北师大版九年级上册数学-1.2-矩形的性质和判定课堂讲义及练习

1、北师大版九年级上册数学 1.2 矩形的性质和判定课堂讲义及练习（含答案）【矩形的性质】1矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.温馨提示对于矩形的定义要注意两点a.是平行四边形.b.有一个角是直角；定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形；矩形的定义既是矩形的性质,也提供了矩形的种判定方法。2. 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质 .（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线相等.（4）矩形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴. 矩形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心,过中心的任意直线可将矩形分成完全

2、全等的两部分.矩形中相等的线段：AC=BD， OA = OC=OB = OD矩形中相等的角：ABC = BCD = CDA = DAB = 90矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示： 矩形具有平行四边形的一切性质； 利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质,即：在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半；“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等,“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。【练习】1.如图

3、，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分BAD，CE2，则CD的长是()A2 B3 C4 D52.如图，在矩形ABCD中，AB2BC，在CD上取一点E，使AEAB，则EBC的度数是()A30 B22.5 C15 D103 如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，AOCBOD.求证：AOBO. 第4题 第5题 第6题 第7题4.在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB6 cm，BC8 cm，则EF_cm.5.ABC中，ACB90，B55，D是斜边AB的中点，那么ACD的度数为()A15 B25 C35 D456.已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，

4、使点C落在点C处，BC交AD于点E，AD8，AB4，则DE的长为()A3 B4 C5 D67.在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB5，BC8，则图中阴影部分的面积为()A5 B8 C13 D208.如图，已知ABC和ABD均为直角三角形，其中ACBADB90，E为AB的中点求证：CEDE.9.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到DCE.(1)求证：ACDEDC；(2)请探究BDE的形状，并说明理由【矩形的判定】1.矩形的判定定理（1）有三个角是直角的四边形

5、是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有一个角是直角的平行四边形是矩形.温馨提示若易证是平行四边形,则再证角为直角或对角线相等,即可得矩形；四个角均相等的四边形是矩形；有两条对角线相等的四边形不一定是矩形,必须加上“平行四边形”这个条件,它才是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形。【练习】 第1题 第2题 第5题 1.如图，在ABC中，ADBC于点D，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，当ABC满足条件_时，四边形AEDF是矩形2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是()AAOOC BACBDCACBD DBD平分ABC

6、3.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，OAB为等边三角形，BC.求四边形ABCD的周长4.下列命题错误的是()A有三个角是直角的四边形是矩形 B有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形 D对角线相等且互相平分的四边形是矩形5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：ABDC；ABDC；ACBD；ABC90；OAOC；OBOD.下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是()A B C D6.如图，ABCD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线求证：四边形PMQN是矩形7.如图，在ABC中，AB

7、AC，D为BC的中点，E是ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形求证：四边形ADCE是矩形8.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AECF，DFBE.(1)求证：BOEDOF；(2)若ODAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论【矩形的性质与判定的综合应用练习】1.在矩形纸片ABCD中，AD4 cm，AB10 cm，按如图所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE_cm. 第1题 第2题 第4题 第5题 第6题2.如图，在矩形ABCD中，BC20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分

8、别为3 cm/s和2 cm/s，则最快_s后，四边形ABPQ成为矩形3.如图，在四边形ABCD中，ABCD90，BCCD，CEAD，垂足为E.求证：AECE.4.如图，在ABC中，AB6，AC8，BC10，P为边BC上一动点(且点P不与点B，C重合)，PEAB于点E，PFAC于点F，则EF长的最小值为()A4 B4.8 C5.2 D65.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为_cm.6.如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PEMC于点E，PFMB于点F，

9、当AB，BC满足条件_时，四边形PEMF为矩形7.如图，在矩形ABCD中，AB2，BC5，点E，P分别在AD，BC上，且DEBP1.求证：四边形EFPH为矩形8.如图，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB2，求BC的长【折叠问题专项】1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E，F分别是AD、BC上的点），使点B与四边形CDEF内一点 重合，若 ，则 等于（ ）A.110B.115C.120D.130 第1题 第2题 第3题 2

