻域内有定义，说明函数在点的极限与在点的情况无关。在点没定义，但在点的极限仍可能存在。例1 函数.分析：该函数在点没定义，但。所以，函数在没定义的点也可以有极限。例2 设恒成立，但在某一点处有.分析：如 。函数恒成立，但在处有： （） 说明函数在点的极限与在点的情况无关。在学习一个新的定义时，通常不会死记硬背，而是努力去理解，在头脑中形成一个印象。如果该定义的学习到此为止，则容易忽视掉定义的某些条件，如上例中的去心邻域。应该回过头来仔细分析一下，为什么是去心邻域而不是普通的呢？它们会造成什么样的不同？举出类似上述的例子，将会对定义的理解更加深入，而并不只是一些

12、表面印象。2. 关于两个重要定理（1） 数列收敛的柯西准则：数列收敛的充要条件是：，当及一切，都有 （）：条件（）能否用下面的条件（）所代替？ 对，当时，有 （）条件（）中的与无关，（）中的依赖于，显然若满足条件（），则必满足条件（），但反之不真。例3 解：固定自然数，要使只要，取= ，当时，有。所以满足条件（）。但不论多么大，取，则 所以，条件（）不满足。因此条件（）较条件（）要弱，不能作为数列收敛的充分必要条件，这里举出的数列虽然满足条件（）但不收敛。若条件（）改为：，当时，则数列不一定收敛。例4 分析：，当时，但不存在。（2） 积分第一中值定理：设函数，在上可积，且, ，在上不变号，则存

13、在使 定理中“在上不变号”这个条件是重要的，若去掉此条件，结论不一定成立。例5 ，分析：它们均在上可积，且，在上可正可负，而 ， .可见不存在，使得.即，去掉“在上不变号”这个条件，结论不成立。3. 关于无穷条件下的性质无穷多个无穷小之和不一定为无穷小。例6 ，分析：它们都是无穷小，但 因此上式中无穷多个无穷小之和不是无穷小。数学分析讲义中关于无穷小之和仍为无穷小有一个重要的条件，那就是有限项之和，当无穷小的数目趋向无穷时，该结论不再成立。数学分析中很多定理、性质涉及有限、可列等条件，必须注意。4. 闭区间与开区间 （1） 设在上有定义，在内连续，并且，不一定存在使得。例7 分析：它在0，1上

14、有定义，在（0，1）内连续，并且，但不存在，使得。（2）若在闭区间上连续，则在上有界。若改为非闭区间，结论不一定成立。例8 函数定义在无界区间显然在上无界。 函数定义在有界非闭区间，显然在内连续，但在上无界。 若函数在闭区间上连续，则一定一致连续。若改为非闭区间，则结论不一定成立。例9 分析：在上连续，但它在上不一致连续。 此例也说明，若在某一区间上一致连续，一定在此区间上连续，但反之不真。只有在闭区间上反之才成立。非闭区间包含有界非闭区间和无界非闭区间，无界区间与闭区间的性质相差很大自不必说，即使是有界非闭区间，由于边界处无限趋近于该区间的边界，在此无限的条件下，函数性质也会变化很大。（二）

15、、应用反例准确把握概念间的关系1. 关于函数的相关性质（1） 在学习过程中，对于反函数最深的印象是：其图像与其原函数关于直线对称，不经意间就画出一对单调的连续曲线，这仅仅是帮助理解，并不是反函数必须遵守的规则。本小节以两个例子来简述单调与反函数之间的关系。 任何严格单调函数必有反函数，但单调函数不一定有反函数。例10 函数分析：该函数在上单调递增，而非严格单调增函数，故，此函数没有反函数。这一条例子比较好理解，因为该函数有无穷个对应函数值1，求反函数时导致一个自变量值可以对应无穷个因变量，不符合函数的定义。 非单调函数却有单值的反函数。 例11 函数分析：很明显，该函数在区间（）上不单调，但它

16、为单值的，其反函数为此函数本身。从以上两个例子可以轻松看出函数有反函数与单调以及严格单调之间的关系，即严格单调是函数有反函数的充分不必要条件，单调是函数有反函数的不充分也不必要条件，反函数的存在仅依赖于原函数是否为一一对应。 不连续函数的反函数却是连续的。例12 ，其中 解： 的反函数为：，在其定义域上是连续的。所以，不连续的函数反函数可以连续。（2）数列、函数的有界无界性质与其收敛、无穷之间的关系是学习函数极限部分时必须注意的，利用反例帮助学习可以将他们清楚地区分，而且，特例的提出更加深印象，牢记不忘。 收敛数列必有界，但反之不真。例13 分析：显然是有界的，但不存在。所以，有界数列不一定收

