几何模型：一线三等角模型

1、一线三等角模型“三垂直”,等，以下称为“一线三等角”。一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型, 上构成的相似图形，这个角可以是直角, 不同的称呼，“K形图”，二一线三等角的分类 全等篇指的是有三个等角的顶点在同一条直线 也可以是锐角或钝角。不同地区对此有 “弦图”锐角同侧异侧相似篇锐角同侧异侧的性质3-1，由/1 = / 2=7 3,三、“一线三等角”1. 一般情况下，如图2当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 易得 AE3A BDE.如图 3-1，若 CE=ED 则厶 AE3A BDE.AVABOCff构造模型解题在图3-4造“一线三等角如图3- 4如图3-3，当/仁/ 2且

2、 BOC 904“中点型一线三等角“的变式（了解）中点时， BD0A CFSA DFE.阳3-13.中点型“一线三等角”如图3-2，当/仁/ 2=7 3,且 D是BC3-3图 3“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，190BAC这是内心的性质，反之未必是内心.2（右图）中，如果延长 BE与CF，交于点P，则点D是厶PEF的旁心-BAC时，点0是厶ABC的内心.可以考虑构25.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明）图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进

3、 行解题四、“一线三等角”的应用1.“一线三等角”应用的三种情况.a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角 或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题2. 在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的 张角问题，在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造 线三等角解决问题更是重要的手段3. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似在DC的延长銭上截取CE= ,CD的延怅:規

4、上藪取DF= 贝ImZAEP= t3nZPFB= t3MJJZAEP= ZPFH= a= ZAPR ,所 1APAlw ABPF .在CP上蔵取CE= , 1 DP蒙取DF=,则 tmZAEC= tanZBFD=taDGiWlZAEC= ZBFD= a= ZA?BiPAEiBPF 坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线I的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了 “量化”的需 要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不 容易掌握解题示范例

5、1如图所示，一次函数 y x 4与坐标轴分别交于 A、B两点，点P是线段AB上一个动点（不包括 A、B两端点），C是线段0B上一点，/ OPC=45 若OPC是等腰 三角形，求点P的坐标例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，/ C=90 / ABD= / DBC=22.5 AE 丄BC 于 E,/ ADE=67.5 AB=6,贝U CE=.例 3 如图，四边形 ABCD 中，/ABC= / BAD=90 ,Z ACD=45 , AB=3 , AD=5.求 BC 的长.x-3例 4 如图， ABC 中，/BAC=45 , AD 丄 BC , BD=2 , CD=3,求 AD 的长.一线三等角，

6、补形最重要，内构勤思考，外构更精妙找出相似形,比例不能少巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例 5 如图，在ABC 中，/ BAC=135 , AC= . 2 AB, AD丄 AC 交 BC 于点 D,若 AD =2 ,求ZABC的面积当然有45或135。等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种4在直角三角形ABC, ZC=90 .Z沪30 J04, D为XC的中点若“DEF为止三角形，求CF的长.大练身手:】.如團，A4占7 中，tan厶6 = = 90 , AD = 2

7、, 5C = 4 .求的比EnZ如图* 彳RQ中，zJ= 45* f AC 4,求24的周比C5 如图.在RtABC中，ZACB-30Q 场平分ZCAB.若ZCDB-60。, CA二価 求应）的长.巧、/ 6如图在等腰宜角三角形中.ZBAO909 D为仙 上一鼠连接Cd P为CD上一民 ZBFD二45，若CP=6, MCD的面积为18,则线段D的长为&如樹，仙C 中.ZBAO909 肋=2 血点 D 悝 BC 边上.BCJiCD, DE 丄 PC LL DE = DC DE交AC边与点F. EF=V5,则/IC的长为9 如图，任平向岂角坐标条中.点4（4.0，点（0.2歼 点C在第一欽限内，若

8、AMC为等边三角形，则点C的坐标为10矩形ABCD坐标系的位置如图所示，点*（2届,0）点C（0 5）,反比例浙敬的图像交边血、BC T D. E 两点且ZDOE 45*，则匕.11 如用.点线 24交坐标轴与不两点交双曲线y-(x0)于点G点P在点CAT的右侧的双曲线匕ZPBC=45 则点P的坐标为.12.在MBC中，AB = 2l2.ZB = 45%以点4为直角顶点作寻腰直角/是斜边的中点.E为BC上动点,DF丄4E于点F, 连接DE.若ADEF是等腰頁角三角形.求DE的长度.14在ABC中.Z=45a , ZC=30 ,点D足BC上一点.连接 Q过点4作4G丄应在4G上取点氏 连接F延长

9、IM至民 使AE=AF.连接EG. DG, H. GE=DF.(1) 若 AB = 142 AB=2.求 BC 的长；(2) tHlRJb 当点 G 在 AC时，求证I BD-CGx2(3) 如用2,当点G在ACM直平分线上时，直接写出笔的值.x例7:在平面直角坐标系中，已知点A (1 , 0), B ( 0, 3), C (-3, 0), D是线段AB上一点，CD交 y轴于 E，且 Sbce= 2Saob.(1) 求直线AB的解析式；(2) 求点D的坐标，猜想线段 CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；(3) 若F为射线CD上一点，且/ DBF= 45求点F的坐标.x例8如图，直线

10、y= x+ 2与y轴交于点C,与抛物线y= ax2交于A、B两点(A在B的左侧)， BC= 2AC,点P是抛物线上一点.(1) 求抛物线的函数表达式；(2) 若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；(3) 若点P在直线AB的上方，且/ BPC= 45求所有满足条件的点 P的坐标.练1 如图，抛物线的顶点为 C (- 1 , - 1),且经过点A、点B和坐标原点0,点B的横坐 标为3.(1) 求抛物线的解析式；(2) 若点D为抛物线上的一点，且 B0D的面积等于 B0C的面积，请直接写出点 D的坐 标；(3) 若点E的坐标为(0, 2),点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P,

11、使得/ OPE =45若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.课后作业：如图，点 A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点，若/ APB=45 ，求点P的坐标在四边形 ABCD 中，/ ABC= / BAD=90 ，/ ACD=45 , AB=3,AD=4,求 AC 的长.如图，正方形 ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上， EFG为等边三角形，求证:BE+GC= 3 BC如图， ABC : DBA,且 AC= 2 BC,求证：CD=2AB.如图，在四边形 ABCD中，/ ABC= 90 AB= 3, BC= 4, CD= 10 , DA= 55，求 BD

12、 的长如图，点A是反比例（X 0）图形上一点，点 B是X轴正半轴上一点，点 C的坐标为（0, 2）,点厶ABC是等边三角形时，求点 A的坐标.掀物线y = * 牡门与坐标轴交于水R、C三点.点尸隹撫物钱上.PE丄RU于点& 若PE=2CE.求尸点坐拆-如图，抛物线y= ax2 + bx+ 4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,17直线I： y =-2X+ m经过点A,与抛物线交于另一点 D (5,-)，点P是直线I上方的抛 物线上的动点，连接 PC PD.(1) 求抛物线的解析式；(2) 当厶PCD为直角三角形时，求点 P的坐标；(3) 设厶PCD的面积为S,请你探究：使 S的值为整数的点 P共有几个，说明理由.42221如图1,已知直线y=kx与抛物缎27 X3 交于点A（3，6）.（1）求直线y=kx的解析式和线段 OA的长度；（2）点P为抛物线第一象限内的动点 ，过点P作直线PM,交x轴于点M （点M、0不重合）,交直线0A于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究：线 段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；（3）如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段0A上（与点0、A不重 合），点D （ m , 0）是x轴