微积分复习资料 微积分公式运算法则

1、微积分综合复习资料精品文档16一、填空题卩 +ln X,1、设 f(x)1 lx，X0,X c0，则f（X）的定义域1,f(-) =e2、曲线y = X2 +eX在点（0,1 ）处的切线方程是边际成本为3、设产量为Q时的成本为C =Q2 +10,则产量Q = 2时的平均成本lx2 +1 1吒1设 f(x),，则 f(1)=_ f(0) =_f(2 AX 1,1 x 3,6、曲线y=xlnx在点（1，0）处的法线方程是：f f (x)dx =x3 +C,则 J f (x)dx =8、设f（X）=，贝y f（x）的定义域X -1曲线y =亠的水平渐近线为1 +x，铅直渐近线为,f(x + 1) =

2、设需求函数为 Q =50-5P, P =2时的边际收益为A10、设f(x) = + Jx -兀，则f (x)的定义域1 +x11、曲线y =x4 +1在点（1,2）处的切线方程是12、设需求函数P =10-Q,则销售量Q =2时的边际收益为2二、选择题1、下列函数中的奇函数是（a）f （X）= X2 +sin x, 0,1)(b) f(X)=x2,x (-=c,+oc)(c)f(x) =XC0SX, X 忘(-1,1)(d) f(X)=tan(1 +x2), x 忘(=,址) 2、下列级数中绝对收敛的是（处4(吒(4)n= e2x3、下列算式中不正确的是（） (a)(xsin x) = sin

3、 x 中 xcosx (b)(e2x)2(c)d(x +；i)=2xdx(d) ln (1 +x) dx1 + x4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是()2 2(a) f(X)=x +sin x, x 引1,1(b) f (x) = x , x(-=c, +c)(c)f(X)=xcosx, X 气1,1)(d)2f(x) =log4(1 +x ), X忘(Y，咼)15、若 J(4x3-k)dx=0，则 k=0(a) -1(b) 1 (c) 0 (d) 26下列算式中不正确的是(a)(x In X) = 2xln x + x(b)(sin 2x) = 2cos 2x2(c)d(x + 兀)=xd

4、x7、下列函数对中是偶函数的是(d)Al n(1+x2)=吕dx1 +x( )(a) f (x) - Vx34丄 2X + X(b) f(X)= cosx1 + X(c) f(X)= X +sin x(d) f(X)= X + X28 f(x)Hkx 2kx2X 1(c)2(d)1(a) 4(b)39、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是(X +11g(c) lim X sinx xcx +sin X(d)职X-Xe e址eX +e一10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是(2 2(a) f(x) =x ,x0,1(b)f(x) =x ,xr = ,址)1(汕戸1)(d) fgXr13x

5、 kX 兰 111、f(x) = -,在x=1 处连续，则 k=()Ix+k x1(a) 0(b)1(c)2(d)312、下列算式中不正确的是( ) 唸Eed(忖 f(x)dx=f(x)1d 22d(c) f(sinx)dx=sin x +C (d)fcostdt =cosx 、dxdx x三、判断题1、已知 f(x -1) = X1 2 +1,则 f(X) = X2 +2x +2 ()2、如果极限lim f (x)存在，则函数f (x)在点a连续()xT3、已知边际收益函数为R( P)=2p，则总收益函数为R(p) = p2()4、函数f(x) =sin(2x+1)是周期函数，也是有界函数(

6、)5、如果函数f (x)在点a的导数存在，则f (x)在点a连续。反过来也成立()6、HzC 1d广义积分JEx是收敛的，无穷级数三乔子也是收敛的()7、设L(Q) = R(Q)-C(Q)是某种产品的利润函数，则保本产量是使得利润为零的产量水平)设 f(x) =x3，则对任意的实数 a， f (a +h)-f(a)=3a2 +o(h)()9、如果在区间(a,b)上函数f 7t) :0 ,贝U函数f (t)在(a,b)上是下凸函数，但是导函数f 的单调性不能确定()10、曲线 汁亠既有水平渐近线，也有垂直渐近线(1 -x11、设f(x) =(x2 -a2)g(x)，并且g(x)在点a的连续，则f

7、 (x)在点a可导()112、设 f (ex) =1 +e2x, f(0) =1,则 f(x) =x+ e2x (2四、计算下列各题y =x2 -cos(x2 +x) +ln 兀,求 dy ,dy。 dx1、2、把函数f(X)=x2e/展开成x的幕级数。2、4、.3yd+x+x,求 dx3。e计算 fxln xdx。15、5、函数 z=1+eXT+x2y2，求空,z7、X2 1dy =xln(1 +x2) + X +兀,求丄，dy。1 +xdx求函数x2cos2x的幕级数展开式。9、X设 g(x) =x2 - Jtddt,求g(x)的极值。01兀 、dy10、 y =xsinx+ex+cos

8、,求,dy。3 dx0 111、求幕级数送一（x+1）n的收敛区间。心n2212、设 g(x) =e2x Jg(x)dx,求 fg(x)dx.00五、解下列各题1、已知曲线y = f（x）上任意一点的切线的斜率为eX+ 2008X2007，且曲线过点（0, 1），求这 条曲线的方程。2、求由曲线y =厶，直线x=1和X轴所围成的在x31的范围内的平面图形的面积和该平面图X形绕X轴旋转一周所形成的旋转体的体积。3、知曲线y = f（x）上任意一点的切线的斜率为4x3+s in X，且曲线过点（0，1），求这条曲线 的方程。4、5、求由直线y =x2,y =x,所围成的平面有界图形D的面积和D绕x

