高数—12暑—02—不等式的性质及一元二次不等式—韦娇龙-教师版

1、专业 引领 共成长高三数学暑假班（教师版）教师日期学生课程编号课型课题不等式性质及一元二次不等式教学目标1理解不等式的性质和判断不等式关系，并能加以证明；2掌握比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路和表示；3理解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关联。教学重点1. 理解并掌握不等式的基本性质，能够灵活运用不等式的基本性质判断命题的真假或证明命题；2. 对含参数不等式恒成立问题形成初步的思路，为后期的综合运用打好基础；3. 掌握解含参数的一元二次不等式，会进行分类。教学安排版块时长1例题解析502巩固训练403师生总结104课后练习20高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （

2、 教师版）1 / 39专业 引领 共成长知识梳理、不等式的基本性质1、不等式的基本性质（ 1）不等式的基本性质 1 如果 a b,b c，那么 a c ，此性质称为不等式的 传递性（ 2）不等式的基本性质 2如果 a b，那么 a c b c ，此性质称为不等式的 加法性质（ 3）不等式的基本性质 3乘法性质如果 a b,c 0，那么 ac bc ，如果 a b,c 0，那么 ac bc .此性质称为不等式的2、其他性质4）ab，cdac b d （同向相加性） ；5）ab0，cd0 ac bd （同向相乘性，特别注意符号限制，需满足正号）6）ab0，n* N*an bn （可乘方性，特别注意

3、符号限制，需满足正号）7）ab0，n* N*na nb （可开方性，特别注意符号限制，需满足正号）8）ab0011（可倒性，特别注意符号性质，需满足正号）ab3、不等式的证明方法：1. 比较法其步骤是：（1）求差比较法 要证 a b，只需证 a b 0 ；要证 a b ，只需证 a b 0 作差 变形 判断（与零比较） 高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）2/ 39高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）3/ 39专业 引领 共成长aa（ 2）求商比较法 要证 a b，而b 0，只需证1；要证 a b，而 b 0，只需证1其bb 步骤是：作商（除式分母大于零

4、） 变形 判断（与 1 比较）2. 综合法 利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种 由因导果的证明方法叫做综合法3. 分析法 肯定待证的不等式成立，逆推到与已知条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总 是前者的充分条件这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法元二次不等式1. 什么是一元二次不等式？ 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式不等式，其一般形式是：ax2 bx c 0或 ax2 bx c 02. 怎样解一元二次不等式？2在研究一元二次不等式的情况时， 我们只要研究 ax2 bx c （0 a 0） 的解的情况。 教材

5、中是从2因式分解的角度求 ax2 bx c （0a 0） 的解集，还可以用配方法以及考察2ax2 bx c 0（a 0） 函数图形的方法来解不等式000二次函数y ax 2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx c ( a 0 )的图 象一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根有两 相 异实 根 x1 , x2 ( x1 x2)有两相等实根 bx1 x21 2 2a无实根ax2 bx c 0 (a 0)的解集xx x1或 x x2bxx2aRax2 bx c 0 (a 0)的解集xx1 x x2专业引领共成长1、不等式的性质【例 1】判断下列各题是否正确？正

6、确的打“” ，错误的打“”（1）不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ ）（2）如果 ab，那么 32a32b.（ ）（3）如果 a是有理数，那么 8a 5a（ ）22（4）如果 ab，那么 a2 a.（ ）22（6）如果 ab，那么 a c2b c2.（ ）（7）如果 x8，那么 x8.（ ）（8）若 ab，则 acb c（ ）【难度】【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）当 c0时， ac2 bc2 ；（7） 由不等式的基本性质 3应有 x0,又 bc ad 0,得 ac 0a c ac若以（ 1） （3）为条件，（2）为结论，则由 ac 0 ，在不等式 b d 两边同乘 a

7、c，得到 bcad， ac所以该命题成立（3）若以（ 2）（3）为条件，（1）为结论，则在不等式两边同乘1 ，即得 b d ，所以该命题是真命ac a c题。高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （教师版）4/ 39专业 引领 共成长1例 3】已知 a b ， aab 1同时成立，则 ab 应满足的条件是 b难度】答案】 ab0或ab-111解析】解： (a ) (b )ab(a b)(ab 1)ab由ab知 (ab 1)ab0，从而 ab(ab 1) 0， ab 0 或ab1。11【例 4】设 a和 b都是非零实数，求不等式 a b 和 同时成立的充要条件ab【难度】1 11 1【答案

