第五章条件平差

1、第五章条件平差 第五章第五章 条件平差条件平差 第一节第一节 条件平差原理条件平差原理 2 2 第二节第二节 条件方程条件方程 1616 第三节第三节 精度评定精度评定 3939 第四节第四节 条件平差公式汇编和水准网平差示例条件平差公式汇编和水准网平差示例 第五章条件平差 将将 代入上式，并令代入上式，并令 第一节第一节 条件平差原理条件平差原理 条件方程个数等于多余观测数条件方程个数等于多余观测数rnt，r n,改正数条件方程改正数条件方程不能求得不能求得V 的唯一解，可按最小二乘原理求的唯一解，可按最小二乘原理求V的最或然值，从而求出观测量的最或然的最或然值，从而求出观测量的最或然 值值

2、平差值。平差值。 即在即在r个条件方程的限制下，求目标函数个条件方程的限制下，求目标函数VTPV=min的的V值，在数学中值，在数学中 是求函数的条件极值问题。是求函数的条件极值问题。 当当 的估值为的估值为 ， 的估值为的估值为V时，则有时，则有L L 1 ,r 1 ,r 0 1 ,nn,r OAL A （5-1-1） 0WVA （5-1-2） 随机模型为随机模型为 nn -12 0 nn 2 0 nn PQD （5-1-3） 平差值条件方程平差值条件方程 改正数条件方程改正数条件方程 1 , r 1 , r 0 1 ,nn , r OAL A 0WA 或或 条件平差的函数模：条件平差的函数

3、模： 条件平差函数模型为：条件平差函数模型为： 平差的准则为平差的准则为 VTPV=min (5-1-4) VLL 0 AALW 得得 第五章条件平差 式中式中ai、bi， ，ri(i=1,2,，n)为条件方程系数，为条件方程系数，a0，b0，ro为条件方为条件方 程的常数项，程的常数项， 为平差值。为平差值。 将将 代入上式，得改正数条件方程代入上式，得改正数条件方程 0rL rL rL r 0bL bL bL b 0aL aL aL a 0nn2211 0nn2211 0nn2211 i L iii vLL 0WVbVrVr 0WVbVbVb 0WVaVaVa rnn2211 bnn221

4、1 ann2211 （5-1-6） 式中，式中， 为条件方程的闭合差，或不符值为条件方程的闭合差，或不符值rba w,w,w 0nn2211r 0nn2211b 0nn2211a rLrLrLrW bLbLbLbW aLaLaLaW （5-1-7） 一、一、条件平差原理条件平差原理 设有设有r个平差值线性条件方程个平差值线性条件方程 （5-1-5） 第五章条件平差 令令 n21 n21 n21 rrr bbb aaa A n 2 1 r b a v v v V, W W W W o 0 0 0 n 2 1 n 2 1 r b a A L L L L L L L L 改正数条件方程为改正数条件方

5、程为 0WVA 平差值条件方程为平差值条件方程为0AL A 0 闭合差为闭合差为 0 AALW （5-1-8） （5-1-9） （5-1-10） 按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为 k=(ka，kb，kr)T， 称为联系数向量。称为联系数向量。 组成函数组成函数 )WAV(K2PVV TT 第五章条件平差 )WAV(K2PVV TT 组成函数组成函数 将将对对V求一阶导数，并令其为零，得求一阶导数，并令其为零，得 0AK2pV2 dV d TT 两边转置，得两边转置，得 KAPV T 再用再用P 1左乘上式两端，得改正数 左乘上式两端，得改正数V的

6、计算公式的计算公式改正数方程：改正数方程： KQAKAPV TT1 （5-1-11） 将将n个改正数方程个改正数方程 和和r个条件方程个条件方程 联立求解，就可以求得一组唯一的解：联立求解，就可以求得一组唯一的解：n个改正数和个改正数和r个联系数。个联系数。 0WVA KQAKAPV TT1 合称为条件平差的基础方程。合称为条件平差的基础方程。 KQAKAPV TT1 0WVA 第五章条件平差 解算基础方程时，是先将解算基础方程时，是先将 代入代入 ，得，得 0WKAQAT 令令 T-1 T r ,n n,n n,r r,r aa AAPAQAN （5-1-12） 则有则有 0WKN aa （

7、5-1-13） 称其为联系数法方程，简称法方程。称其为联系数法方程，简称法方程。 法方程系数阵法方程系数阵Naa的秩的秩R（Naa）=R（AQAT）=R（A）=r，即，即Naa是一个是一个r 阶的满秩方阵，且可逆。由此可得联系数阶的满秩方阵，且可逆。由此可得联系数K的唯一解的唯一解 )krkbka( p 1 V ribiai i i 和和 0wk p rr k p rb k p ra 0wk p rb k p bb k p ba 0wk p ra k p ba k p aa r n 1 r i ii n 1 b i ii n 1 a i ii b n 1 r i ii n 1 b i ii n

