河北省保定市高碑店一中高二上学期第一次月考数学试卷（理科）Word版含解析

1、2016-2017学年河北省保定市高碑店一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中ac2bc2，则ab； 若ab，cd，则a+cb+d；若ab，cd，则acbd； ab，则其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个2若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（2，2C（，2）2，）D（，23直线l与两直线y=1和xy7=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，1），则直线l的斜率为（）ABC

2、D4若x，y满足，则z=y2|x|的最大值为（）A8B4C1D25直线axy+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是（）A相离B相交C相切D不确定6圆x2+y2=50与圆x2+y212x6y+40=0的公共弦长为（）ABC2D27采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A7B9C10D158如图程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程

3、序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A0B5C45D909某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试现随机抽取24名笔试者的成绩，如表所示：分数段60，65）65，70）70，75）75，80）80，85）85，90）人数234951据此估计允许参加面试的分数线大约是（）A90B85C80D7510自圆C：（x3）2+（y+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则|PQ|的最小值为（）AB3C4D11在箱子里装有十张卡片，分别写

4、有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子里；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x+y是10的倍数的概率为（）ABCD12我校有4位教师在某一年级的4个班中各教一个班的数学，一次数学检测时，要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（）A8种B9种C10种D11种二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸上）13已知直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=0，若l1l2，则实数a的值为14如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的

5、概率是15正实数x，y满足： +=1，则x2+y210xy的最小值为16在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知关于x的不等式ax23x+20的解集为x|1xb（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：0（c为常数）18彭山二中决定在新校区附近修建教师宿舍，学校行政办公室用100万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升

6、高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元（1）若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？19过原点且斜率为的直线l1与直线l2：2x+3y1=0交于A点，求过点A且圆心在直线y=2x上，并与直线x+y1=0相切的圆的方程20已知直线xy+1=0与圆C：x2+y24x2y+m=0交于A，B两点；（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若|AB|=2，求m的值；（3）在（2）的条件下，求过

7、点P（4，4）的圆C的切线方程21为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5

8、 1.2 2.7 0.5（）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？22从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155，160）；第二组160，165）；第八组190，195如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列（1）估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数及平均身高；（2）求第六组、第七组的频率并补充完

9、整频率分布直方图；（3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两人，记他们的身高分别为x、y，求满足“|xy|5”的事件的概率2016-2017学年河北省保定市高碑店一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中ac2bc2，则ab； 若ab，cd，则a+cb+d；若ab，cd，则acbd； ab，则其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【考点】不等式的基本性质【分析】由不等式的性质，逐个选项验证可得【解答】解：选项ac2b

10、c2，则ab正确，由不等式的性质可得； 选项若ab，cd，则a+cb+d正确，由不等式的可加性可得；选项若ab，cd，则acbd错误，需满足abcd均为正数才可以； 选项ab，则错误，比如12，但故选：B2若不等式ax2+2ax42x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A（2，2）B（2，2C（，2）2，）D（，2【考点】函数恒成立问题【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解：不等式ax2+2ax42x2+4x，可化为（a2）x2+2（a2）x40，当a2=0，即a=2时，恒成立，合题意当a20时，要使不等

11、式恒成立，需，解得2a2所以a的取值范围为（2，2故选B3直线l与两直线y=1和xy7=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，1），则直线l的斜率为（）ABCD【考点】中点坐标公式【分析】设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率【解答】解：设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，1），则直线l的方程为y+1=k（x1），联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；联立直线l与xy7=0，得到，解

12、得x=，y=，所以B（，），又线段AB的中点M（1，1），所以+=2，解得k=故选D4若x，y满足，则z=y2|x|的最大值为（）A8B4C1D2【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，当x0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；当x0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点z=y2|x|的最大值为2故选：D5直线axy+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是（）A相离B相交C相切D不确定【考点】直线与圆

13、的位置关系【分析】求出直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系【解答】解：直线axy+2a=0恒过定点（2，0），而（2，0）满足22+029，所以直线与圆相交故选B6圆x2+y2=50与圆x2+y212x6y+40=0的公共弦长为（）ABC2D2【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】利用圆系方程直接求出相交弦所在直线方程，通过半弦长，半径，弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长【解答】解：x2+y2=50，；x2+y212x6y+40=0；得：2x+y15=0为公共弦所在直线的方程，原点到相交弦直线的距离为：，弦长的一半为，公共弦长为：故选C7采用系统抽样方法从960人中抽取32人

