二面角习题及答案

1、二面角1如图三棱锥P-ABC中，PC丄平面ABC，PC =.；边长为2的正三角形，求二面角P-AB C的大小。B,D是DE垂直平分SC,且分别交 AC、C解:4如图 ABC与厶BCD所在平面垂直,，BC =4，AC与BD 相交于0点，P是平面2如图在三棱锥 S-ABC中，SA丄底面 ABC , AB丄BC,SC 于 D、E,又 SA =AB , BS =BC , 求以 BD 为棱, 解:3.如图：ABCD是矩形，AB =8ABCD 外一点，P0丄面 ABCD , P0 =4, M面角A-BD-C的余弦值。解:C6.如图AC 丄面 BCD , BD 丄面 ACD ,若 AC =CD =1 , /

2、 ABC =30,求二面角C - AB - D5已知正方体 AC , M、N分别是BB , DD的中点，求截面 AMCN 与面ABCD , CCDD所成的角。解:的大小。解：7.三棱锥 A-BCD 中，/ BAC = / BCD =90。，/ DBC =30 , AB =AC =6 , AD =4，求面角A-BC-D的度数。解:9. 如图所示，四棱锥P ABCD的底面是边长为a的菱形，/ A = 60, PC丄平面 ABCD , PC= a,E是PA的中点.(1) 求证平面 BDE丄平面 ABCD.(2)求点E到平面 PBC的距离.(3)求二 面角A EB D的平面角大小.解析：10. 如图，

3、已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1 , E、F分别在棱 AB、BC上，G在1 1对角线BD1上，且AE = 4 , BF = 2 , D1G : GB = 1 : 2，求平面 EFG与底面 ABCD所成 的二面角的大小.DiAt11. 如图，设 ABC A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为 AB、A1B1的中点，且 AB = 2AA1 =2a,AC = BC =卞 3 a.(1) 求证：AF丄A1C(2) 求二面角C AF B的大小AAt12.如图 ABCD - AB1C1D1 是长方体，ab=2 AAihADh1，求二平面 AB1C 与 AiB1C1D1所成二面角的大小.E13

4、.在正方体 ABC daibici Di 中,K BBiM CCiBKBB1且4CM =3CC14.求：平面 AKM与ABCD所成角的大小.14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角 C - AD - C .(1) 若二面角C-AD-C是直二面角，求CC的长；(2) 求AC与平面CCD所成的角；(3) 若二面角C -AD-C的平面角为120,求二面角 A-CC-D的平面角的正切值.ACr参考答案解：由已知条件，D是BC的中点 CD =BD =2 又 ADC是正三角形AD =CD =BD =2 D是厶ABC之外心又在 BC上 ABC是以/ BAC为直角的三角形， AB

5、丄AC , 又PC丄面ABC PA丄AB （三垂线定理） / PAC即为二面角 P-AB-C之平面角，易求 / PAC =302、解：T BS =BC，又DE垂直平分 SCBE 丄 SC, SC丄面 BDE BD丄SC,又SA丄面ABCSA 丄 BD, BD 丄面 SACBD丄DE,且BD丄DC则 / EDC就是所要求的平面角设 SA =AB =a ,贝 U BC =SB =2a 且 AC=.3PBDE易证 SAC DEC28:; 5/ CDE = / SAC =60CCECD BCBD4-：? 5RN =tan ZMRNMN 、. 5RNV5M RN = arct an-24.解：过 A作A

6、E丄CB的延长线于 E, 连结DE ,面ABC丄面BCDAE丄面BCDE点即为点A在面BCD内的射影 EBD ABD 在面BCD内的射影设 AB =a则 AE =DE =ABsin60, 6AD =cos _ ABD2sin / ABD =15 2a8BE J a2S ,B D- 3 2a81 .31a _a2 22S.A B D 55.解：设边长为a,易证ANCN是菱形且 MN = 2a ,AC = 3aS amcn =MN -AC a22 2由于AMCN在面ABCD上的射影即为正方形ABCDCC小2S ABCD = a263arccoS63取CC的中点M，连结DM则平行四边形DMCN是四边