8、 1 a i ii a n 1 r i ii n 1 b i ii n 1 a i ii （5-1-16） WNK 1 aa （5-1-15） （5-1-17） KQAKAPV TT1 0WVA 当当p为对角阵时，改正数方程和法方程的纯量形式分别为为对角阵时，改正数方程和法方程的纯量形式分别为 第五章条件平差 将法方程解出的联系数将法方程解出的联系数K值代入改正数方程，求出改正数值代入改正数方程，求出改正数V，得平差，得平差 值值 。VLL 设某一问题，其独立观测量的平差值为设某一问题，其独立观测量的平差值为 ，权分别为，权分别为pi， 观测总数为观测总数为n，多余观测数，多余观测数r=3，平

9、差值条件方程和改正数方程分别为，平差值条件方程和改正数方程分别为 )n,2 ,1i (L i 0cL cL cL c 0bL bL bL b 0aL aL aL a 0nn2211 0nn2211 0nn2211 和和 0wvcvcvc 0wvbvbvb 0wvavava cnn2211 bnn2211 ann2211 0nn2211c 0nn2211b 0nn2211a cLcLcLcw bLbLbLbw aLaLaLaw 0 w w w v v v ccc bbb aaa c b a n 2 1 n21 n21 n21 改正数条件方程改正数条件方程 的矩阵表达式为的矩阵表达式为 0wcv

10、0wbv 0wav c b a )wcv(2k)wbv(2k )wav(2kvpvpvp ccbb aa 2 nn 2 22 2 11 组成新函数：组成新函数： K与方程个数相同与方程个数相同 将新函数对各自变量将新函数对各自变量vi 分别取偏导数，并令其等于零，得分别取偏导数，并令其等于零，得 0,k2ck2bk2av2p v c1b1a111 1 0,k2ck2bk2av2p v c2b2a222 2 ， 0,k2ck2bk2av2p v cnbnannn n 第五章条件平差 可得改正数方程组可得改正数方程组 )kckbka( p 1 v )kckbka( p 1 v )kckbka( p

11、 1 v cnbnan n n c2b2a2 2 2 c1b1a1 1 1 代入代入 按按k集项得集项得 0wvcvcvc 0wvbvbvb 0wvavava cnn2211 bnn2211 ann2211 0,k2ck2bk2av2p v cibiaiii i 0w)kckbka( p a )kckbka( p a )kckbka( p a acnbnan n n c2b2a2 2 2 c1b1a1 1 1 0w)kckbka( p b )kckbka( p b )kckbka( p b bcnbnan n n c2b2a2 2 2 c1b1a1 1 1 0w)kckbka( p c )kc

12、kbka( p c )kckbka( p c ccnbnan n n c2b2a2 2 2 c1b1a1 1 1 0w)k p ca p ca p ca ()k p ba p ba p ba ()k p aa p aa p aa ( ac n nn 2 22 1 11 b n nn 2 22 1 11 a n nn 2 22 1 11 0w)k p cb p cb p cb ()k p bb p bb p bb ()k p ba p ba p ba ( bc n nn 2 22 1 11 b n nn 2 22 1 11 a n nn 2 22 1 11 0w)k p cc p cc p cc

13、 ()k p cb p cb p cb ()k p ca p ca p ca ( cc n nn 2 22 1 11 b n nn 2 22 1 11 a n nn 2 22 1 11 第五章条件平差 求出求出V后，再代入后，再代入 ，则求得观测量的平差值。最后，代入平差，则求得观测量的平差值。最后，代入平差 值条件方程进行检验。值条件方程进行检验。 解出解出k后，代入改正数方程，后，代入改正数方程， 将上式写为将上式写为 VLL 0wk p ac k p ab k p aa acba 0wk p bc k p bb k p ab bcba 0wk p cc k p bc k p ac ccb

14、a )kckbka( p 1 v )kckbka( p 1 v )kckbka( p 1 v cnbnan n n c2b2a2 2 2 c1b1a1 1 1 第五章条件平差 0WAV w w w v v v ccc bbb aaa c b a n 2 1 n21 n21 n21 本例中的矩阵法解算：本例中的矩阵法解算： 2、组成法方程、组成法方程 0WKAQAT 0 w w w k k k cba cba cba p00 0p0 00p ccc bbb aaa c b a c b a nnn 222 111 1 n 1 2 1 1 n21 n21 n21 1、列立条件方程、列立条件方程 0

15、w w w k k k cba cba cba p c p c p c p b p b p b p a p a p a c b a c b a nnn 222 111 n n 1 2 1 1 n n 2 2 1 1 n n 2 2 1 1 第五章条件平差 运算完毕后的矩阵为：运算完毕后的矩阵为： 0wk p cc k p bc k p ac 0wk p bc k p bb k p ab 0wk p ac k p ab k p aa ccba bcba acba 0 w w w k k k p cc p bc p ac p bc p bb p ab p ac p ab p aa c b a c