17、敛。有界是数列收敛的必要不充分条件，但要注意，函数收敛的性质与之有所不同，函数收敛仅仅能推出函数在该收敛点的邻域内局部有界，因为，在数列收敛的条件中，确定之后，对于局部有界，同时，的取值个数是有限的，可以找出其中的最大值，而普通函数有界的局部之外，取值个数仍为无穷个，无法找出极值。 无穷大量必无界，但反之不真。 例14 分析：是无界的，但。所以，无界量不一定为无穷大。 趋向正无穷大的数列必上方无界。但反之不真。 例15 分析：上方无界，但不存在。所以，上方无界的数列不一定趋向正无穷。上述两个例子引用的是相同的数列，它们表明，无穷大量的限制条件要强于无界量，要求函数的极限是无穷大，这样，函数要么

18、趋向于正无穷大要么趋向于负无穷大，而无界的成立条件仅需该函数的值可以取到无穷。2. 关于导数(1) 导数与函数连续性之间的关系较难理解，应用反例可以比较方便地学习它。 在一点可导必在该点连续，但反之不真。 例16 分析：该函数处处连续，但在点不可导(在该点左右导数不相同)。所以，函数在一点连续不一定在该点可导。 函数在点，极限为，与其函数值相等，所以函数在该点连续；导数的意义是函数在该点的平均变化率的极限值，但，中，分子永远大于零，分母在左侧小于零，右侧大于零，左右导数一正一负，所以导数不存在。自变量趋近点时，趋近于零，导数存在，则同时是趋近于零的，（因为其比值的极限为常数，它们为同阶无穷小）

19、，即，时，正是函数在一点连续的定义。（2）导数与函数值之间的关系 若对于任意，有，则函数在内严格增加。但反之不真。 例17 ，分析：在上严格增加，但存在一点，使得，即不恒成立。所以，严格增加不能得到导函数恒大于零。该点仅为孤立点，函数仍然严格增加，函数递增递减是定义在一个区间上的整体性质，在某孤立点上导数等于零，也不会有在该点函数值不变的结论，只要在其两侧仍然有导数大于零，就一定有该函数严格增加。 就上升函数来说，若，则一定严格单调上升；但若，则可能单调上升，也可能严格单调上升。 例18 ， 解：，。当时，但在上是严格单调上升的。此例与其前面的例题所说明的问题类似，表述方式上差别较大而已，在此

20、列出进一步说明一下。类似的问题还有后面例题和例题。不再做详细的解释。 不可导的点可能为极值点。例19 ，分析：在点不可导，但为的极小值点。所以，不可导的点也可以是极值点。 若函数在点可导，则曲线在点存在切线。但若函数在点不可导，曲线在点也可能存在切线。例20 分析：该函数在点不可导，但曲线在（0，0）处存在切线，即轴。习惯利用导数求函数在某点的切线，久而久之形成了两者关系等价的错误理解。此例很好的揭示出导数是函数在某点存在切线的充分不必要条件。3. 关于积分 本节主要内容是举几个关于函数是否可积的反例，看一看在学习函数一般性质与可积性之间的关系时，反例所起的重要作用。（1） 函数在上可积，但不

21、一定存在原函数。例21 分析：此函数只在点间断，其他点均连续，因此在上可积，但在上不存在原函数。 事实上，每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。定积分是数项和式，与不定积分有着本质的不同，可积与原函数的存在性没有必然的联系。 （2） 任意可积函数都有界，但反之不真。 例22 分析：此函数在上有界，但并不可积。所以，有界的函数不一定可积。 （3） 若函数在闭区间上连续，则在上可积，但反之不真。例23 分析：此函数在上可积，但在处间断，即在闭区间上不连续。所以，函数在闭区间上可积，但不一定在上连续。 这样的例子很多，因为在上，如果有有限个间断点，且有界，则就是可积的；又闭区间上的单调函数，若有

22、可数个间断点，它仍是可积的。（4） 若函数在上可积，则在上也可积，但反之不真。例24 分析：在上连续，因而在上可积，但在任意区间上不可积。所以，在上可积，可以有函数在上不可积。（三）、应用反例揭示概念的内涵并非所有的周期函数都有最小正周期 例25 狄利克雷函数： 分析：它的周期为任何有理数，没有最小正周期。可见任何正有理数都是它的周期，但没有最小正周期。由于周期函数概念本身的复杂性，在很长一段时间内，人么一直认为周期函数必有最小正周期。狄利克雷关于此问题提出的著名函数狄利克雷函数，不仅纠正了以往关于周期函数理论中的偏差，也是人们对于周期函数概念的内涵有了更加深刻的认识。（四）、应用反例纠正研究

