基本不等式知识点归纳

1、基本不等式知识点总结向不等式：a-baba + b【注意】：a、b 同向或有6 O | 云+fe|=|a| + |Z?| a-b=a-b-, a、乙反向或有0 O ab|=|a| + |&| 2 |可一|万|冃万+万|； a、b 不共线 o |H| |Z?|HZ?|jH| + |Z?|.（l 些和实数集中类似） 代数不等式：同号或有0 o|仇+b|=|a| + |Z?|a|-|fe|=|a-fe|；a上异号或有0 oa-ba + b|a|-|Z?|=|a+Z?|.绝对值不等式：|勺+2+43底01| +如+ |a -b |-Z?| Oj；取等）双向不等式：間一问土旳W同+问（左边当ab W 0

2、（M 0）时取得等号，右边当abM 0（W 0）时取得等号.）放缩不等式:,小“b-mbbna b0, ain0,则b0,加0,糖水的浓度问题). a a + m丄”冃, 八cc mi b b +tn , a + n【拓展】：a b0, m 0, n 0,则一v1 a a + m. n+ b d b b+d d()ci、byC w R 9 9 n| v ；a c J a a + c cnw N. , y/n + l-yjn = 1, 0),ex 2x+l (xw R).函数 fx) = ax+-(a.xb0）图象及性质(1)函数 f(x) = ax+- x（。、b0）图象如图:(2)函数 f(

3、x) = ax+- x（、b0）性质:值域：（-8厂2屁U2屁,*o）；单调递增区间：（YO,+00）；单调递减区间：（o.0).基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：0上/?二亍+戾三2必(当且仅当a = b时取到一a + b、 一 a+b，,.4 + b、，a2+b2. x【变形】：abW()W(当a = b时，()= ab)2 2 2 2【注意】：ycib(a,be R) ab W (“;)w R)2、均值不等式：(当且仅当a = b时取“=”)两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系, 即“平方平均M算术平均M几何平均$调和平均”11 a+b2a +

4、 b若 x0,若 xvO,则x+丄A2 (古且仅当x = 1肘取“=”); x则x+丄2x+-2x+-0,+(古且仅当d = b时取=丿b a若abO , Jilj + 2即纟+ 22或纟+纟 3abc （a+b+co等式即可成立，a = Z? = cWr+b+c = a甘取等）；a + b+c,a + b + c,a+b+cy/abc W = abc W （）3 W333水不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当ab0时，a2+b22ab 同时除以 ab 得- + 2 或2-11一：.a b abS,b,均为正数，-2a-bb“ i Q+b，. ,/Q + b、r /d + b

5、、, , a + b八种变式： ab ； ab（ ）-； 3（ ）_ 2 2 2 224 4Aa + b0,则 2a-b-. a0,b0,则一+ - ；ba b a+b若 a0,b0 侧（丄+ 2）0； 若 obHO，则-4+-ir 丄（丄+ 2）。a b aba b lab上述八个不等式中等号成立的条件都是“a = b”。最值定理（积定和最小） 兀,y0,由x+y2 2J石，若积xy = P（定值），则当x=y时和x+y有最小值2五;（和定积最大） 0,由x+y2 2J石，若和x+y = S（定值），则当x= y是积马有最大值s2. 【推广】：己知x,y&R,则有（x+ y）2 = （x-y

6、）2 + 2xy.（1）若积马是定值，则当|x-y |最大时，|x+y|最大；当x-y最小时，|x+y|最小. 若和x+y是定值，则当x-y最大时,|与|最小；当x-y最小时，|今|最大.1 1-+- 己知a,x,b,yeR+,若ax+by = lf则有则*的最小值为：axi3 a + b + 2yjab =11by=ax + by)( + ) = a + b + +word则x + y和卩的最小值为:x+y =+) = a+b + + a+b+2lab =(需 +靠,xy2lab,xyAab x应用基本不等式求最值的“八种变形技巧凑系数（乘、除变量系数）例1当0兀4时，求函的数y = x（8

7、2x）最大值.凑项（加、减常数项）：例2.已知x-,求函数/（x） = 4x-2 + 的最大值.44x5+ 7x4-10X+1变用公式：基本不等式字n婉 有几个常用变形,a + b2调整分子：例3.求函数/（X）= :（X丰-1）的值域；口兰丫（上2尸不易想到，应重视；2 2例4.求函数y = J5HT + 5二东 %b0,求y = a2+t 16 ,的最小值； b（a-b）对数变换：例6.已知x|,y 1,且xy = e ,求t = （2x）b的最大值;（7）三角变换：例7.己知0 VyWxV彳，且tanx = 3tany,求t = x-y的最大值； 常数代换（逆用条件）：例&已知。0上0,

8、且d + = l,求/=丄+ 2的最小值.a b“单调性”补了 “基本不等式”的漏洞：平方和为定值若 x2 + y2 = a （a为定值，aHO）,可设 x = J7cosa,y = Jsina,其中 0 Wa V2;r. （jv, y） = x + y = /a siii a 4-血 cos a = y/2a sin（a + 兰）在0,-,-兀,2龙）上是444增函数，在-，上是减函数；441 1357 g（A,刃= xy = -asin2o在0,-龙,一龙,一龙,一龙,2龙）上是增函数，在2 44 441357盘一刃,盘一刃上是减函数；4 444/11 x+y sin a + cos a

9、./兀、 w?(x, y) = + =.令 f = sin a + cos a = J2a sm(a + ),x y xyJa sin a cos a4其中 t g -/2, -1) U (-1,1) U (1,5/2 . i r2 = 1+2 sin a cos 6Z,得 2sinacosa = F-l,从而 /n(x,刃=在-/2,-l)U(-1,1) U (1,、/才上是减函数. 皿-1)屁和为定值若x+y = b (b 为定值，bO),则 y = b-x. g(x,刃=Q = -X +加在(-，上是增函数，在p+0时，在(co,0),(0,上是减函数，在x y xy -x +bx2*,

10、b),(b,*o)上是增函数：当b,上是减函数，在,+)上是增函数；积为定值若xy = c (c为定值，cHO),则y =-.x y) = x+y = x+- 当 c0 时，在一J7,O),(O,JF上是减函数，在 x(-00,-&,&,+00)上是增函数；当CVO时，在(YO,0),(0,KX)上是增函数；m(x,y)=丄 + 丄=22_ = 1(x+=).当c0时，在一&,0),(0,&上是减函数， x y xy c x在(00,-/c,7c,+00)上是增函数；当CVO时，在(-8,0),(0,+8)上是减函数： n(x,刃=F + y，=界 + 二=(x+ ) -2c 在(一8,-孙,(0,&上是减函数，在 Xx(一&,0,+oo)上是增函数.倒数和为定值若丄+丄=纟(d为定值，丄二,丄)，则y = -.成等差数列且均不为零，可设公 x y ax d yxrill 1111 dd则一=万一乙一 =丁+乙得乳=厂，y =厂x a y d1-dzl + dzQ J11/(x) = x+y = 一.当 d0 时，在(-oo,-),(-,0 是减函数，在i-dzdd0，W，g)上是增函数；当d VO时在(y, W，0上是增函数在 a aaa0,(一)上减函数；d a12y) = xy = .当do时，在(y,-；)