16、b a 4、将、将K值代入值代入KQAKAPV TT1 )kckbka( p 1 V cibiai i i c b a n n n n n n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 c b a nnn 222 111 1 n 1 2 1 1 n 2 1 k k k p c p b p a p c p b p a p c p b p a k k k cba cba cba p00 0p0 00p v v v 5、求出平差值、求出平差值 后，代入平差后，代入平差 值条件方程检验。值条件方程检验。 L WNK 1 aa 3、解出、解出K值值 第五章条件平差 二、按条件平差求平差值的计算步骤

17、及示例二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例 条件平差求平差值的计算步骤为：条件平差求平差值的计算步骤为： 1 1根据平差问题的具体情况，列出根据平差问题的具体情况，列出r r个相互独立的条件方程。个相互独立的条件方程。 2 2根据条件式的系数和闭合差及观测值的权组成法方程，法方程的个根据条件式的系数和闭合差及观测值的权组成法方程，法方程的个 数等于多余观测数数等于多余观测数 r r。 3 3解算法方程，求出联系数解算法方程，求出联系数 K K 值。值。 4 4将将K K代入改正数方程，求出代入改正数方程，求出V V值，并求出平差值值，并求出平差值 。 5 5为了检查平差计算的正确性，将平差值

18、代入平差值条件方程，看其为了检查平差计算的正确性，将平差值代入平差值条件方程，看其 是否满足方程。是否满足方程。 VLL 第五章条件平差 例例5-1 等精度观测了图等精度观测了图5-1中的三个内角，观测值：中的三个内角，观测值： 。048359L,909078L,022142L 321 试按条件平差求三个内角的平差值。试按条件平差求三个内角的平差值。 图图5-1 解：解：n=3,t=2,r=nt=1,其平差值条件方程为其平差值条件方程为0180L L L 321 以以 代入上式得改正数条件方程代入上式得改正数条件方程 iii vLL 0)180LLL(vvv 0180)vL()vL()v(L

19、321321 332211 09vvv 321 09 v v v 111 3 2 1 设各内角的权相等，设各内角的权相等， ，则有，则有P=I ， 1ppp 321 法方程的系数阵为法方程的系数阵为 T-1 aa AAPN 3 1 1 1 100 010 001 111Naa 法方程为法方程为 3k+9=0，k=3。 改正数改正数 3 3 3 )3( 1 1 1 100 010 001 v v v KQAV 3 2 1 T 738359 609078 712142 v v v L L L L L L 3 2 1 3 2 1 3 2 1 0180L L L 321 检验：检验： 第五章条件平差

20、例例5-2 在图在图5-2中，中，A、B为已知水准点，为已知水准点，HA=12.013m,HB=10.013m。可视。可视 为无误差。为确定为无误差。为确定C、D点的高程，共观测了四个高差，点的高程，共观测了四个高差， 高差及路线长如下：高差及路线长如下： h1=1.004m ，S1=2km，h2=1.516m，S2=1km， h3=2.512m，S3=2km，h4=1.520m，S4=1.520km， 求求C和和D点的高程。点的高程。 图图5-2 解：解：n=4,t=2，r=nt=2,可列两个条件方程：可列两个条件方程： 0h h 0HHh h h 42 BA321 将将 iii vhh 代

21、入得代入得 04vv 00vvv 42 321 0 4 0 v v v v 1010 0111 4 3 2 1 令令1km观测高差的权为单位权，即观测高差的权为单位权，即 i i S 1 p 则法方程系数阵为则法方程系数阵为 5 . 21 15 10 01 11 01 1.5-010 0212 10 01 11 01 5 . 1000 0200 0010 0002 1010 0111 AAPN T1 aa 法方程为法方程为 0 4 0 k k 5 . 21 15 b a 即即 045k. 2k 00k5k ba ba 图图5-2 第五章条件平差 则改正数方程为则改正数方程为 V=P 1ATK，

22、即 ，即 mm 61.2 70.0 39.1 70.0 74.1 35.0 5 .10 02 11 02 74.1 35.0 10 01 11 01 5 .1000 0200 0010 0002 v v v v 4 3 2 1 观测量的平差值为：观测量的平差值为： 5174m. 100261.520. 1h 5127m. 20007. 0512. 2h 1.5174m0.00139516. 1h 0047m. 10007. 0oo4. 1h 4 3 2 1 HA=12.013m,HB=10.013m,求得：求得： HC=HA+(1.0047)=11.0083m HD=HB+2.5127=12.

23、5257m 代入平差值方程检验：代入平差值方程检验： 1.0047+1.51742.5127+12.01310.013=0 1.51741.5174=0 WNK 1 aa 解得解得ka=0.35，kb=1.74。 第五章条件平差 5-2 条条 件件 方方 程程 1、水准网（三角高程网）、水准网（三角高程网）确定未知点的最或然高程确定未知点的最或然高程 r=nt ，要相互独立。，要相互独立。 有已知点时，必要观测数有已知点时，必要观测数t=未知点个数。未知点个数。 无无已知点时，必要观测数已知点时，必要观测数t=未知点个数未知点个数1。 r=nt 有固定角时，必要观测数有固定角时，必要观测数 t