9、轴旋转一周所得旋转体的 体积。已知某公司生产某种产品的总利润 L （单位：元）与每天产量Q （单位：t）的函数关系为L =250Q-5Q2,求每天生产多少才能使利润最大？最大利润是多少？在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变多少?6 求由直线y =0和曲线y =sinx, x引0,2兀所围成的平面图形的面积及该图形绕 x轴旋转一 周所得旋转体的体积。参考答案:一、填空题+1 nx, x0,I11、设 f(X)= 1，则 f (x)的定义域(_oc,0) . (0, Xc) , f (一)=_0.LX,x0-2、曲线y=x2+ex在点（0, 1 ）处的切线方程是y=x +1.3

10、、设产量为Q时的成本为C =q2 +10,则产量Q = 2时的平均成本dCC = 7边际成本为=4dQlx2 +1 1 x V； 2、X； 3V； 4、“； 5、X。四、& c7、b8、 b 9、b 10、d 11、b;6；7；8；9、X； 10； 11；12、计算下列各题1、解:22dyy =x -cos(x +x)+ln 兀，求 一,dy。dxy，=(x2 cos(x2 +x) +ln 吟，=2x +(2x+ 1)sinx2 +x)；2dy =2 X+(2 X+1)sin( x + x)dx2、把函数f（x）=x2e展开成x的幕级数。解:f（X）=x2e=x2d2)nn=0n!）=Z 士八

11、（亠严） nd n!e3、计算 Jxln xdx。1解:2x fx ln xdx = Jln xd (一) 1 1 22x .=In x2e e2x,e 丄 1-f- dx = +11 2444、y =2x3 +x2 +3x,求。dx解:5、y =(2x3 +x2 +3x)，=6x2 +2x+3 川卅2， y”=(6x2 +2x+3)=12x+2 川山4 y%12 川 IU5把函数f(x)=丄展开成(x-1)的幕级数。2 X解:f(x)= 1_(x_1)-1 x -1 c1,= 0 x 2HilH5(x-1)nMIInT6、函数z=1+eX为+x2y2，求竺,22.dy by解、空二ex* +

12、2x2yi| 川 3列2g =exJ2x2 川川 57、y =xln(1 +x2) +x T + 兀,求 d,dy。 dx1 +x解:21 + x22 2X2dy =(l n(1 +x2)+1)dxiHIH61 +xy = l n(1+x2) +壬+1 川 11)58、求函数x2 cos2x的幕级数展开式。解：x2cos2x=xWink 川川5- X吒址川川6x9、设 g(x) =x212、设 g(x) =e2x - Jg(x)dx,求 Jg(x)dx.00 - Jtddt,求g (x)的极值。03解：g(x) = x(2 -ex) =0,得 Xi =0, X2 =ln2X 巳一比,0), g

13、(x) 0,g(x)是递减 函数， x (0,ln 2), g ( x 0, g( x)是递 增函数，X亡(In 2, +处),g(x) c0, g(x)是递减函数。所以，x =0是函数的极小值点，极小值为g(0) =0; x=ln2是函数的极大值。5ln20=ln22-2ln 2+3川出62ln 2 t2t t极大值为 g(ln 2) = ln2 2 - 0 tddt = ln2 2 -(tet -et)1 ,-兀、dy10、 y =xsinx+eX+cos ,求,dy。3 dx, 1 - ,/ =sinx+ xcosx -pexHHH5 解：x 11 1dy =(sinx+xcosx- e

14、%)川卄|6x处111、求幕级数送一(x+1)n的收敛区间。n吕n处1解：令t =x+1，考察级数s -12tn的收敛区间。心n1I = lim (n B = lim -一2 =1,R=1HHIi3, F 丄r( n+1)22nt =T,t =1处级数分别是收敛的级数2丄川1卄4心 n 心n处1因此，级数2 -1rtn的收敛区间为-1,1，原级数S三(x+1)n的收敛区间为-2,0川11116心n2222 2解：对等式 g(x) =e2x 一 Jg(x)dx 两边积分得 fg(x)d = fe2xd f fg(x)dxdx，0000 02Q4_12即 Jg(x)dx_2 Jg(x)dx川川40

15、 2 02e4 _10g(X)d“川川6五、解下列各题1、 已知曲线y = f（x）上任意一点的切线的斜率为ex+ 2008X2007，且曲线过点（0，1），求这 条曲线的方程。解：f（X）= ex + 2OO8x2007 川11W=f（X）= J（ex +2008x2007）dx =ex +x2008 +4川|131=f （0） =1 +C= C =0 川 IM4二 f（x） =eX+x2008 川川5X31的范围内的平面图形的面积和该平面图12、求由曲线y =，直线x=1和X轴所围成的在X形绕X轴旋转一周所形成的旋转体的体积。比1_1解：面积A = f dx =1 XXPC“I川31cTT

16、-1111(15133、已知曲线y 线的方程。=f（X）上任意一点的切线的斜率为4x+s in X,且曲线过点（0, 1）,求这条曲f (X)=4x3 +sinx|l川|1=f(x) = J(4x3 +si nx)dxHil|2解、=x4 -cosx + Cll川 141 = f (0)= C =2, f(x) =x4 -cosx+2卅山 6*4、求由直线y =x2,y =x,所围成的平面有界图形D的面积和D绕X轴旋转一周所得旋转体的体积。解、体积V =仏（X2 -x4）dx =至|1川|5 0155、已知某公司生产某种产品的总利润 L （单位：元）与每天产量Q （单位：t）的函数关系为L =250Q-5Q2,求每天生产多少才能使利润最大？最大利润是多少？在最大利润生产规模生产量基础上再多生产一个单位，利润改变多少?解：L=250 -10Q =0= Q =25, L”= 10 cOHIlia因此，产量规模为