10、.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D处，则重叠部分AFC的面积为（ ）A.6B.10C.8D.123.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD的最小值是（ ）A.2B.C.2 -2D.2 +24.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E（1）求证：AFE CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积 5.如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点处，交AD于E。已知AD=8，AB=4，求BDE的面积。6.在矩形ABCD中，AB

11、=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。求EF的长;求梯形ABCE的面积.【课后练习】1.如图，在ABC中，CDAB于点D，且E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于（ ）A.5B.6C.7D.8 第1题 第2题 第3题 第4题2.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=_.3.如图，ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线则CD=_4.如图，矩形ABCD中， ， ，CE是 的平分线与边AB的交点，则BE的长为_5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点

12、O，点E，F在BD上，BE=DF，（1）求证：AE=CF； （2）若AB=3，AOD=120，求矩形ABCD的面积 6.如图，在RtABC中，BAC=90，AD是BC边上的中线，EDBC于D，交BA延长线于点E，若E=35，求BDA的度数7. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DEAC，AEBD求证：四边形AODE是矩形8.如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，若AB=3，BC=4，那么阴影部分的面积为（ ）A.4B.12C.6D.3 第8题 第9题 第12题 第13题 第14题9.如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,

13、如果 等于( )A.B.C.D. 10.下列识别图形不正确的是（ ） A.有一个角是直角的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的四边形是矩形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形11.顺次连接菱形各边中点所形成的四边形是（ ） A.平行四边形B.菱形C. 矩形D.正方形12.已知：如图，在ABCD中，点E在AD上，连接BE，DFBE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N，AF，BE分别平分BAD，ABC；CE，DF分别平分BCD，ADC，则四边形MFNE是（）A.菱形B.矩形C.平行四边形D.正方形13.如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，C

14、EBD，连接OE，已知菱形ABCD的周长为20 cm，则 OE长为_cm14.如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=3cm，E是DC的中点，BF= FC，则四边形DBFE的面积为_cm2 15. 如图，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点（1）求证：BC=DE； （2）连接AD、BE，若BAC=C，求证：四边形DBEA是矩形 16.如图所示，ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF（1）求证：D是BC的中点； （2）若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论 17.如图，在矩形ABCD中，AB2，BC3，M为

15、BC中点，连接AM，过D作DEAM于E，则DE的长度为( )A.2B.C.3D. 第17题 第18题 第19题 第20题 18.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD、AB上的点，若EF=EC，EFEC，DC= ，则BE的长为（ ）A.B.C.4D.219.如图，E，F分别是矩形ABCD边AD，BC上的点，且ABG，DCH的面积分别为15和20，则图中阴影部分的面积为（ ）A.15 B.20 C.35 D.4020.如图,点E是矩形ABCD内任一点,若AB=3,BC=4.则图中阴影部分的面积为_21.如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点，若AB

16、=8，AD=12，则四边形ENFM的周长是多少？22.如图，已知ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD（1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长 23.如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=ADC=90，对角线AC，BD交于点O，DE平分ADC交BC于点E，连接OE（1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=2，求OEC的面积 答案【矩形的性质】1.A 2.C3证明：四边形ABCD是矩形，AB90，ADBC.AOCBOD，AOCDOCBODDOC，即AODBOC.在AOD和BOC中，AB，AODBOC，AD

17、BC，AODBOC，AOBO.4. 2.5 5.C 6.C 7.D 8.在RtABC中，E为斜边AB的中点，CEAB.在RtABD中，E为斜边AB的中点，DEAB.CEDE.9.(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABDC，ACBD，ADBC，ADCABC90.由平移的性质得：DEAC，ECBC，DCEABC90，DCAB，ADEC.在ACD和EDC中，ADEC，ADCECD，CDDC，ACDEDC.(2)BDE是等腰三角形理由如下：ACBD，DEAC，BDDE，BDE是等腰三角形【矩形的判定】1.答案不唯一，如BAC90 2.B 3.解：四边形ABCD是平行四边形，AC2OA，BD2OB.OA

