相对论理论的四维形式电动力学的稳定相对论不变性

1、6.4 相对论理论的四维形式相对论理论的四维形式 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 在相对论中时间和空间不可分割，在相对论中时间和空间不可分割， 当参考系改变时，时空坐标互相当参考系改变时，时空坐标互相 变换，三维空间和一维时间构成变换，三维空间和一维时间构成 一个统一体一个统一体 四维时空四维时空。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 四维时空理论四维时空理论可用简洁的四可用简洁的四 维形式表述出来。利用这种形式可以很维形式表述出来。利用这种形式可以很 清楚地显示出一些物理量之间的内在联清楚地显示出一些物理量之间的内在联 系，并且可以把相对性原理用非常明显系，并

2、且可以把相对性原理用非常明显 的形式表达出来。的形式表达出来。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 先回顾一下三维空间的转动性质。先回顾一下三维空间的转动性质。 先看二维平面上的坐标系先看二维平面上的坐标系 转动。设坐标系转动。设坐标系 相对于相对于 坐标系坐标系 转了一个角转了一个角 。 设平面上一点的坐标在设平面上一点的坐标在 系为系为x,y; 在在 系为系为x ,y 。 新旧坐标之间有变换关系新旧坐标之间有变换关系 x=xcos+ysin , y=-xsin+ycos. OP2=x2+y2= x2+ y2=不变量 1. 1. 三维空间的正交变换三维空间的正交变换 相对论理论

3、的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 满足此式的二维平面上的线性变换称为满足此式的二维平面上的线性变换称为 正交变换。坐标系转动属于正交变换。正交变换。坐标系转动属于正交变换。 OP2=x2+y2= x 2+ y 2=不变量不变量 正交变换正交变换 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 设设 为平面上任意矢量。在为平面上任意矢量。在 系中的分量为系中的分量为 x , y; 在在 系中的分量为系中的分量为 x , y 。这些分量有变换关系。这些分量有变换关系, 矢量长度平方为矢量长度平方为 x = xcos + ysin , y= - xsin + ycos . | |2= 2x

4、+ 2y= 2x + 2y =不变量不变量 任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式任意矢量的变换与坐标变换具有相同形式 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 现在讨论三维坐标转动。设现在讨论三维坐标转动。设 系的直角坐标为系的直角坐标为 (x1,x2,x3), 系的直角坐标为系的直角坐标为(x 1,x 2,x 3) 。三。三 维坐标线性变换一般具有形式维坐标线性变换一般具有形式 x 1=a11 x1+a12 x2 +a13 x3, x 2=a21 x1+a22 x2 +a23 x3, x 3=a31 x1+a32 x2 +a33 x3. 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变

5、性 坐标系转动时距离保持不变坐标系转动时距离保持不变,应有应有 x 12+ x 22+ x 32= x12 + x22 + x32 满足此式的线性变换称为正交变换。满足此式的线性变换称为正交变换。 空间转动属于正交变换空间转动属于正交变换, 式中的系数式中的系数 aij依赖于转动轴和转动角。依赖于转动轴和转动角。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 坐标变换式坐标变换式 321 3 1 , ixax j j ij i 在一般情形中在一般情形中, 当公式中出现重复当公式中出现重复 下标时下标时(如上式右边的如上式右边的j), 往往都要往往都要 对该指标求和。这是现代物理中通对该指标

6、求和。这是现代物理中通 用的约定。用的约定。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 爱因斯坦约定爱因斯坦约定: 除特别声明外除特别声明外, 凡有重复凡有重复 下标时都意味着要对它求和。以后为了下标时都意味着要对它求和。以后为了 书写方便书写方便, 省略求和符号。省略求和符号。 变换式可简写为变换式可简写为 jij ixax 正交条件是正交条件是 不变量 ii iixxxx 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 正交变换条件正交变换条件 iikikjij xxxaxa kj kj jk 若 若 0 , 1 jij ixax 不变量 ii iixxxx jkikij 相对论

