划归思想在三角函数中的应用论文-大学数学毕业论文范文模板参考资料

1、1.引言所谓的化归思想方法。一般总是将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题；复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；化归思想是解决问题的常见思想方法。 化归的基本原则是：生疏化为熟悉，复杂化为简单，抽象化为直观，模糊化为明朗。总之，化归思想的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决；在解决三角函数时，对难度较大不易直接观察出它们之间的关系时，常采用化归思想方法，找到过渡元素，将复杂的问题转化为条件及熟悉的公式、定理等已知的问题，便可迎面而解；掌握数学思想方法，它可以增强解题的

2、能力，拓展思维模式，训练解题技巧；在学数学中，化归不仅仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略。总之，化归在数学解题中几乎无处不在。2.文献综述2.1国内外研究现状李明振老师对化归思想不仅仅是一种“工具”或者方法，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想1. 薛金星老师是对高中数学如何应用化归思想方法解题及其技巧文献2. 潘勇老师主要讲述化归思想方法与教学结合,如何让学生更好的学习应用化归思想文献5. 刘俊老师对化归在思想方法在三角函数解题中如何采用巧妙的转化从而来实现解答的文献6.陈家骏，傅佑珊阐述了几种有关三角函数的重要研究性题型,其中,化归思想体现非常重要文献8.人民教育出版社中学

3、数学室编著普通高中课程标准实验教科书数学必修4对三角函数的概念、公式转换、性质及其图像进行了系统讲述文献9.张环老师从三角函数的周期性，辅助角公式的作用，内角的正切与余切的关系式是什么？怎样使用？在三角变换中，如何使用“1”？来阐述化归思想及解题应用文献13.车新发老师在解三角形的过程中，如何灵和使用三角函数相关诱导公式，到达求解、求证的目的，其中隐含许多化归思想文献14.欧阳维诚老师主要阐述了三角问题可以用代数或几何方法来解而许多几何问题又可以用代数或三角方法来解，它们之间相互转换、相互渗透文献15.2.2国内外研究现状的评价在所查阅的国内外参考文献中，对化归思想在三角函数中的应用有不同程度

4、的研究将化归思想在三角函数中的应用作为一个重要的部分来从不同角度、不同侧面进行研究与探讨在诸多文献的研究中都体现了这样一个观点：传统的数学思想方法中，化归思想不是单一讲述的,而是穿插在其它的思想方法中,没有很好的得到体现而现在的化归思想能单独作为一个模块，讲述化归的重要思想方法和解题技巧紧密相连,使难度较大的题型通过化归得以很轻松的解决2.3 问题提出化归思想方法贯穿中学解题的每个角落,但在单一应用于某一块解题中还需要大量的积累与归纳总结,让此种思想淋漓尽致的体现在相关的题型中;通过查阅许多的国内外文献,化归思想在三角函数中的应用还需改进,使它在解题中变得更加鲜明,同时教师可以结合教学方法去研

5、究学生如何把握、理解化归思想方法在三角函数中的具体应用.难易a（化归对象）b（化归目的）3.解决化归问题的基本思维程序： b（得到解决）还原a（得出结果）（化归途径） 注释：把问题a通过一定的手段进行转化，归结为问题b，而问题b是相对容易解决的问题或已知固定的解决思维的问题，且通过问题b的解决，搭建桥梁，从而使问题a得以解决。4.化归思想在三角函数中应用非常普遍，下面从以下几方面及相关的例题探讨化归思想方法在高中三角函数中的应用.4.1 建立化归桥梁，使已知量与未知量联系起来.建立化归桥梁就是在问题的接入点之间建立通道，创造条件达到化归的目的，其形式有：取过渡元素，在几何上可以添加辅助线后建立