24、 = 等于未知方向数。等于未知方向数。 无固定角时，必要观测数无固定角时，必要观测数 t = 等于全部未知方向数等于全部未知方向数1。 r=52=3 r=63=3 一、确定条件方程个数的方法一、确定条件方程个数的方法 2、测站平差、测站平差确定未知方向的最或然方向值确定未知方向的最或然方向值 第五章条件平差 必要的起算数据：一个三角点的坐标必要的起算数据：一个三角点的坐标x、y，一条边长，一条边长S和其方位角和其方位角 ，等价于相，等价于相 邻两三角点的坐标。以此确定三角网在平面坐标系中的位置、大小和方向。邻两三角点的坐标。以此确定三角网在平面坐标系中的位置、大小和方向。 要确定一个未知点，必

25、须观测两个量：两要确定一个未知点，必须观测两个量：两 角、两边、一边一角。角、两边、一边一角。 当三角网中有两个或两个以上已知点时，当三角网中有两个或两个以上已知点时， 必要观测数必要观测数 t = 未知点个数未知点个数2。 在四个必要的起算数据中，一点的坐标和一边的在四个必要的起算数据中，一点的坐标和一边的 方位角可以是已知的，或者是假定的，惟有一条边方位角可以是已知的，或者是假定的，惟有一条边 的边长必须测定。若再确定一个未知点都必须观测两个量。的边长必须测定。若再确定一个未知点都必须观测两个量。 3、三角网（测角、测边和边角同测三角网）、三角网（测角、测边和边角同测三角网） 三角网平差的

26、目的：确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。三角网平差的目的：确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。 当网中没有已知点时：假定一点坐标，假定或测定一方位角，边长必须测定。当网中没有已知点时：假定一点坐标，假定或测定一方位角，边长必须测定。 1）有两个或两个以上已知三角点的三角网）有两个或两个以上已知三角点的三角网 2）少于两个已知点的三角网）少于两个已知点的三角网 第五章条件平差 （1）测角三角网）测角三角网: t=2(z2)=2z4。 左图为测角网，左图为测角网，z=5,n =9，t =254=6，r =3； 若为测边网，若为测边网，z=5,n =7,t=253 =7,r =nt=0；

27、若为边角同测网，若为边角同测网，z=5,n =16,t =7,r = 9。 4、导线测量、导线测量 导线测量平差计算的目的是确定未知导线点的最或然坐标。下图中观测导线测量平差计算的目的是确定未知导线点的最或然坐标。下图中观测 总数总数n =13，必要观测数，必要观测数t =10,r =3。 对于单导线而言，无论未知点个数是多少，其条件方程个数对于单导线而言，无论未知点个数是多少，其条件方程个数 r 总是等于总是等于3。 如果三角网中共有如果三角网中共有z个三角点：个三角点： （2）测边或边角同测三角网：）测边或边角同测三角网：t=2(z2)+1=2z3。 第五章条件平差 列立条件方程的要求：列

28、立条件方程的要求： 条件方程个数要足够，且线性无关，形式要力求简单，非线性时要线性化。条件方程个数要足够，且线性无关，形式要力求简单，非线性时要线性化。 二、测角网条件方程个数及其类型二、测角网条件方程个数及其类型 测角网有三角形、中点多边形、大地四边形三种基本图形。测角网有三角形、中点多边形、大地四边形三种基本图形。 图图5-4中，有一套必要的起算数据，观测了中，有一套必要的起算数据，观测了9个内角，两个未知点，多于观个内角，两个未知点，多于观 测数为测数为5，可列出，可列出5个条件方程。测角网的基本条件方程有三类：个条件方程。测角网的基本条件方程有三类： 1、图形条件（内角和条件）、图形条

29、件（内角和条件） 图形条件是指闭合平面多边形的内角平差值之和应等于其理论值。图图形条件是指闭合平面多边形的内角平差值之和应等于其理论值。图5-4 中有三个图形条件，即中有三个图形条件，即 图图5-4 )3 ,2 ,1i( ,0180 c b a iii 其改正数条件方程为：其改正数条件方程为： 180cbaw,0wvvv 180cbaw,0wvvv 180cbaw,0wvvv 333cccba 222bbcba 111aacba 333 222 111 2、圆周条件（水平条件）、圆周条件（水平条件） 360cccw,0wvvv 0360 c c c 321ddccc 321 321 中心多边形

30、中心多边形 第五章条件平差 3、极条件（边长条件）、极条件（边长条件） 图图5-4 3 3 1 1 2 2 1 1 a sin b sin c sin b sin BA b sin a sin c sin a sin BADC （5-2-7） 此即此即 1 BD CD . CD AD . AD BD 以以D点为极，列出各图形边长比的积为点为极，列出各图形边长比的积为1， 称之为极条件。称之为极条件。 （5-2-8） 1 b sin a sin b sin a sin b sin a sin 3 3 2 2 1 1 或或 在图在图5-4中，满足上述四个条件方程的角值，还不能使几何图形完全闭中，满