8、】解：先求 a b ，同时成立的必要条件，即当 a b ， 同时成立时， a 与 b 应a ba b具备什么条件a b,a b 0,由 1 1 ，得 b a0.a b ab由 a bba0 可知 b a 0 ，再由 0 知 ab0 ，即 a 与 b 异号，因此 a0 b 是不等ab式ab 与 11同时成立的必要条件ab再求 ab，11同时成立的充分条件ab事实上，当a110 b 时，必有 a b，且 1 0, 10 ，因而 11成立从而a 0 b 是不abab等式a b ，11同时成立的充分条件ab因此，两个不等式a b ，11同时成立的充要条件是 a 0 bab例 5】若1ab2，则3ab

9、的取值范围是难度】答案】( 5,4)例 6】已知 1 x y 1,1 x y 3 ，求 3x y 的取值范围。 难度】答案】 1,7高三数学暑假课程 不等式性质及一元二次不等式 ( 教师版)5/ 39专业 引领 共成长解析】解： 3x y 1*( x y) 2*( x y)根据已知条件： 1 1*2 3x y 1 2*3,1 3x y 7所以 3x y 的取值范围是 1,7例 7】已知 a b c ，且 a0，求 c 的取值范围。 a答案】(-2，-2解析】解：由已知条件，显然0,cQ b c,a 2c a b0,Q a0, caQ a b,2a c a b0,c2a,Q0,综上所述c 的取值

10、范围是 a2，例 8】已知函数 f (x)2axbx(a0)满足1f ( 1)2，f (1)5，求 f ( 3)的取值范围。难度】 答案】12,27解析】解：由习已知得：ab2,2 a设：f ( 3) 9a 3bm(a b)n(a b)n9n3f ( 3) 6* f ( 1)3*f(1),12f ( 3)27所以 f ( 3) 的取值范围是12,27例 9】设x 3 ,5 y8 ，求 x的取值范围 .高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式(教师版)6/ 39例 10】设 ab 0 c d， nN* ，比较nnc 与 d 的大小 ab专业 引领 共成长【答案】 5y88y 5 ，由不等式的可

11、加性得：7 x y 25 y 81111x，由不等式的可乘性得：3.8y58y5难度】11答案】因为 已知 a, b是互不相等的正数，求证：a2b2 1 0 ba1d1 0， d c，所以 d abn当 n 为偶数时， dbnn c ；当 n 为奇数时， d ab11】（ 1）设R，比较x3 8x与 5x24的大小；2）1； b3）已知 a b 0，求证： aabb abba 难度】答案】（ 1）提示：作差比较； （ 2）作差比较； （ 3）作商比较例 12】已知 a、b、c 是ABC的三边，S 是其面积，试比较 c2 a2b2 4ab 与 4 3S 的大小难度】答案】略例 13】已知 xy,

12、 xy 1 ，试比较x2 y2 与 xy的大小难度】答案】（作差法）(x2y2) (x y)(x y)(x y1） ，因为 x yxy0， x y 1高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）7/ 39专业 引领 共成长所以 （x2y2)(x y)0 ，即 x22y x y.作商法）2y2 x xyy 1 ，又y x y 0，所以x2 y2 x y例 14】已知 a 0,b0 ，且 a b1，求证： 2a 1 2b 1 2 2 难度】 答案】分析法或综合法例 15】已知 0 a 2， 0 b 2，c 2 ，求证： a 2b ,bc ,c 2 a 不可能都大于 1.难度】 答案】反

13、证法巩固训练】1若 a 0，则下列不等关系错误的是（A a 57aC.5 a 57难度】答案】 D2实数 a、 b满足 b a1ab 其中正确的个数为（ A. 3 个 B. 2a2 1 abC. 1abD. 0a b 则下列命题成立的是1a2bab 2 C1ab24对于实数 a,b,c 中，给出下列命题：高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式（教师版）8/ 39答案】（3）（4）（5）对于命题（ 1）， c0 时错误；对于命题（ 2）， a4,b 3 时错误；对于命题（ 6），当 a 1,b2 时， b 无意义 .6若 11 ，则下面各式中恒成立的是（）专业 引领 共成长若ab,则ac 2

14、 bc 2； 若 ac2bc2,则ab；若ab220,则 a2 ab b2 ；若ab 0, 则 11ab若ab0,则b a ； ab 若 ab 0,则 ab；若cab 0, 则 a b ； 若 ab,1 1 ，则 a 0,b 0c a c b a b其中正确的命题是 难度】答案】5下列命题中正确的有 _（填序号）（1） ac bc a b；（2）2 ab2 a b ；（3）a2 b2 ab；11（4） a b 0 ；（5）ab a b（6）a b abab【难度】（ A） 20（ B） 2（ C） 10（ D） 1难度】答案】 A7 已知 , ，则 的取值范围是 ， 2 的取值范围 22是【难