18、B为等边三角形，OAOBAB，ACBD，四边形ABCD为矩形ABC90.在RtABC中，AC2OA2AB，BC，由勾股定理，得AB1，四边形ABCD的周长2(ABBC)2(1)4.C 5.C6.证明：PM，PN分别平分APQ，BPQ，MPQAPQ，NPQBPQ.APQBPQ180，MPQNPQ90，即MPN90.同理可证MQN90.ABCD，APQCQP180，MPQMQP90，即PMQ90，四边形PMQN是矩形7.证明：四边形ABDE是平行四边形，AEBC，ABDE，AEBD.D为BC的中点，CDBD.CDAE，CDAE，四边形ADCE是平行四边形ABAC，ABDE，ACDE，平行四边形AD

19、CE是矩形8解：(1)证明：DFBE，FDOEBO，DFOBEO.O为AC的中点，OAOC.AECF，OAAEOCCF，即OEOF.在BOE和DOF中，EBOFDO，BEODFO，OEOF，BOEDOF(AAS)(2)若ODAC，则四边形ABCD是矩形证明：BOEDOF，OBOD.ODAC，OAOBOCOD，且BDAC，四边形ABCD是矩形【矩形的性质与判定的综合应用练习】1. 5.8 2. 43.如图，过点B作BFCE于点F.CEAD，DDCE90.BCD90，BCFDCE90，BCFD.在BCF和CDE中，BCFD，BFCCED90，BCCD，BCFCDE(AAS)，BFCE.A90，CE

20、AD，BFCE，四边形AEFB是矩形，AEBF，AECE.4.B 5. 5 6.2ABBC7.证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC.又DEBP，四边形DEBP是平行四边形，BEDP.ADBC，DEBP，AECP.又ADBC，即AECP，四边形AECP是平行四边形，APCE，四边形EFPH是平行四边形在矩形ABCD中，ADCABP90，ADBC5，CDAB2，DEBP1，CE，同理BE2 ，BE2CE2BC2，BEC90，四边形EFPH为矩形8解：(1)证法一：四边形ABCD是矩形，AC90，ABCD，ABCD，ABDCDB.由折叠的性质可得：ABEABD，CDFCDB，ABECDF.

21、在ABE和CDF中，ABECDF(ASA)，AECF.四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，DEBF，DEBF，四边形BFDE为平行四边形证法二：四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBC，ABDCDB，DEBF.由折叠的性质得EBDABD，FDBCDB，EBDFDB，BEDF.又DEBF，四边形BFDE为平行四边形(2)四边形BFDE为菱形，BEDE，FBDEBDABE.四边形ABCD是矩形，ADBC，AABC90，ABEFBDEBD30.在RtABE中，AB2，AE，BE2AE ，BCADAEDEAEBE 2 .【折叠问题专项】1.B 2.B 3.C4.（1）证明：四边形ABCD是矩形，

22、AB=CD，B=D=90，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，E=B，AB=AE，AE=CD，E=D，在AEF与CDF中，E=D，AFE=CFD，AE=CD，AEFCDF（2）解：AB=4，BC=8，CE=AD=8，AE=CD=AB=4，AEFCDF，AF=CF，EF=DF，DF2+CD2=CF2 ， 即DF2+42=（8DF）2 ， DF=3，EF=3，图中阴影部分的面积=SACESAEF= 48 43=10 5.10 6. 3 SABCE=SABCD-SPEC=39【课后练习】1.D 2. 2 3. 6.5 4. 5.（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA=OC，OB=OD，A

23、C=BD，ABC=90，BE=DF，OE=OF，在AOE和COF中， ，AOECOF，AE=CF（2）解：OA=OC，OB=OD，AC=BD，OA=OB，AOB=COD=60，AOB是等边三角形，OA=AB=3，AC=2OA=6，在RtABC中，BC= ，矩形ABCD的面积=ABBC=33 =9 6.解：EDBC，BDE=90，又E=35，B=90-E=55，在RtABC中，BAC=90，AD是BC边上的中线，AD=BD，BAD=B=55，BDA=180-B-BAD=707.证明：DEAC，AEBD，四边形AODE为平行四边形，四边形ABCD为菱形，ACBD，AOD=90，四边形AODE是矩形 8.D 9.B 10.C 11.C 12.B 13. 5 14.815. （1）证明：E是AC中点，EC=ACDB=AC，DB=EC又DBEC，四边形DBCE是平行四边形，BC=DE（2）证明：连接AD、BEDBAE，DB=AE，四边形DBEA是平行四边形BAC=