7、形AMCN在CCDD上的射影,S DMCMc o s21 2=a21 2 a 二 2,6二 & =arccos66. 解:作 DF 丄 AB 于 F, CE丄 AB 于 E,AC =CD =1/ ABC =30AD= 、2 ,BC = 3 ,AB =2 ,在 Rt ABC 中,ce=QC 13AB同理df=AD宜ABBF 二.BD2 -DF2 =1AECD2 二 CE2 DF2 EF2-2EF DFcoScosC即所求角的大小为arccos三。37、解：由已知条件/ BAC =90 , AB =AC ,设BC的中点设为O,贝U OA =OC = . 3BC = 23DC = BCtan30 =

8、2 .33 = 232 2 AD 2 =AO22 2OC2 CD -2AO CD cos-解之得:COS V 二9、解析：设0是AC , BD的交点，连结 EO./ ABCD是菱形， O是AC、BD的中点，/ E是PA的中点， EO / PC,又PC丄平面 ABCD , EO丄平面ABCD , EO 平面BDE，平面 BDE丄平面ABCD.(2)EO / PC, PC 平面 PBC, EO /平面PBC,于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离. 作OF丄BC于F,/ EO 丄平面 ABCD , EO / PC,面PBC, OF的长等于 O到平面PC 平面 PBC,.平面 PBC丄平

9、面 ABCD PBC的距离.是OF丄平由条件可知，OB = 2 ,OF = 2 x 2 = 4 a,则点E到平面PBC的距离为4 a.过O作OG丄EB于G,连接 AG / OE丄AC , BD丄AC AC丄平面 AG丄EB(三垂线定理)AGO是二面角A EB D的平面角BDEOE OB 、 3.OE = 2 pc= 2 a,OB = 2 a EB = a. OG =EB = 4 a 又 AO = 2 a.AO 22 .3 tan / AGO = OG =3/ AGO = arctan 3评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法, 三垂线定理及逆定理的应用 1

10、0、设G在底面 ABCD上的射影为 H , H BD ,GH GB 2.D1D = D1B = 32GH = 3作HM丄EF于M，连GM，由三垂线定理知 GM丄EF,则/ GMH = 0就是平面 BFG与底GH 面ABCD所成的二面角的平面角，tan0 = HM 下面求HM的值.建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.-2)-01-丄即 4x-6y-1 = 0.由点到直线的距离公式可得| HM | =V2 飞2116 134 1326.134,13tg 0 = 3 11=11, 0 = arctg 11说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.11、分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的

11、度量等知识解 （1） / AC = BC, E 为 AB 中点，.CE丄 AB又 ABC A1B1C1 为直棱柱，. CE丄面 AA1BB连结EF,由于 AB = 2AA1.AA1FE为正方形.AF丄A1E，从而AF丄A1C设AF与A1E交于0,连结 C0,由于 AF丄A1E，知AF丄面CEA1/ COE即为二面角 C AF B的平面角/ AB = 2AA1 = 2a,AC = BC =3 a2a 逅2 a CE =2 a,OE= 2 a,. tan/ COE =2= 2.二面角 CAF B的大小是 arctan2.12、 解析：I 平面ABCD /平面ABIC1。1平面ABIC与平面ABiGU的交线|为过点B1且平行于AC的直线.直线I就是二平面AB1C与ABGD1所成二面角的棱.又aa丄平面AB1。1。1，过A作ah丄I于H琏结AH .则.AA 1为二面角A-A的平面角.可tan ZAHA1 555arcta n n arcta n 求得2 .因此所求角的大小为2或2(1)若 CDC =901DC = DCa14、解析：,* AC=a, 2Ca2AD DC , ad 丄 DC , AD 丄平面 DC C . ACD 为 AC 与”DC、DC=AC.。平面DC C所成的角，在Rt A