23、学习中的错误不能忘记,反例之所以叫做反例，是因为它最明显的也是最根本的作用就是纠错。数学是一门极其严谨的学科，而数学分析又是经过了严格理论改造的微积分学，其严谨性可见一斑。反例就像一面镜子，让我们可以站在问题的对立面去观察和分析学习、研究过程中所遇到的问题。本论文层次较为有限，仅就数学分析的学习中所遇到的部分典型的、常见的错误举出相应的反例，简单介绍一下反例巨大的纠错能力。1. 数学运算下函数的性质总是想当然的将函数的一些性质通过四则运算“推广”到很多其他的函数上，就像以下这两个例子，两函数发散，对它们求和，不仔细思考想不到它们前后的区别，总会感觉求和并没有改变原函数的性质。类似的错误在数学学

24、习中很常见，略作讲述。（1）函数的敛散性 与均发散，但不一定发散 例26 ， 分析：上述两函数它们均发散，但 ，即，是收敛的。所以，函数发散对两函数的加法运算不封闭。 与均发散，但不一定发散 例27 ， 分析：显然两函数均发散，但，显然是收敛的。所以，函数发散对乘法运算也不封闭。由于减法和除法分别可以由加相反数和乘倒数得到，即可以转化成加法和乘法运算，所以，可以有结论：两数列发散但其四则运算的结果敛散性未知。（2）无穷小概念 两个数列都不是无穷小，而它们的积却可能是无穷小。 例28 ， 分析：很显然，它们都是发散的，但=却是无穷小。因此，非无穷小的积可以是无穷小。 无穷小乘任意数列不一定为无穷

25、小。 例29 ，分析：是无穷小，但不是无穷小。思考：数列是无穷小，数列趋向无穷大，两数列的乘积敛散性将会是不确定的。（3）函数的连续性 函数，在点处均不连续，但在点处可能连续 例30 ， 分析：例题中的两函数，很明显的，它们在点处均不连续，但它们的和是常数，处处连续。因此，我们可以说，不连续的两函数之和可以是连续的。 函数，在点处均不连续，的连续性不确定。 例31 （1），；（2）， 分析：（1）两函数在点处均不连续，但它们的乘积却处处连续。（2）两函数在点处均不连续，因为它们在该点没有定义，而它们的乘积 在点=0处仍不连续。所以，不连续的两函数的积的连续性也是不确定的。 乘积不一致连续的两个

26、一致连续函数。 例32 ， 分析：它们均在实数范围内一致连续，但在实数范围内却不一致 连续。因此有结论，两一致连续函数的乘积不一定一致连续。（4）导数的相关问题 若，均在点不可导，但有可能在点可导。例33 ， 分析：它们均在=0点不可导，但却处处可导。所以，不可导的两函数之和有可能可导。 若，均在点不可导，但有可能在点可导。 例34 分析：，均在点不可导，但却处处可导。所以，不可导的两函数之积有可能可导。结论：以上两个例子表明,函数的导数对四则运算不封闭。（5）积分的相关问题 若函数，在上可积，则在上可积。但反之不真。例35 ，分析： 在上可积，但函数，在上均不可积。所以，两函数之和可积，两函

27、数不一定可积。或者说，可积函数可以分割成两不可积函数之和。2. 将命题的充分与必要性弄混由于数学分析的内容很多，很复杂，命题、结论的逻辑关系经常弄混。死记硬背肯定是不行的，使用反例不仅可以找出所犯的错误，还能加深印象。 若，则。但反之不真。 例36 解：1，但不存在。所以，不一定有。 若h（h0的常数），则。但反之不真 例37 解：，但不存在。即，由，无法得到（0的常数）。小结：数列收敛，则在无穷远处，邻项的距离趋近于零，也即比值趋于一。但是满足这种必要条件的数列很多，无穷收敛则是最典型的。 （=1,2, ）不一定有（假设极限都存在） 例38 ，（=1,2, ）解：由已知，显然（=1,2, ）