14、做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A7B9C10D15【考点】系统抽样方法【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21，由45130n21750 求得正整数n的个数【解答】解：96032=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n

15、21由 45130n21750 解得 15.7n25.7再由n为正整数可得 16n25，且 nz，故做问卷B的人数为10，故选：C8如图程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A0B5C45D90【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，

16、n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C9某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试现随机抽取24名笔试者的成绩，如表所示：分数段60，65）65，70）70，75）75，80）80，85）85，90）人数234951据此估计允许参加面试的分数线大约是（）A90B85C80D75【考点】频率分布表【分析】根据题意，求出参加面试的频率，再计算对应频率的分数段，即可得出分数线大约是多少【解答】解：参加面试的频率为=0.25，样本中80，90）的频率为=0.25，由样本估计总体知，分数线大约为80分故选：C10自圆C：（x3）2+（y

17、+4）2=4外一点P（x，y）引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则|PQ|的最小值为（）AB3C4D【考点】直线与圆的位置关系【分析】由题意画出图象，根据条件和圆的切线性质列出方程化简，求出点P的轨迹方程，结合条件和两点之间、点到直线的距离公式求出|PQ|的最小值【解答】解：由题意得，圆心C（3，4），半径r=2，如图：因为|PQ|=|PO|，且PQCQ，所以|PO|2+r2=|PC|2，所以x2+y2+4=（x3）2+（y+4）2，即6x+8y21=0，所以点P在直线6x+8y21=0上，要使|PQ|最小，只要|PO|最小即可，当直线PO垂直于直线6x+8y21=0

18、时，|PQ|最小，此时|PQ|最小值是=，故选：D11在箱子里装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x，然后再放回箱子里；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y，则x+y是10的倍数的概率为（）ABCD【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】所有的读数（x，y）共有1010=100个，其中满足x+y是10的倍数的用列举法求得共计10个，从而求得x+y是10的倍数的概率【解答】解：所有的读数（x，y）共有1010=100个，其中满足x+y是10的倍数的有（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（5，5），（9，1）、（8，2）、（7，3）、（

19、6，4）、（10，10），共计10个，故x+y是10的倍数的概率为=，故选：D12我校有4位教师在某一年级的4个班中各教一个班的数学，一次数学检测时，要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（）A8种B9种C10种D11种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】首先分析可得当教师监考不受限制时，安排监考的方法有24种，再计算其中有人在本班监考的情况数目，分“有1人在本班监考”、“有2人在本班监考”、“有3人在本班监考”三种情况讨论，易得不符合题意的安排方法数目，进而由事件间的关系可得答案【解答】解：当教师监考不受限制时，安排监考的方法有4321=24种，其中有1人在本班监考的有C412=8种

20、，有2人在本班监考的有C42=6种，4人全在本班监考的有1种，则不符合题意的安排方法有8+6+1=15种；故符合题意的监考方法有2415=9种；故选B二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸上）13已知直线l1：ax+2y+1=0与直线l2：（3a）xy+a=0，若l1l2，则实数a的值为1或2【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】利用平面中的直线垂直的条件A1A2+B1B2=0，求出a的值【解答】解：l1：ax+2y+1=0，l2：（3a）xy+a=0，且l1l2，a（3a）+2（1）=0，即a23a+2=0，解得a=1，或a=2；故答案为：1或21

21、4如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是【考点】几何概型【分析】以面积为测度，计算出阴影的面积，扇形的面积，可求概率【解答】解：如图，设两个半圆的交点为C，且以AO为直径的半圆以D为圆心，连结OC、CD设OA=OB=2，则弓形OMC的面积为S弓形OMC=S扇形OCDSRtDCO=1211=所以空白部分面积为S空白=2（S半圆AO2S弓形OMC）=212（1）=2因此，两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OABS空白=222=2可得在扇形OAB内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P=故答案为：15正实数x，y满足