31、足上述四个条件方程的角值，还不能使几何图形完全闭 合，即由已知边合，即由已知边AB和上述四个条件方程解算出的平差值计算和上述四个条件方程解算出的平差值计算CD边长时，从边长时，从 两个方向推得的两个结果不同。平差值应满足相应几何图形的要求，即由不两个方向推得的两个结果不同。平差值应满足相应几何图形的要求，即由不 同路线推算得到的同一边长的长度应相等同路线推算得到的同一边长的长度应相等 第五章条件平差 将将 代入（代入（5-2-7）式展开可得）式展开可得 iii ciibiiaii vcc ,vbb ,va a 0 v cotb sinbsinbsinb sinasinasina v cotb

32、sinbsinbsinb sinasinasina v cotb sinbsinbsinb sinasinasina v cota sinbsinbsinb sinasinasina v cota sinbsinbsinb sinasinasina v cota sinbsinbsinb sinasinasina 1 sinbsinbsinb sinasinasina 1 )vb(sin)vb(sin)vb(sin )va(sin)va(sin)va(sin 32 13 21 321 321 b 3 321 321 b 2 321 321 b 1 321 321 a 3 321 321 a 2

33、 321 321 a 1 321 321 321 321 b3b2b1 a3a2a1 等号两边都除以等号两边都除以 321 321 sinbsinbsinb sinasinasina 乘以乘以 化简有化简有 0) sinasinasina sinbsinbsinb 1(vcotb vcotbvcotbvcotavcotavcota 321 321 b3 b2b1a3a2a1 3 21321 (5-2-8) 2 0 0 0 0 0 )XX ( !2 )X(f )XX ( !1 )X(f )X(f)X (f 台劳公式展开：台劳公式展开： 第五章条件平差 图图5-6 例例5-4 在图在图5-6中，中

34、，9个同精度观测值为个同精度观测值为 0.9384127c9,.706228b5,.215423a 2.7302125c4,.628520b8,.450433a 6.0405106c2,.146142b2,.932530a 333 222 111 试列出条件方程。试列出条件方程。 解：解：n=9,t=244=4,r=5,可列三个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。可列三个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。 02 . 3vvv 06 . 0vvv 06 . 1vvv 00 . 1vvv 321 333 222 111 ccc cba cba cba 1 b sin a sin b sin a

35、sin b sin a sin 3 3 2 2 1 1 0) sinasinasina sinbsinbsinb 1(vcotb vcotbvcotbvcotavcotavcota 321 321 b3 b2b1a3a2a1 3 21321 012.3385v. 161v. 210v. 127v. 250v. 167v. 1 321321 bbbaaa 第五章条件平差 例例5-5 图图5-7为一大地四边形，试列出条件方程。为一大地四边形，试列出条件方程。 解：解：n=8,t=244=4,r =84=4,组成三个图形组成三个图形 条件，一个极条件：条件，一个极条件： 0wvvvv 0wvvvv

36、0wvvvv cabab babab ababa 4332 3221 4211 图形条件：图形条件： 极条件列立：假定极条件列立：假定AB边已知，由边已知，由 ABC求求AC长长 图图5-7 O 2 11 a sin )b a (ABsin AC 由由由由 ABD和和由由 ADC求求AC长长 32 331 2 33 b sinb sin )b a (sin a ABsin b sin )b a (ADsin AC 3 1 b sin a ABsin AD 01 b sinb sin)b a (sin )b a (sin a sin a sin 3211 3321 整理为整理为 第五章条件平差

37、01 b sinb sin)b a (sin )b a (sin a sin a sin 3211 3321 0wvcotbvcotb)v)(vbcot(a )v)(vbcot(avcotavcota db3b2ba11 ba33a2a1 3211 3321 ) )sinabsin(asina sinb)sinbbsin(a 1(w 1332 3211 d 整理为：整理为： 0wvcotb)bcot(a)vbcot(avcotb vcota)vbcot(a-)vbcot(a-cota db333a33b2 a2b11a111 332 211 图图5-7 O 线性化后线性化后 第五章条件平差 三

38、、测边网条件方程三、测边网条件方程 在测边网中也分为三角形、大地四边形和中点多边形三种基本图形。在测边网中也分为三角形、大地四边形和中点多边形三种基本图形。 少于一套必要起算数据时，少于一套必要起算数据时， 必要观测数必要观测数t=2(z2)+1=2z3 测边三角形：决定其形状和大小的必要观测为三条边长。测边三角形：决定其形状和大小的必要观测为三条边长。t=323=3， r=nt=33=0，即测边三角形不存在的条件方程。，即测边三角形不存在的条件方程。 测边大地四边形：决定第一个三角形必须观测测边大地四边形：决定第一个三角形必须观测3条边长，决定第二个三条边长，决定第二个三 角形只需要再增加角

39、形只需要再增加2条边长，必须观测条边长，必须观测5条边长，即条边长，即t=243=5，所以，所以r=n t=65=1，存在一个条件方程。，存在一个条件方程。 测边测边中点多边形：例如中点五边形，它由四个独立三角形组成中点多边形：例如中点五边形，它由四个独立三角形组成, t=3+23=263=9，r = nt =109=1,存在一个条件方程。存在一个条件方程。 测边网条件方程的总数等于中点多边形与大地四边形个数之和，条件测边网条件方程的总数等于中点多边形与大地四边形个数之和，条件 的类型一般为图形条件。的类型一般为图形条件。 第五章条件平差 图形条件可用角度闭合法、边长闭合法和面积闭合法等，仅介