28、，但这纯粹是思考上容易出现的错误。 若存在数，使得 则称数列具有有界变差。 凡是具有有界变差的数列都收敛，但收敛数列不一定有有界变差。 例39 分析：它是以零为极限的收敛数列，但它没有有界变差。事实上， 而，于是是无界的，因此收敛数列没有有界变差。所以，存在有界变差是数列收敛的充分不必要条件。具有有界变差的数列都收敛，但收敛数列不一定有有界变差。 若函数可导，则，=1，2，但反之不真。 例40 解: 当为有理数时，仍为有理数，所以 ，但在有理点不连续，当然不可导。分析：式子，=1，2，中，在函数已经可导的情况下，用孤立的点代替连续变化的逼近于0，依然可以达到原来的效果，但是，反过来时，由于没有

29、函数可导则连续的前提条件，就有了不连续的狄利克雷函数也能够可导的错误结论。所以，满足，=1，2，的函数，不一定可导。 若函数在内可导，并且，则，但反之非真。例41 ，解：，但不存在。所以，仅仅由这一个条件，无法得到函数在内可导，并且。 如果在闭区间上有，则。但反之不真。例42 ，解：，但在上的值却不总是大于等于零。 所以，无法推出在闭区间上有。3. 表述不够严谨错误 当越大时，越来越向零靠拢，则。错误。 例43 ，解：，当越大时，越来越向零靠拢但始终，因此不以1为极限。此例不仅证实了所给命题是错误的，还向我们展示了精确语言的重要性，“从右边越来越接近一也是接近零”。三、数学分析中几个特殊反例洛

30、必达法则失效的极限，很难界定它的应用类型，但它却是极其重要的，是数学分析中不可忽略的重要反例，因此在本部分给出。魏尔斯特拉斯著名反例，因其极具代表性的重要作用，仅仅将其放在纠错类别下，不免抹掉了它的功绩。所以，也在本部分给出。（一）洛必达法则失效的极限洛必达法则失效的极限 例44 分析：此极限显然为“”型不定式，但不能用罗比达法则求，因为若设，极限不存在，而。 分析：此极限虽然为“”型不定式，但如果用罗比达法则将得到错误的结果：首先应用法则，因为不存在，所以不存在，从而不存在。而实际上， .应用洛必达法则求解不定式的极限十分方便，但这一法则并不是万能式，有时是失效的，必须谨记这一点。（二）魏尔

31、斯特拉斯著名反例十九世纪以前，数学界长期认为：“连续函数除个别点外总是可导的。”魏尔斯特拉斯于1860年给出了一个著名反例：其中，为实数，为奇整数， ，在内处处连续但又处处不可导。这个反例对当时的数学界造成了巨大的冲击。此后，人们又创造出很多这种类型的例子，这些“病态函数”的提出，使数学家们更清醒地认识到分析基础严格化的必要性和重要性，推动了微积分理论的发展。（三）函数在极值点的形态若函数在点有极大值，但在此点的邻域内不一定有在点的左侧上升，右侧下降。例45 解：对于且，即，所以在点取得极大值2。而，在点的任意邻域内都时正时负，故在点的左右两侧的任意邻域内都是震荡的。提及极大值，脑中立即就会浮

32、现出在点的左侧上升，右侧下降的图像，本例题指出了一个绝大多数数学分析学习者会走入的误区。它还告诉我们，直观感觉再怎么正确，也可能是错的。四、应用反例应注意的问题在学习中重视和恰当的运用反例，不仅可以调动我们学习数学的积极性，养成重视条件，严格推理的习惯，而且还可以提高我们的数学能力和学习能力。数学分析中反例的应用极多，相关的例子也是无穷无尽，想要牢固掌握、灵活运用并非易事。在数学分析的学习过程中，应该应用反例针对困难解决困难，在具体的实践中，利用反例这种方法的各种优势，完成学习过程，同时用心体会应用反例的各种技巧，强化从正反两方面分析问题的思维意识。但在学习中，运用反例还必须注意如下一些问题：

33、首先要注意主次。学习中主要学习概念、定理和方法，对于基本的命题和结论应予以严格的证明和推导。但举反例重在说明结构、辨清是非，因此我们不可一味把太多的注意力放在构造或列举反例上，反例应该作为围绕主要内容而进行的有效的辅助学习手段。其次要注意适当。反例应是经过挑选的，既要简单又要能够说明问题。学生自己构造的反例难度应适当，以免浪费很多时间和精力，而且容易产生挫败感。不同的学习内容，对反例的运用也应有不同要求。另外，牢记一些典型函数，如狄利克雷函数(见附录)等的各方面性质，在反例的实际应用中会有很大的帮助。 五、“反例教学法”在教学中的重要意义现代信息技术的飞速发展及其日益在学校教育领域的应用，给学