7、理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 ljljjijiliil xxxaaxa i ill xax 反变换式反变换式 jij ixax 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 转置矩阵转置矩阵 jiij aa 正交条件式可用矩阵乘法写为正交条件式可用矩阵乘法写为 Iaa 其中I为单位矩阵 333231 232221 131211 aaa aaa aaa aij a 变换系数矩阵形式变换系数矩阵形式 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 根据物理量在空间转动下的变换性质分类根据物理量在空间转动下的变换性质分类 2. 2. 物理量按空间变换性质的分类物理量按空间变换性质

8、的分类 标量、矢量、张量等标量、矢量、张量等 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 在空间中没有取向关系在空间中没有取向关系,当坐标系转动时保当坐标系转动时保 持不变的物理量。如质量、电荷等。设在坐持不变的物理量。如质量、电荷等。设在坐 标系标系 中某标量用中某标量用u表示表示,在转动后的坐标系在转动后的坐标系 中用中用u 表示。由标量不变性有表示。由标量不变性有 u= u (1) 标量标量 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 在空间中有一定的取向性，用三个分量表示的，在空间中有一定的取向性，用三个分量表示的， 当空间坐标作转动变换时，三个分量按同一方当空间坐标作转动

9、变换时，三个分量按同一方 式变化的物理量。例如速度、力、电场强度和式变化的物理量。例如速度、力、电场强度和 磁场强度等都是矢量。以磁场强度等都是矢量。以 代表矢量代表矢量,在坐标系在坐标系 中的分量为中的分量为 i, 在转动后的在转动后的 系中的分量为系中的分量为 i 。 与坐标变换式对应与坐标变换式对应, 有矢量变换关系有矢量变换关系 jij i a (2) 矢量矢量 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 有些微分算符也具有矢量性质有些微分算符也具有矢量性质 i x / ix/ j ij j i j i x a x x x x 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 这

10、类物理量要用两个矢量指标表示这类物理量要用两个矢量指标表示, 有有9个个 分量分量, 显示出更复杂的空间取向性质。当显示出更复杂的空间取向性质。当 空间转动时空间转动时, 其分量其分量Tij按以下方式变换按以下方式变换 具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例具有这种变换关系的物理量称为二阶张量。例 如应力张量如应力张量, 电四极矩等。电四极矩等。 kljlik ijTaaT (3) 二阶张量二阶张量 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 Tij= Tji ji kliljkkljkil lkjlikkljlik ij TTaaTaa TaaTaaT 二阶张量还可以进一步分类二阶张

11、量还可以进一步分类 对称张量变换后仍为对称张量 反对称张量变换后仍为反对称张量 Tij= -Tji ji kliljkkljkil lkjlikkljlik ij TTaaTaa TaaTaaT 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 二阶张量可以分解为三个部分二阶张量可以分解为三个部分 迹迹 Tii 无迹对称张量无迹对称张量 Tij= Tji , Tii=0, 反对称张量反对称张量 Tij= -Tji . 电四极矩就是一个无迹对称张量电四极矩就是一个无迹对称张量, 它只有它只有5个个 独立分量。独立分量。 对称张量的迹是一个标量对称张量的迹是一个标量 不变量 kkklklklili

12、k iiTTTaaT 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 两矢量两矢量 和和w的标积的标积 iwi是一个标量。是一个标量。 张量张量Tij可以和一个矢量可以和一个矢量 j作出乘积作出乘积Tij j iwi=aij j aikwk = jk jwk = jwj =不变量不变量 此式具有矢量的变换关系，因此是一个矢量。此式具有矢量的变换关系，因此是一个矢量。 T ij j= aik ajl Tkl ajn n = aik lnTkl n = aikTkl l 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 三维坐标转动是满足距离不变的线性变换三维坐标转动是满足距离不变的线性变换,