40、绍角度闭图形条件可用角度闭合法、边长闭合法和面积闭合法等，仅介绍角度闭 合法。合法。 。 按角度闭合法列出测边网图形条件的基本思想是：利用观测边长求出按角度闭合法列出测边网图形条件的基本思想是：利用观测边长求出 网中的内角，列出角度间应满足的条件，然后，以边长改正数代换角度改网中的内角，列出角度间应满足的条件，然后，以边长改正数代换角度改 正数，得到以边长改正数表示的图形条件。正数，得到以边长改正数表示的图形条件。 图图5-8 1、以角度改正数表示的条件方程、以角度改正数表示的条件方程 在图在图5-8的测边大地四边形中，由观测边长的测边大地四边形中，由观测边长Si (i=1,2,36)精确地算

41、出精确地算出 角值角值j (j=1，2，3)，此时，此时， 平差值条件方程为平差值条件方程为 以角度改正数表示的图形条件为以角度改正数表示的图形条件为 0 321 0wvvv 321 .w 321 （5-2-12） 第五章条件平差 在图在图5-9的测边中点多边形中，以角度改正数表示的圆周条件为：的测边中点多边形中，以角度改正数表示的圆周条件为： 0wvvv 321 .360w o 321 （5-2-13） 图图5-9 上述条件中的角度改正数必须代换成观测值上述条件中的角度改正数必须代换成观测值 （边长）的改正数，才是图形条件的最终形式。（边长）的改正数，才是图形条件的最终形式。 AcosSS2

42、SSS cb 2 c 2 b 2 a AdAsinSS2dS)AcosS2S2(dS)AcosS2S2(dSS2 cbcbcbcbaa 由图由图5-10三角形知三角形知 AsinSS dS)AcosSS(dS)AcosSS(dSS dA cb cbcbcbaa （5-2-14） 全微分全微分 2、角度改正数与边长、角度改正数与边长改正改正数的关系式数的关系式 第五章条件平差 )BdScosCdScosdS( h 1 dA cba a 将微分换成相应的改正数，则得将微分换成相应的改正数，则得角度改正数方程角度改正数方程 )BvcosCvcosv( h v cba sss a A （5-2-16）

43、 角度改正数方程的规律是：任意一角（例如角度改正数方程的规律是：任意一角（例如A角）的改正数等于其对角）的改正数等于其对 边（边（Sa边）的改正数与两个夹边（边）的改正数与两个夹边（Sb ，Cc边）的改正数分别与其邻角余弦边）的改正数分别与其邻角余弦 （Sb边邻角为边邻角为C角，角，Sc边邻角为边邻角为B角）乘积负值之和，再乘以角）乘积负值之和，再乘以为分子，为分子， 以该角至其对边之高（以该角至其对边之高（ha）为分母的分数。）为分母的分数。 ,BcosSAcosSS,CcosSAcosSS abcacb ,hS)2(hSAsinSS aabbcb 倍三角形面积倍三角形面积 （5-2-15）

44、 AsinSS dS)AcosSS(dS)AcosSS(dSS dA cb cbcbcbaa 第五章条件平差 3 3、以边长改正数表示的图形条件方程、以边长改正数表示的图形条件方程 )ACBvcosABCvcosv( h v 215 1 sss 1 )CvDAcosvDACcosv( h v 326 2 sss 2 )BvDAcosvDABcosv( h v 314 3 sss 3 式中式中h1、h2及及h3分别是从分别是从A点向点向 i角对边所作的高。角对边所作的高。 将上列三式代入将上列三式代入 即得四边形的以边长改正数表示的图形条件：即得四边形的以边长改正数表示的图形条件： ,0wv h

45、 v h v h v ) h ADCcos h ADBcos ( v ) h ACDcos h ACBcos (v ) h ABCcos h ABDcos ( 6543 2 1 1 s 2 s 1 s 3 s 23 s 2 s 13 （5-2-17） 0wvvv 321 .w 321 按上述规律，测边大地四边形角按上述规律，测边大地四边形角1、2及及3的角度改正数方程为的角度改正数方程为 第五章条件平差 图图5-9中中心多边形角中中心多边形角1、2及及3的角度改正数方程分别为的角度改正数方程分别为 )vDABcosABvDcosv( h v 541 1 sss 1 )CBvDcosBCvDco

46、sv( h v 6 52 sss 2 2 )vDACcosACvDcosv( h v 643 3 sss 3 式中式中h1、h2及及h3分别是从分别是从D点向角对边所作的高。将上列三式代入点向角对边所作的高。将上列三式代入 ， ， 即得四边形的以边长改正数表示的图形条件：即得四边形的以边长改正数表示的图形条件： .360w o 321 （5-2-18） 0wvvv 321 0wv ) h DCAcos h DCBcos (v ) h DBCcos h DBAcos ( v ) h DACcos h DABcos (v h v h v h 65 4321 s 32 s 21 s 31 s 3 s