15、度】3【答案】 , , 3 ,02 2 2高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）9/ 39专业 引领 共成长8 已知 4a c 1, 1 4a c 5 ，求 9a c 的取值范围 .答案】设 9axc x(a c) y(4a c) ，则有4y，解得：8353所以易得： 19a c 20.9若二次函数f (x) 图像关于y 轴对称，且 1f (1)2，f (2)4 ，求f (3) 的范围。难度】14 答案】 143f (3) 9解析】解：设f(x) ax2c(a0)。f(1)f(2)acf (2) f (1)4a c34f (1) f (2)f (3)9ac 3f (2)3f

16、(1)4f (1)3f (2)8f(2)5f (1)31f (1)2，3 f(2) 4，55f(1) 10， 248f (2)32， 148f (2)5f (1) 27，1438f(2) 5f (1)149，即 134 f(3)9。10若 0 2a 1， A 12a，2B 1 a2 ，C11a11 ，则 A、B、C、D 之间的大小 1a关系是【难度】答案】 D A B C11已知R ， a 2 sincos ， b22 sin cos，则 a与 b的大小关系答案】 a b高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 ( 教师版)10 / 39专业 引领 共成长12 a a 1与 a 2 a 3

17、的大小关系是【难度】【答案】 a a 1 a 2 a 32、一元二次不等式例 16】不等式 6 x 2x2 0 的解集是 （Ax| 3 x 22Cx|x3或x22难度】答案】D例 17】设集合 M = x0 x 2 ， N=Ax0 x 1B x0 x 2难度】答案】B2 x10例 18】不等式组的解集是（2x3x 0Ax 1x 1Cx0x13B x| 2 x 323Dx|x 2或x 22x x2 2x 30 ，则有 M N()C x 0 x 1D x 0 x 2)Bx 0 x Dx1x 0所以方程 x2 5x 0 的两个实数根为： x1 0，x2 5函数 y x2 5x 的简图为：因而不等式

18、x2 5x0的解集是 . x 0 x5方法二：高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式（教师版）13 / 39专业 引领 共成长因为 x2 5x0 x(x 5)0 或 x0x 50x0x0解得 或，即 0x5 或 x.x5因而不等式 x2 5x0 的解集是 x 0x0 .因为 0，方程 x2 -4 x+5=0无实数解，高三数学暑假课程 不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）14 / 39专业 引领 共成长函数 y x2-4x+5的简图为：所以不等式 -x2+4x-50 的解集是所以原不等式的解集是 .方法二： -x2+4x-5=-(x-2)-1 -10；(2)3x26x20(3)4x2 4

19、x1 0 ；(4)2 x2x30 .难度】答案：见解析】解析】解： （1）方法一：因为2( 3)2 4 2( 2)2250 2x2 3x 2=021方程 2x2 3x 2=0 的两个实数根为： x1，x2 22函数 y 2x2 3x 2 的简图为：高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）15 / 39专业 引领 共成长1x x 2233，x2因而不等式 2x2 3x 20 的解集是：方法二：原不等式等价于 （2x 1）（x 2）01 原不等式的解集是： x x 222）整理，原式可化为 3x2 6x 20,2方程 3x2 6x 2=0 的解 x1 1 函数 y 3x2 6x 2

20、 的简图为：所以不等式的解集是 （13 ，1 3）.333）方法一：高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）16 / 3921 方程 4x2 4x 1 0 有两个相等的实根： x1 x2，2 由函数 y 4x2 4x 1的图象为：原不等式的的解集是 .2方法二： 原不等式等价于： （2x 1）2 0,原不等式的的解集是4）方法一：因为 0，方程 x2 2x 3 0 无实数解，2由函数 y x2 2x 3 的简图为：原不等式的解集是方法高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）17 / 39专业 引领 共成长x2 2x 3 (x 1)2 2 20， 原不等式解集为

21、.例 21】解不等式： 6 x2 x 6 6难度】 答案：见解析】 解析】解：原不等式可化为不等式组x 120 ，即 (x 4)(x 3)0x 0 x(x 1) 022x2 x 66 ，即 x26 x2 x 6x2原不等式的解集为x 3x 0或1 x4例 22】不等式 ax2 bx 2 0 的解集为x 1 x 2 ，求a与b的值难度】 答案：见解析】解析】解法一：设 ax2 bx 2bx1 x2a 由题意：2x1 x2aa 1 ， b1，此时满足 a解法二：构造解集为0 的两根为 x1 ， x2 ，由韦达定理得：b12a212a20 ，b2 4a ( 2) 0x 1 x 2 的一元二次不等式：

22、2(x 1)(x 2) 0 ，即 x2 x 20 ，此不等式与原不等式2ax2 bx 2 0 应为同解不等式，故需满足： a b 2a 1， b 11121例 23】已知一个一元二次不等式的解集为 x|- 1 x3.221) 若关于 x的一元二次不等式为 ax2 bx 3 0，求 a、 b 的值。2) 若 关 于 x 的 一 元 二 次 不 等 式 为 ax2 bx c 0 ， 求 关 于 x 的 一 元 二 次 不 等 式2cx2 bx a 0 的解集。难度】 答案：见解析】 解析】解：高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 ( 教师版)18 / 39专业 引领 共成长(1) 因 为 一