13、即即 x12+ x22+ x32= x12 + x22 + x32=不变量 jij ixax 3. 3. 洛伦兹变换的四维形式洛伦兹变换的四维形式 洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换洛伦兹变换是满足间隔不变的四维时空线性变换 x 12+ x 22+ x 32 c2 t 2 = x12 + x22 + x32 c2 t2 形式上引入第四维虚数坐标形式上引入第四维虚数坐标x4=ict 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 则间隔不变式可写为则间隔不变式可写为 x 12+ x 22+ x 32 + x 42 = x12 + x22 + x32 + x42=不变量不变量 以后在下角

14、指标中用拉丁字母代表以后在下角指标中用拉丁字母代表1-3, 希腊字希腊字 母代表母代表1-4, 间隔不变式可写为间隔不变式可写为 x x = x x =不变量不变量 洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换洛伦兹变换是满足间隔不变性式的四维线性变换 x = a x 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的洛伦兹变换形式上可以看作四维空间的“转转 动动”, 因而三维正交变换的关系可以形式上推广因而三维正交变换的关系可以形式上推广 到洛伦兹变换中去。须注意的是到洛伦兹变换中去。须注意的是, 这四维空间的这四维空间的 第四个坐标是虚数第四个坐标是虚数,

15、因此它是复四维空间因此它是复四维空间, 不同不同 于实数的四维欧几里德于实数的四维欧几里德(Euclid)空间。空间。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 沿沿x轴方向的特殊洛伦兹变换式的变换矩阵为轴方向的特殊洛伦兹变换式的变换矩阵为 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 i i a 2 2 1 1 c c , 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 逆变换矩阵逆变换矩阵 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 i i aa 变换式满足正交条件变换式满足正交条件 Iaa 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 在四维形式中，时间与空间统一

16、在一个四维空在四维形式中，时间与空间统一在一个四维空 间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的间内，惯性参考系的变换相当于四维空间的 “转动转动”。由于物质在时空中运动，描述物质。由于物质在时空中运动，描述物质 运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的运动和属性的物理量必然会反映出时空变换的 特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理特点。把三维情形推广，我们也可以按照物理 量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性量在四维空间转动（洛伦兹变换）下的变换性 质来把物理量分类。质来把物理量分类。 4. 4. 四维协变量四维协变量 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 VaV TaaT 四维

17、矢量四维矢量 四维张量四维张量 u= u 洛伦兹标量洛伦兹标量 在惯性系变换下与坐标有相同变换关系在惯性系变换下与坐标有相同变换关系 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 这些物理量这些物理量(标量、矢量和各阶张量标量、矢量和各阶张量)在洛伦在洛伦 兹变换下有确定的变换性质兹变换下有确定的变换性质 间隔间隔 dx dxds 2 为洛伦兹标量为洛伦兹标量 协变量协变量 固有时固有时 ds c d 1 洛伦兹标量洛伦兹标量 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 四维速度矢量四维速度矢量U d dx U 通常意义下的速度通常意义下的速度ui不是四维矢量的分量不是四维矢量的分量

18、 通常意义下的速度通常意义下的速度ui是用参考系是用参考系 的时间量度的位移变的时间量度的位移变 换率换率, ui的变换式不同于洛伦兹变换。因为当坐标系变的变换式不同于洛伦兹变换。因为当坐标系变 换时换时,dxi按四维矢量的分量变换按四维矢量的分量变换,但但dt也发生改变也发生改变, 因此因此ui就不按矢量方式变换。就不按矢量方式变换。 dt dx u i i u c u 2 2 1 1 d dt 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 U是用固有时量度的位移变换率 )ic,u ,u ,u (U 321u U的前三个分量和普通速度联系着，当c时 即为u,因此称为四维速度。参考系变换时

19、, 四维速度有变换关系 UaU 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 设有一角频率为设有一角频率为 ,波矢量为波矢量为k的平面电磁波在真空中传的平面电磁波在真空中传 播。在另一参考系播。在另一参考系 上观察上观察,该电磁波的频率和传播方该电磁波的频率和传播方 向都会发生改变向都会发生改变(多普勒效应和光行差效应多普勒效应和光行差效应) 。以。以 和和k 表示表示 上观察到的角频率和波矢量。上观察到的角频率和波矢量。 电磁波的相位因子电磁波的相位因子 txke i , 在另一参考系观察的相位因子在另一参考系观察的相位因子 , txke i 四维波矢量四维波矢量 相对论理论的四维形式电