6、预备定理或建立引理，但架设桥梁的关键在于恰当、合理，能够起到过渡作用。例1.在分析：判断的形状，可以通过所给条件的形式,它们是边与角的关系，那么解题的切入点就是把边化归统一为角或是把角化为边，即可解答.解1：把条件都化为有关角的关系式.由正弦定理可得：: 当解2：把条件都化为有关边的关系式.由条件,得 令，由正弦定理可得：是等腰三角形或直角三角形.评注:判断三角形的形状的问题也叫“定形”问题，通常是根据正弦定理和余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的式子，再化简成考查边或角的关系式，进而确定三角形的形状。在化简中要注意公因式不能随便约掉，否则可能漏泄。另外，还要注意等腰三角形、直角三角

7、形与等腰直角三形的区别。例2.化简分析：本题可以从变角、变名、变形、变幂入手，即化异角为同角，化异次为同次，配方变形等手段使问题得以解决。解法一：从“角”入手，复角化单角原式=解法二：从“名”入手，异名化同名原式= =解法三：从“形”入手，采用配方法。原式= =评注：化归与转化的思想普遍应用于三角函数式的化简、求值和证明中。例3.已知向量求的最大值.分析：欲求向量|模长的最大值，则可以化归为一元二次函数求最值问题，也可以转化为一个三角函数值的问题。解： 评注：将转化为三角函数，从而使问题转化为求三角函数的最值，体现了化归的思想。小结：在建立化归桥梁时，找到已知量与未知量的联系，是很关键的，而此

8、关系往往需要寻找一个过渡元素，这个元素可以是一个字母、一个代数式、一个定理等，建立已知与未知的通道，问题就很明朗了。4.2转化思维角度，让已知量与未知量相结合.某些问题的解决按常规思维难以凑效时，考虑从另一个角度来研究，会产生“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的效果。思维角度的转化主要包括：代数到三角、几何；数到形；正化反；动到静；特殊到一般；抽象到具体。转化的关键是：寻找转化契机，创造转化条件。此问题可以化归为求f(200k),k为末尾数字且k为自然数时的一般情况。当 k=2n-1,nn时，(200k)=-1。当k=2n,nn时，(200k)=1。再如，求函数的最大值和最小值。可令,则，点(

9、）它表示单位圆的点，于是的最大值和最小值就是共点于（2,2）的直线系的斜率k的最大值和最小值，显然直线与圆相切时斜率取得最大值和最小值，由：评注：此问题是将最值问题划归为直线与圆相切的问题解决。小结：上述例题中，如果化简之后难以求解时，需要换个角度思考，把代数问题转化为平面几何问题，把已知条件中的式子化简后与求解问题作对比，找到它们之间的差别，再通过配凑、化归为已知化简的结论上来解决。4.3整体分析化归.将一个式子视为一个整体，从而给问题带来转化，可获得奇妙的整体效果，整体分析主要包括：整体代入和整体处理，其关键在于产生或寻找能给问题带来转化的整体，即换元解决问题，显得简洁、明朗，这就是整体代

10、入所产生的效应。由已知条件与韦达定理联系可知联系和角公式有：观察所求式子：是二次齐次式，又由上式即可化为：评注：上题体现了整体分析化归思想，通过整体使较为繁琐的问题简单化、明朗化,从而达到求解的目的。小结：从结论出发，分析已知与未知之间的关系，如果所求的未知量中包含了已知量中的某一部分，则需要通过整体代换，化归已知量，代入所求式子能轻松解题。4.4 归纳特殊向一般转化：观察个体变化，总结规律，化归到一般情况.例如：两个点等分单位圆时，有相应正确的关系如下：；三个点等分单位圆时，有相应正确的关系如下：；四个点等分单位圆时，有相应正确的关系如下：。由此可推知：五个点等分单位圆时，相应正确关系为_。

11、n个点等分单位圆时，相应正确关系为_。小结：在上述的例题中，存在着某一变化元素时，找到它们的变化规律和周期，化归到一般，便可以得到结论。4.5 解形如的函数有关化归方法.此类问题是通过降幂拓角，先整理为的形式，再化为形如：的形式去解决有关问题。如求已知函数求：的最小值及取得最小值时的集合。的单调递增区间。的图像怎么由得图像平移而得到解析：原可化为，所以当由得，即函数上是单调递增。由得，把函数图像上个点的横坐标先向左平移个单位，再把个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）再把图像上个点向上平移2个单位（纵坐标不变）就得到函数的图像。小结：在解决这类三角函数时，首先要把角统一，最终化为的形式4.6