47、 2 s 1 第五章条件平差 （1）边长改正数、系数与闭合差的单位）边长改正数、系数与闭合差的单位 一般取边长改正数的单位为一般取边长改正数的单位为cm，高，高h的单位为的单位为km，取取2.062，而闭，而闭 合差的单位为（合差的单位为（）。）。 ,Sp r 2 C tg, SP r 2 B tg, Sp r 2 A tg ba ,2/ )SSS(p cba p )Sp)(Sp)(Sp( r cba AsinSBsinSh AsinSCsinSh BsinSCsinSh bac cab cba （5-2-19） （5-2-20） )vDABcosABvDcosv( h v 541 1 sss

48、 1 （2）角度与三角形高的计算角度与三角形高的计算 （角度也可按余弦定理计算）（角度也可按余弦定理计算） 4、图形条件系数和闭合差的单位以及角度与三角形高的计算、图形条件系数和闭合差的单位以及角度与三角形高的计算 第五章条件平差 1、边角网（角度全测）的条件方程边角网（角度全测）的条件方程 在边角网的条件方程中，测角网中的图形条件、圆周条件和极条件，以在边角网的条件方程中，测角网中的图形条件、圆周条件和极条件，以 及观测角和观测边的平差值应满足的正弦条件或余弦条件。在图及观测角和观测边的平差值应满足的正弦条件或余弦条件。在图5-加加1的边的边 角网中的九个条件方程（角网中的九个条件方程（t

49、=2(z2)+1=5,r =9），有三个图形条件和一个极），有三个图形条件和一个极 条件，五个边与角之间的正弦条件方程。条件，五个边与角之间的正弦条件方程。 正弦条件：平差图形中观测角和观测边的平差值应满足正弦定理。正弦条件：平差图形中观测角和观测边的平差值应满足正弦定理。 在图在图5-加加2中，应列一个图形条件和两个正弦条件（中，应列一个图形条件和两个正弦条件（t =3,r =3)。 图图5-加加1 图图5-加加2 四、边角网条件方程（增加内容）四、边角网条件方程（增加内容） 第五章条件平差 图图5-加加2 0180 c b a b sin a sin S S b a c sin a sin

50、 S S c a 图图5-加加2中，中，n=6,t=263=3,r=3，一个图形条件，两个正弦条件，即，一个图形条件，两个正弦条件，即 正弦条件的线性化（正弦条件的线性化（真数和对数两种形式）真数和对数两种形式）： 例如，将上述第二式按真数形式线性化例如，将上述第二式按真数形式线性化 0 a sinS b sinS ba 按台劳公式展开至一次项，考虑按台劳公式展开至一次项，考虑 ba sbbsaa vbb ,va a ,vSS ,vSS ba 0w v cosS v acosSavsinbvsin b a a bss ba asinSbsinSw ba （5-2-加加1） 式中式中 计算时，边

51、长改正数计算时，边长改正数va和和vb以秒为单位，边长以以秒为单位，边长以 公里为单位，公里为单位，则取则取2.062，闭合差，闭合差 其单位是厘米。其单位是厘米。 5 ba 10)asinSbsinS(w 公公里里公公里里 第五章条件平差 图图5-加加3 在图在图5-加加3中，观测了三条边和一个内角，可列一个余弦条件，即由三中，观测了三条边和一个内角，可列一个余弦条件，即由三 条边的平差值求出的条边的平差值求出的A角的值角的值 ，应与，应与A角平差值角平差值 相等，即相等，即 式中式中 是由三边观测值求得的角值，是由三边观测值求得的角值， 是是 的的 改正数，它是由于边长有改正数而引起的，它

52、们之间的关系应为改正数，它是由于边长有改正数而引起的，它们之间的关系应为： 。而而 v,v v )vBcosvCcosv( h v cba sss 1 a 余弦条件为余弦条件为 vv 即即 0wvvBcos h vCcos h v h cba s a s a s a w （5-2-加加2） 式中式中 系数中的系数中的b和和c角可按正弦定理求出，高角可按正弦定理求出，高ha可按可按 ，va及及w以秒为单位，以秒为单位， 以厘米为单位，以厘米为单位，ha以公里为单位，以公里为单位， 则则 。 ba ss vv 、 062. 2 BsinSCsinSh cba 2、部分测角的边角网、部分测角的边角网

53、 第五章条件平差 0jhjk （5-2-21） 或或 0 )vX()vX( )vY()vY( arctan )vX()vX( )vY()vY( arctan 0 xjxh yjyh xjxk yjyk jk jk jk jk （5-2-22） 图图5-11 设有数字化坐标观测值设有数字化坐标观测值 ，如图，如图5-11所示，所示， 坐标平差值为坐标平差值为 ， 0为应有值，为应有值，如果两直线垂直，如果两直线垂直， 0=90或或270，如果，如果h、j、k三点在同一直线上，则三点在同一直线上，则 0=180，故有条件方程，故有条件方程 yx vXY ,vXX )Y,X( j, )Y,X(k,