22、： +=1，则x2+y210xy的最小值为36【考点】一元二次不等式的解法【分析】由+=1得x+y=xy，则x2+y210xy=（xy6）236，根据二次函数的性质即可求出【解答】解：由+=1得x+y=xy，平方得x2+y2+2xy=（xy）2，即x2+y2=2xy+（xy）2，则x2+y210xy=（xy）22xy10xy=（xy）212xy=（xy6）236，当xy=6时，有最小值，即最小值为36，故答案为：3616在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y28x+15=0，若直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是【考点】圆与圆的位置

23、关系及其判定；直线与圆的位置关系【分析】由于圆C的方程为（x4）2+y2=1，由题意可知，只需（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可【解答】解：圆C的方程为x2+y28x+15=0，整理得：（x4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x4）2+y2=1与直线y=kx2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx2的距离为d，则d=2，即3k24k0，0kk的最大值是故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知关于x的不等式ax

24、23x+20的解集为x|1xb（1）求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式：0（c为常数）【考点】一元二次不等式的解法【分析】（1）由题意知1，b为关于x的方程ax23x+2=0的两根，由韦达定理可得方程组，解出即可；（2）不等式等价于（xc）（x2）0，按照对应方程的根2、c的大小关系分三种情况讨论可得；【解答】解：（1）由题意知1，b为关于x的方程ax23x+2=0的两根，则，a=1，b=2（2）不等式等价于（xc）（x2）0，所以：当c2时解集为x|xc或x2；当c=2时解集为x|x2，xR；当c2时解集为x|x2或xc18彭山二中决定在新校区附近修建教师宿舍，学校行政办公室用100万

25、元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元（1）若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）第1层楼房每平方米建筑费用为720元，第1层楼房建筑费用为7201000=720000（元）=72（万元）；楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高201

26、000=20000（元）=2（万元）；第x层楼房建筑费用为72+（x1）2=2x+70（万元）；建筑第x层楼时，楼房综合费用=建筑总费用（等差数列前n项和）+购地费用，由此可得y=f（x）；（2）楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则（元），代入（1）中f（x）整理，求出最小值即可【解答】解：（1）由题意知，建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：720元建筑第1层楼房建筑费用为：7201000=720000（元）=72（万元）楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：201000=20000（元）=2（万元）建筑第x层楼房建筑费用为：72+（x1）2=2x+70（万元）建筑第x层楼时，该楼房综合费用为

27、：所以，y=f（x）=x2+71x+100（x1，xZ）（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：=910，当且仅当，即x=10时，等号成立；所以，学校应把楼层建成10层此时平均综合费用为每平方米910元19过原点且斜率为的直线l1与直线l2：2x+3y1=0交于A点，求过点A且圆心在直线y=2x上，并与直线x+y1=0相切的圆的方程【考点】圆的切线方程【分析】求出过原点且斜率为的直线l1的方程与2x+3y1=0联立得A（2，1），设圆方程为（xa）2+（yb）2=r2，圆心（a，b），则2a=b， =r，（2a）2+（1b）2=r2，求出a，b，r，即可求出圆的方程【解答】解：过原

28、点且斜率为的直线l1的方程为x+2y=0x+2y=0与2x+3y1=0联立得A（2，1），设圆方程为（xa）2+（yb）2=r2，圆心（a，b），则2a=b， =r，（2a）2+（1b）2=r2，解得a=1 b=2 r=，所以圆的方程为（x1）2+（y+2）2=220已知直线xy+1=0与圆C：x2+y24x2y+m=0交于A，B两点；（1）求线段AB的垂直平分线的方程；（2）若|AB|=2，求m的值；（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为1，可得线段AB的垂直平分线的方程（2

29、）利用|AB|=2，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求m的值（3）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为1，方程为y1=（x2），即x+y3=0；（2）圆x2+y24x2y+m=0可化为（x2）2+（y1）2=m+5，|AB|=2，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为d=，m=1（3）由题意，知点P（4，4）不在圆上当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y4=k（x4），即kxy4k+4=0由圆心到切线的距离等于半径，得=2，解得k=，所以所求切线的方程为5x12y

30、+28=0当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4综上，所求切线的方程为x=4或5x12y+28=021为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.

31、6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图【分析】（）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成【解答】解：（）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，则=（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6由以上计算结果可知：由此可看出A药的效果更好（）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上由此可看出A药的疗效更好22从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50人测量身高