34、校教育带来了发展的机遇，也使学校教育再次面临严峻的挑战。现行学校教育方式在未来社会的前景如何?信息技术的发展最终会为教学方式带来什么样的变革？这在今天是一件难以预料的事。目前，随着我国基础教育课程的逐步深入，课程理论研究正面临极好的机遇和极大的挑战，改革实践呼唤科学的课程理论给以指导。理论是实践的先导。数学教育工作者应该责无旁贷地担负起排头兵的作用，要对有关的教学方法作深入的理论研究，提出改革落后教学方法的方案，创造出新的教学方法。有利于扎扎实实打好基础，努力培养创新意识和实践能力，全面提高学生的数学素养。 反例教学法是指在教师指导下，根据教学目标和内容的需要，采用典型例题的典型错误解法或错误

35、认识组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因，达到真正完全掌握数学基本概念、性质，并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。简言之，反例教学法实质上是指教师呈现少数例题，引导学生进行批判的一种教学方法。这种教学方法脱胎于首创于哈佛大学的案例教学法，它最早被运用于19世纪后半叶的法律教学中，教师选择个别犯罪案例进行剖析，让学生学习法学的基本知识和理论，以后被运用于医学、心理学、管理学等学科研究与教学之中。（一）“反例教学法”的实施过程采用反例教学法进行数学教学时，在教学过程中，教师的施教方法和学生的学习方法上都有一系列规范。主要反映在以下几个操作步骤之中：1、选编反例。这是实施反例教学法的基础

36、和前提，要动员教师集体编写反例，每个教师至少要准备2030个反例，这些反例要具有一定的教学价值。编好之后，存入反例库中，随时供教学使用，选择和编排反例具体要求有以下几点：第一，反例必须从教学实践中来，真实、生动。即使是教师自己编写的也必须符合客观实际。第二，反例必须精炼。选择反例的数量不能多，运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，不能不加选择地大量地罗列反例。只需要选择那些高质量的少数典型反例。因为反例教学法是使教师和学生借助分析少数有代表性的反例。从而获得整体性、全面性的知识的方法。我们不可能在短时间里收集和列举所有的实际反例，可以抓住与某部分知识有关的几个典型例子加以剖析，从

37、而把握概念的本质特征。第三，反例必须典型。反例要能代表概念性质对象的特点，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性。典型的反例可以是综合知识量大的部分，也可以是概念、知识点的某个性质。第四，反例必须有针对性。应该针对所讲的教学内容和教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例。第五，反例必须具有系统性。在教学中选用的反例应该相互联系，由简单到复杂，分层次地有序地编排。反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育功效。2、呈现反例。反例的呈现应放在讲授基础知识之后，既可以在讲授某一块知识时显现，也可以在讲完一个单元或一个章节之后呈现，呈现的方式有以下几种：给每个学生印发一份文字反例，

38、运用投影仪将反例投射到黑板上，教师利用多媒体技术呈现反例，教师利用即时刺激或环境请学生板演制造真实的反例。 3、分析反例。对于同一个反例，每个学生可以分析出不同的意义，有人只能找到浅层的信息，有人则能得到透彻的知识面，从而对症下药，教师要引导学生发现揭示反例的本质错误。分析反例的关键是学生和教师共同努力，把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来。为此。教师要做好启发引导工作，让学生综合运用所学的知识积极地去独立思考，大胆地交流研讨，同时教师要创设民主和谐的教学气氛，即使学生的思考和回答偏离了正确答案，也不要急于评判，应让他们自己反省，自我更正，使学生在没有压力和顾忌的良好心态下进行创造性

39、的探索。 4、评价反例。这是对反例分析的总结。一般由教师来完成，教师可以指出学生分析反例的成绩和不足，进行补充与提高性讲授，评论反例也可以发动学生在教师指导下开展，使他们得到进一步的锻炼。（二）“反例教学法”在教学中的重要意义反例教学法强调借助实际材料来说明教学观点。所运用的实际材料具有较强的完整性、典型性，操作的过程具有规范性和系统性，又比较灵活、随意。反例在教学中虽处于次要地位或辅助教学地位。但它是培养学生主动性和能力的一种手段，是教师和学生共同活动的对象。是讲解知识的一种手段，它有利于学生更好地掌握各种数学理论知识。 反例教学法重视具有典型意义的教学内容，教学思路由特殊到一般，借助于精选的题材，培养学生主动学习、发现问题的独特思考能力，发展学生的创造力，其意义存在于以下几个方面：1、能丰