23、 元 二 次 不 等 式 为 ax2 bx 3 0 的 解 集 是x|- 1x 3，2所以a 0, 且 方 程2ax2 bx 3=0 的两个实根是- 2和3，所以 3a1+321.32(2)因为一元二次不等式2axbx c 0的解集是 x|- 1 x25a232a ,所以，不等式2cx2 bx a 0 可转换为因为a0,所以 32x+5 x-1 0，2使得不等式cx2bx例 24】已知不等式 ax2 bx c0 的解集是cx 2 bxa 0 的解集3，所以121.32,且 a0 恒成立的条件是 （ ）2A m2B m2C m2 D 0m2【难度】【答案】 D3已知关于 x 的不等式 ax2 b

24、xc 0的解集为x-1则不等式2-32cx bx a0 为 ( )A.2x3B -3x-2C - x-1D11 x2-332【难度】【答案】 A4若 ax2 bx 10 的解集为 x1 x02）2x2 2x 305 x24x难度】10 1 答案】（1） （2，130 1，12）；2) ( 5， 1)高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）21 / 39专业 引领 共成长7解下列不等式或不等式组。2(1) x2 4x 4 02(3) x2 8 4x22x2 3x 1 0(5) 212x2 17x 6 01 2 1(2) x2x 1 0322(4)1 x2 5x 7 35x2 6

25、4x(6) 2x2 2x 8 0难度】答案】（1）-2（4） （1,2） U （3,4）（2）3 57 3 ( , U457 ,4)（3）5）1 2 3 (1,2U3,1)2 3 4（6）x2,428若不等式 2x2 ax b 0 的解集为 （,1) (3,） ，求 a,b 值难度】答案】由题意可知： 不等式 2x2 axb 0 可变为 2(x 1)(x 3)0 ，展开后，即得： a8,b 6.9若 ax2 bx c 0 的解集是x|x2或x1，求关于 x 的不等式 ax2 bx c 0 的解集 .2【难度】【答案】由题意可知： a 0 ，b2(125， c 1a2a所以 b525a0a,c

26、a ，代入所求不等式中：axax22即 2x215x 2 0 ，故 x2.2高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 （ 教师版）22 / 39专业 引领 共成长3、含参数的一元二次不等式(1) 对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：当 a 0 时，不等式为 2x 110, 解集为 x|x 12当 a 0 时 , 解集为x|a 2 a2 42aa 2 a2 42a按 x2 项的系数 a 的符号分类，即 a 0,a 0,a 0;【例 25】解不等式：2ax a2 x 10【难度】【答案：见解析】【解析】解：2a24a a 240解得方程 ax2a2 x 10 两根 xa2a2 4 a 2

27、a2 41, x22a2 2a当 a 0时, 解集为x|xa2a24或xa 2 a2 42a2a例 26】解不等式ax2 5ax6a 0 a 0难度】答案：见解析】解析】解 因为a 0 ，0Q a(x2 5x 6)a x 2x 3 0当a 0时，解集为 x|x 2或x 3 ；当 a 0时，解集为 x |2 x 3例 27】若不等式 a2 1 x2 a 1 x 1 0对于一切实数 x 都成立，求实数 a 的取值范围。 难度】答案：见解析】2解析】解：因为 (a2 1) 的符号不确定，所以分以下三个情况讨论：高三数学暑假课程不等式性质及一元二次不等式 ( 教师版)23 / 39专业 引领 共成长2

28、(1)当a2 1 0(即 a 1)时，得 a 1；2(2) 当a2 10(即 a1)时，不成立；(3)当 a2 10 (即 -1 a1)时， =(a 1)2 4(a2 1)( 1)0 ，对应方程 x 2a (x 3a)0 的两根为2a ；当a 0时，即 2a3a ，x1 2a,x2 3a ，当a0时，即2a0时2(x )(x 2) 0 a当 a=1时， (x 2)2 0， x|x R且x 2当 a 1时：若 a 1 ，2若 0 a1，则2，a则 2 2，ax|x2x|x或x 2a22或x a当 a0 时，x|2 x2 a当 a=0时， x|x 2【例 34】已知关于 x 的不等式 (kx k2 4)(x 4) 0 ，其中 k R.(1)当 k 变化时，试求不等式的解集 A；(2)对于不等式的解集 A，若满足 AI Z B(其中 Z为整数集) . 试探究集合 B能否为有 限集？若能，求出使得集合 B 中元素个数最少的 k 的所有取值，并用列举法表示集合 B ；若不能， 请说明理由 .【难度】 【答案：见解析】【解析】解： (1)当 k 0时， A ( ,4) ；4 当 k 0且