12、将结论中的未知角化归为条件中的已知角.例1、（2008年天津卷）已知.（）求的值；（）求的值.分析：在对三角函数公式熟悉的前提下，根据所求的三角函数的角化归为与已知三角函数值的角的关系，即，将所求的角用已知的角关系代换，最后利用差角公式和诱导公式求解问题，这是一种常见的基本类型，整体思想的运用。解：（）因为，所以，于是（）因为，故所以例2、已知求的值分析：本解的解法是将目标中的角化归为已知角的余弦来解，当然本题还有其它解法，比如也可以从条件进行转化出发来解将结论中的未知角化归为条件中的已知角时，要用到整体思想，注意观察不同角之间的相互转化，千万不要化简为繁解：可先将目标进行化简，=，下面分别求

13、，运用诱导公式=又，再次运用诱导公式与倍角公式， 评注：上述题型，由于是一个范围角，不能具体求解出其值，那么看好条件与问题的相关角，将所求的解转化为条件的已知问题，便很容易得以解决。小结：通过观察分析所求式子形式，可以把所求解得式子利用诱导公式、倍半角公式、和角公式等，化为已知条件的形式，将条件中的值代入化归式子中即可得解。4.7将求角化归为求三角函数值.例1.（2008年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于a，b两点，已知a，b的横坐标分别为。（1） 求的值； （2） 求的值。分析：先由已知条件得，第（1）问求的值，运用正切的和角公式；第（2）

14、问求的值，求角化归为求出的值，再根据范围确定角的值。解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，因故，从而同理可得 ，因此.所以=;（2）,从而由 得 .例2.已知是方程的两根，且 （ ）a b. c. 或 d. 评析：在这类将求（证）角的问题化归为求三角函数值的问题后，一定要考虑到角的取值范围，即三角函数的定义域，否则容易产生增根错解：由韦达定理求得则因为所以 选（ c ）， 解析：上述错解原因是没有考虑到由得到这两个隐含条件 ，因为这时 正确答案为选（ b ） 小结：在一个单位圆中，只要知道某一个角的终边落在单位圆的某个位置，知道该点的横坐标或是纵坐标，便间接告诉了它的正弦值或是余弦值；而在

15、求某几个角相加的和角大小时，则可以转化为求三角函数的值，在应用反三角函数得出和角。 4.8化多角的形式为少角的形式.例:在锐角abc中,若，.求证:.分析:本题题设条件中有6个字母而求证中只有3个字母,因此,解题的过程实上就是把6个字母化归为3个字母的过程.证明:由得所以,所以,所以.把已知条件代入转化为的关系得:为求需两边同除以得:用,，代换可得:.即.评注：上题通过隐含三角形的内角和这一条件，根据已知条件各角的关系，找到小结：此类题型包含许多角，但从所证明的结论出发，涉及到的只是其中的某几个角时，需要抓住隐含条件，通过化归来解决。4.9将三角函数类型化归为基本三角函数或形如的形式,结合图像

16、分析性质.分析近几年的高考试题，此种类型的题目无论在选择题，填空题，解答题，出现的频率非常之高，有关三角函数的定义域与值域问题，最值问题，单调性,周期性等性质的研究，通常借助化归思想，如：化高次为低次或化归成（设）等结合考察，借助于此函数的性质研究所求函数的性质。下面通过高考试题揭示此种类型题目的本质。例1:（2008天津卷）已知函数的最小正周期是（）求的值；（）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合评析：本小题主要考查将函数化归为结合高次化归低次，特殊角三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力（）解：由题意可知： 由题设，函数的最小正周期是，可

17、得，所以（）由（）知，当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为评注：本题不仅需要把函数高次化低次，还需要注意观察化归时，所研究的角必须统一，否则很难得出结论，反而以结论背离而行。例2、（2009年山东理科卷）设函数(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.（2）设a,b,c为abc的三个内角，若b=，且c为锐角，求a评析：本题主要考查三角函数中化归思想，高次化低次结合两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.解:（1）(x)=cos(2+)+sin.=所以函数的最大值为,最小正周期. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）=,所以, 因为