20、动力学的稳 定相对论不变性 第一事件：设参考系第一事件：设参考系 和和 的原点在时刻的原点在时刻 t=t =0重合。在该时刻重合。在该时刻,两参考系的原点上两参考系的原点上 都观察到电磁波处于波峰都观察到电磁波处于波峰,相位相位 = =0。 第二事件：在第二事件：在 系系n个周期个周期(t=2 n/ )后后,第第n 个波峰通过个波峰通过 系原点系原点,相位相位 = -2 n 。它在。它在 上的时空坐标为上的时空坐标为(x=0, t= 2 n/ ),在在 上的上的 时空坐标时空坐标(x ,t )可用洛伦兹变换求得可用洛伦兹变换求得,而相而相 位同样是位同样是 = -2 n 。 相位和的关系 相对

21、论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 这是因为某个波峰通过某一时空点是一个物这是因为某个波峰通过某一时空点是一个物 理事件理事件,而相位只是计数问题而相位只是计数问题,不应随参考不应随参考 系而变。因此系而变。因此,相位是一个不变量相位是一个不变量 不变量 相位和的关系 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 不变量 txktxk 类似类似x与与ict合为四维矢量合为四维矢量x ,k与与i /c合为另一合为另一 个四维矢量个四维矢量k ,它们按四维矢量方式变换它们按四维矢量方式变换,有有 不变量 xkxk 四维波矢量四维波矢量 ) c i ,(k k k 相对论理论的四维形式

22、电动力学的稳 定相对论不变性 在洛伦兹变换下在洛伦兹变换下, k 的变换式为的变换式为 kak 特殊洛伦兹变换特殊洛伦兹变换 )( , , ),( 1 3 3 2 2 2 1 1 k kk kk c kk 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 设波矢量k与x轴方向的夹角为,k 与x轴的夹角为,有 cos,cos c k c k 1 1 )(cos sin tg ),cos c 1 ( c 相对论的多普勒效应和光行差公式相对论的多普勒效应和光行差公式 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 若若 为光源的静止参考系为光源的静止参考系,则则 = 0, 0为静止为静止 光源的辐

23、射角频率。运动光源辐射的角频率光源的辐射角频率。运动光源辐射的角频率 )cos( c 1 0 其中其中 为光源的运动速度为光源的运动速度, 为为 上观察者看到辐射方向上观察者看到辐射方向 与光源运动方向的夹角。当与光源运动方向的夹角。当 c时时, 1,得经典多普得经典多普 勒效应公式勒效应公式 )(, cos c c 1 0 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 在垂直于光源运动方向观察辐射时在垂直于光源运动方向观察辐射时,经典公式经典公式 给出给出 = 0,而相对论公式给出而相对论公式给出 )(, 90 1 2 2 0 c 即在垂直于光源运动方向上即在垂直于光源运动方向上,观察到

24、的角频率小于静止观察到的角频率小于静止 光源的辐射频率。这现象称为横向多普勒效应。横向多光源的辐射频率。这现象称为横向多普勒效应。横向多 普勒效应为普勒效应为Ives-Stilwell实验所证实实验所证实,它是相对论时间延它是相对论时间延 缓效应的证据之一。缓效应的证据之一。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 设在参考系设在参考系 上观察上观察,由光源辐射出的光线在由光源辐射出的光线在xy 面上面上,与与x轴有夹角轴有夹角 ,则则 sin,coscucu yx 设设 系相对于系相对于 以速度以速度 沿沿x轴方向运动轴方向运动,在在 系上观察系上观察 到光线与到光线与x 轴有夹角