54、)Y,X(h jjkkhh 数字化是数字化仪或扫描仪对地面点坐标数字化得出的坐标值，数字化是数字化仪或扫描仪对地面点坐标数字化得出的坐标值， 该坐标值是仪器机械坐标系统的坐标，经坐标变换得到地面坐标系统该坐标值是仪器机械坐标系统的坐标，经坐标变换得到地面坐标系统 的坐标值。的坐标值。 五、以坐标为观测值的条件方程五、以坐标为观测值的条件方程 1、直角与直线型的条件方程、直角与直线型的条件方程 第五章条件平差 0 )vX()vX( )vY()vY( arctan )vX()vX( )vY()vY( arctan 0 xjxh yjyh xjxk yjyk jk jk jk jk 式中左端第一项为

55、式中左端第一项为 )vX()vX( )vY()vY( arctan jk jk xjxk yjyk jk ，按台劳公式展开，按台劳公式展开 ，得，得 kkjj y 0 k jk x 0 k jk y 0 j jk x 0 j jk jk jk jk v Y v X v Y v X XX YY arctan （5-2-23） 令令 jk jk 0 jk XX YY arctan kkjj y 0 k jk x 0 k jk y 0 j jk x 0 j jk jk v Y v X v Y v X 有有 jk 0 jkjk 20 jk 0 jk 2 jk 2 jk jk 0 j jk )S( Y

56、)YY()XX( YY X 20 jk 0 jk 0 j jk )S( X Y 20 jk 0 jk 0 k jk )S( Y X ， 20 jk 0 jk 0 k jk )S( X Y ， （5-2-24） 第五章条件平差 将上列结果代入将上列结果代入(5-2-23），并考虑单位的一致，得），并考虑单位的一致，得 kkjj y 20 jk 0 jk x 20 jk 0 jk y 20 jk 0 jk x 20 jk 0 jk 0 jkjk v )S( X v )S( Y v )S( X v )S( Y 同理可得同理可得 hhjj y 20 jh 0 jh x 20 jh 0 jh y 20

57、jh 0 jh x 20 jh 0 jh 0 jhjh v )S( X v )S( Y v )S( X v )S( Y （5-2-25） （5-2-26） 将将（5-2-25）、）、 （5-2-26）两式代入（）两式代入（5-2-21)式，即得条件方程为式，即得条件方程为 0wv )S( X v )S( Y v )S( Y v )S( Y v )S( X )S( X v )S( Y )S( Y hh kkjj y 20 jh 0 jh x 20 jh 0 jh y 20 jk 0 jk x 20 jk 0 jk y 20 jh 0 jh 20 jk 0 jk x 20 jh 0 jh 20 j

58、k 0 jk （5-2-27） 0 0 jh 0 jk w （5-2-28） 第五章条件平差 数字化所得两点间距离应与已知值相符合，为此组成的条件方程称为数字化所得两点间距离应与已知值相符合，为此组成的条件方程称为 距离型条件方程。距离型条件方程。 设点设点 与点与点 之间的距离已知为之间的距离已知为S0，则其条件方程为，则其条件方程为)Y ,X ( jj )Y ,X ( kk 0 2 1 2 jk 2 jk S)X X ()Y Y ( 将数字化坐标观测值及其改正数代入，并用台劳公式展开取至一次项，条件将数字化坐标观测值及其改正数代入，并用台劳公式展开取至一次项，条件 方程方程 0wv S Y

59、 v S X v S Y v S X Sy 0 jk 0 jk x 0 jk 0 jk y 0 jk 0 jk x 0 jk 0 jk kkjj 式中式中 0 2 1 2 jk 2 jk0 0 jkS S)XX()YY(SSw （5-2-30） （5-2-29） 2、距离型的条件方程、距离型的条件方程 第五章条件平差 设观测值的函数为设观测值的函数为 G = FT L 则按协方差传播律可得则按协方差传播律可得 可见为求得可见为求得G的方差估值，需要估计单位权方差和计算的方差估值，需要估计单位权方差和计算G的协因数阵。的协因数阵。 5-3 精精 度度 评评 定定 评定测量成果的精度：一是评定观测

60、值的实际精度；评定测量成果的精度：一是评定观测值的实际精度； 二是评定平差值函数的精度。二是评定平差值函数的精度。 12 0 2 0L PQDD （5-3-1） 条件平差求得改正数条件平差求得改正数V和平差值和平差值 ，还可计算，还可计算 的任何数的任何数 ， 等都是观测值等都是观测值L的函数。的函数。 L L L f T L V、 GG 2 0 T2 0G QQFFD （5-3-2） 设观测值向量设观测值向量L的方差为的方差为 由先验方差由先验方差D定权参与平差。评定精度是评定观测值的实际精度，当定权参与平差。评定精度是评定观测值的实际精度，当Q 已知，对单位权方差已知，对单位权方差 作出估