18、c为锐角,所以,又因为在abc 中,=,所以,所以w评注：高次化低次，统一角度是本题的关键；利用三角函数的性质图像和三角关系解答。小结：三角函数中，往往需要化高次为低次，最终转化为的形式，结合三角函数图像性质解决，可以一目了然。5.部分三角函数的最值问题可化归为二次函数最值问题、有几何意义的最值问题.化归既可以用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法和技术，从微观上解决多种具体问题。例1、（2008年四川卷）求函数的最大值与最小值。评析：此题重点考察三角函数的基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，复合函数中间变量的范

19、围是关键；最后利用化归思想转换为二次函数的最值问题，问题得到解决。解：由于函数在中的最大值为最小值为故当时取得最大值，当时取得最小值评注：解决高次三角函数时，需要高次变低次，第一可以化归为一次三角函数，再根据三角函数图像性质来解决；其次化归为一元二次函数解决。例2、（2008年辽宁卷）设，则函数的最小值为 解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。此时将函数化归为有几何意义的函数，利用已有的知识可以解决，取的左半圆,作图易知 答案：评注：化归统一，分式的形式一般可以化为几何意义来解答。小结：把三角函数转化为二次函数求最值，是比较常用的方法，但在化归的过程中需要注意化为二次函数时，首先要定义自变量

20、的取值范围，再根据二次函数相关性质，才能准确的求解出问题结果。6. 总结.从以上这些例子，可以看出化归思想在解题中的彼此密切联系,这是表现形式有所侧重,总的来说,化归就是将未知问题转化为已知问题,把陌生的问题转化为熟悉的问题、把繁琐的问题转化为简单的问题。而这里的化归，不是无目的的活动，它是问题的内部结构和相互之间的联系，是决定处理这一问题的方式、方法。化归思想方法充分提示问题间的内部联系、分析问题、创造条件、实现转化是化归的关键。从一个侧面体现化归思想方法在中学数学解题中的重要地位。利用化归思想解题时，转化的途径和方法不一定相同，但有一个共同的规律，就是在待解决的问题和已解问题之间架起一个联

21、系的桥梁，这就是知识之间的“关系键”，这就要求我们在学习数学的过程中，要不断地构建知识结构，形成知识网络，要领悟蕴含在数学内容之中的数学思想方法这些都是提高数学解题能力的条件和基础。其实，归思想在三角函数中的应用，无处不存在数学中的等量转化，亦体现了化归的思想方法。如解题中常用的代数式的各种恒等变形，几何量的等量转移，包括等比代换、等积代换，以及几何图形的各种变换，都是实现等量转移的具体手段。在解综合题时，由于有些条件比较隐蔽，或所给的条件比较分散，或是所求的结论比较复杂，我们就更需要熟练运用化归的思想，把问题转化为我们比较熟悉的问题，从而较快的找到解题思路。数学思想是数学的灵魂，在数学教学过

22、程中，一部分老师往往忽略渗透数学思想，从某种意义上讲，我们怎样学习，用什么样的数学思想远比我们学习什么更重要，所以在以后教育教学的过程中，要多多注意体现其中的数学思想。7.主要发现与启示通过查阅大量有关化归思想在三角函数中的应用的专著、期刊、论文等，化归思想在解决三角函数的过程之中尤为重要；在数学思想的指导下解题，思想非常清晰，容易让人们理解题目中一些抽象的表达，化归思想方法就是数学中常用的一种方法，而三角函数中比较复杂、繁琐、抽象的问题使用化归思想方法就变得非常明朗了。8.局限性由于个人的能力、时间、经历有限，所研究的化归思想方法尤为单一，仅局限于三角函数的解题应用上；其实，化归思想无处不在，它还体现在数学学科中代数、几何、函数等方面，甚至对其它学科的发展起到重要的指导性。9