25、轴有夹角 , )(cos sin )( c x y x y u u u u tg 光行差公式也可以由速度变换公式导出光行差公式也可以由速度变换公式导出 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 光行差较早为天文观测所发现 (Bradley于1728年) 。如设地球 相对于太阳参考系的运动速 度为,在上看到某恒星发 出的光线的倾角为=-,在 地球上用望远镜观察该恒星时, 倾角变为=- 。由于c, 得 c tg cos sin 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 由于地球绕太阳公转由于地球绕太阳公转,一年之内地球运动速度的一年之内地球运动速度的 方向变化一个周期方向变化一个周

26、期,因此因此,同一颗恒星发出的光线的表同一颗恒星发出的光线的表 观方向也变化一个周期。天文观测证实了这种周期观方向也变化一个周期。天文观测证实了这种周期 变化变化,并且由光线表观方向的改变比较准确地导出光并且由光线表观方向的改变比较准确地导出光 的传播速度。的传播速度。 在相对论以前的以太理论中在相对论以前的以太理论中,光行差的存在表光行差的存在表 明地球相对于明地球相对于“以太以太”运动运动,但以后的迈克尔孙实但以后的迈克尔孙实 验却否定了地球相对于验却否定了地球相对于“以太以太”的运动。正是这的运动。正是这 会总矛盾最后导致以太和绝对参考系的被否定会总矛盾最后导致以太和绝对参考系的被否定,

27、从从 而建立狭义相对论的时空观。而建立狭义相对论的时空观。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 5.5.物理规律的协变性物理规律的协变性 四维矢量在参考系变换下有四维矢量在参考系变换下有 GF GGaFaF 在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性。在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性。 相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 相对性原理要求一切惯性参考系都是等价相对性原理要求一切惯性参考系都是等价 的。在不同惯性系中的。在不同惯性系中,物理规律应该可以物理规律应该可以 表为相同形

28、式。如果表示物理规律的方程表为相同形式。如果表示物理规律的方程 是协变的话是协变的话,它就满足相对性原理的要它就满足相对性原理的要 求。因此求。因此,用四维形式可以很方便地把用四维形式可以很方便地把 相对性原理的要求表达出来。只要我们知相对性原理的要求表达出来。只要我们知 道某方程中各物理量的变换性质道某方程中各物理量的变换性质,就可就可 以看出它是否具有协变性。以看出它是否具有协变性。 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 6.5 电动力学的相对论不变性电动力学的相对论不变性 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 不变量 VQd 2 2 0 1 c u ll 2 2

29、0 1dd c u VV 0 2 2 0 1 u c u 1、四维电流密度矢量、四维电流密度矢量 带电粒子的电荷与其运动速度无关 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 uuJ u 0 icJ 4 UJ 0 )ic,u,u,u(U 321u 引入引入 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 ),(ictxx ),( icJJ 时空统一、变换时空统一、变换 电荷密度、电流密电荷密度、电流密 度统一、变换度统一、变换 四维空间矢量四维空间矢量 四维电流密度矢量四维电流密度矢量 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 0 t J 0 )( )( ict ic J 0 x

30、 J 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 2、四维势矢量、四维势矢量 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 1 tc J tc 0 1 2 tc 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 xxtc 2 2 2 2 1 A=-0J =-0c2 洛伦兹标量算符洛伦兹标量算符 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 ),( icJJ ),( c i AA A =- 0J 0 x 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 a x z z y y x x ) c ( 2 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 3、电磁场张量、电磁场张量 AB t

31、A E 3 2 2 3 1 x A x A B 4 1 1 4 1 x A x A icE 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 x A x A F 引进引进 反对称张量反对称张量 0 0 0 0 321 312 213 123 E c i E c i E c i E c i BB E c i BB E c i BB F 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 0 E J t E B 000 J 0 x F 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 0 B t B E 0 x F x F x F 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相对论不变性 FaaF 1 2 1 2 1 2 1 2 44144111 4414 414 4143132121114 14411 )1)( )()()( )()( )00( )( E c i E c i E c i E c i FFiiFFi FaiFa FiFa FaFaFaFaa FaaFE c i 相对论理论的四维形式电动力学的稳 定相