弹性力学作业习题

1、HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY1. DATE: 2001-9-201. 设地震震中距你居住的地方直线距离为 l ，地层的弹性常数 E, 和密度 均为已知。 假 设你在纵波到达 t0 秒后惊醒。问你在横波到达之前还有多少时间跑到安全地区试根据l 200Km ，E 20GPa， 0.3， 2.0 106g/m3，t0 3 s来进行具体估算。2. 假定体积不可压缩，位移u1(x1， x2) 与u2(x1， x2)很小， u3 0 。在一定区域内已知 u122(1 x22) (a bx1 cx12)，其中a，b， c为常数，且 12 0，求u2(x1， x2)。3

2、. 给定位移分量u1 cx1 ( x2 x3)2 ，u2 cx2 (x1x3)2，u3 cx3 ( x1 x2 )2 ，此处 c 为一个很小的常数。求应变分量 ij 及旋转分量 Qij 。4. 证明i 12eijkQjk12 eijk uk, j其中 i 为转动矢量。5. 设位移场为 u a(x1 x3)2e1a(x2 x3)2e2 ax1x2e3 ，其中 a为远小于 1 的常数。确定在 P (0 ， 2， 1) 点的小应变张量分量，转动张量分量和转知矢量分量。1. 证明对坐标变换x2cossinsincosx1 ， x3 x3 ，无论 为何值均有 x26. 试分析以下应变状态能否存在。1)1

3、1k(x12x22)x2，22 kx2 x3 ， 33 0 ，12 2kx1x2x3 ，23 31 02)11k(x12x22)，22 kx2 x ， 33 0 ， 122kx1 x2 ， 2331 03)11ax1a22， 222ax1x2， 33 ax1x2 ， 120 ， 23 ax3bx2 ， 31 ax12 bx22其中 k， a ，b 为远小于 1 的常数。2. DATE:2001-9-172211221122 ，11 2212 11 22 12222213231323 ，ijij2. 利用课堂上给出的各向同性张量表达式， 推导各向同性材料的广义虎克定律。 并写为以 杨氏模量 E

4、和泊松比 来表示的分量表达式。写出在 Voigt 记号下的 6 个 Cauchy 关系等式。3. 证明，对各向同性弹性体，若主应为 1 2 3 ，则相应的主应变 1 2 3 。4. 证明在各向同性弹性体中，应力张量的主方向与应变张量的主方向一致。5. 各向同性弹性体承受单向拉伸 （ 1 0， 2 3 0 ），试确定只产生剪应变的截面 位置，并求该截面上的正应力（取 v 0.3 ）。6. 试推导体积应变余能密度 Wvc 及畸变应变余能密度 Wfc 公式：c112Wvcii jj(ii)2618Kc1112W fcij ijij ij( ii )224G3 ii3. DATE: 2001-9-26

5、1. 下面应力场是否为无体力时弹性体中可能存在的应力场如果是，它们在什么条件下 存在1) xax by，ycxdy， z0，xyfx gy，yzzx0；2) x22 ax ybx，y2cy ， z0， xydxy，yzzx 0 ；3) xay2 b(x2y2)，y ax222 b(y2x2)，zab(x2y2)，xy2abxy，yz zx0。其中 a、b、c、d、f 及 g 均为常数。受有均匀压力 p 。验证2. 设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在除上、下表面之外的全部边界上，p 及 xy 0 能满足平衡微分方程、协调方程及边界条件，因而就是正确的解答。3. 应力函数一般形式ijein

6、k e jml mn , kl和对应的 Beltrami-Michell方程212eink ejmlmn,klmm1 mmmn,mn ,ij 0,ij导出在 Maxwell 应力函数下( 11X1, 22 X 2,33 X3 ，其余为零），书中的，式。考虑由面积不可压缩 11 22 0 的平行叠层组成的层合板，其层界面以X 3轴为法向，写出该层合板的约束应力表达式 .4. DATE: 2001-9-281. 若在域 V内应力场 ij x 与体力 fi x 相平衡， V 的边界 S均为力边界，作用在其上有面 力tiijvj ，vj为 S上的单位外法向量。若 fi，ti 为已知，而 ij为待求，求

7、证问题只有在 fi ， ti 满足下列条件时才有解V fi dVSti dS 0且eijkx j fk dVVxj tk dS S2. 对各向同性弹性体，若体力为零，试证明2 kk 0 X23. 将橡皮方块放在与它同样体积的铁盒内，在上面用t2= sin( x/L)铁盖封闭，在铁盖上面作用均匀压力 p （图 5-6 ）。假设铁盒与铁盖可以视为刚体， 在橡皮与铁之间没有摩擦。 试用位L X1移法求橡皮块中的位移、应变与应力。图 5-6Fig. For Question 44. 图 5-8 所示矩形薄板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压。由叠加原理求板的应务和位移。图 5-85. 一矩形截面构件受

8、沿轴向的简单拉伸及绕 x、 y轴的弯矩作用，如图 5-9 所示。不计体力。六个应力分量为0，yzzxxy试用平衡方程和 B-M方程求 z 的函数形式。并利用端面边界条件A yzdA A zxdAA(x yz y zx)dA 0zdAPx，A y zdA M x ，A x zdA确定积分常数。 （ A为端部横截面面积， x 、 y轴分别为截面的对称轴。截面对x、 y轴的惯性矩分别为 Ix， I y ，设坐标原点处无平移和转动）x6. 在一半平面的边界处，作用有自平衡的面力t1 0,t2sin 。试说明 （ 通过求解 ）该面力引起的应力场在表面以下呈指数衰减，并以及论证在这一问题上圣维南原理适用。

9、5. DATE: 2001-10-21. 课堂上用猜测的方法，并引用唯一性定理，得到了简单拉伸问题的位移场。请利用已得 的应变表达式和六个应变位移关系来严格地导出这一位移场。2. 考虑纯弯曲问题，在不变弯矩作用下柱体的轴线（即材力中所说的挠度曲线应为一段圆 弧）。而根据课堂上的推导， 横向挠度 u1 0,0,x3 ,u2 0, 0, x3 均正比于 x32，即为抛物线。 试解释产生这一不同的原因。考虑由端面反对称自平衡的面力分布而导致的对矩形梁弯曲问题的修正解。 求出制约该修正 解衰减指数的特征方程。6. DATE: 2001-10-9 1半径为 a的圆截面杆两端作用扭矩 M z 。试写出此杆

10、的应力函数，并求出剪应力分量，最 大剪应力及位移分量。2. 用位移法导出圆轴扭转的剪应力和扭角公式。4考虑一个单连通域的横截面，证明在条件3. 若柱体扭转时横截面上应力为 xz G y， yz G x ，证明该柱体截面是圆。on Cin A 和试证明：应力函数 可唯一确定。5考虑一个单连通的横截面， 从中切去一个由应力函数等高线所界定的单连通域。1 新的、双连通的横截面所对应的应力函数仍为 原来的应力函数。2 该环形域的扭转刚度为原问题的扭转刚度与 （挖去的）芯部区的扭转刚度之差。7. DATE: 2001-10-171. （思考题）无穷长板条含半无穷长裂纹，求 z , 3 ,u3 ，裂尖应力

11、强度因子。2. （思考题）试推导这张表中的所有结果，并与 Saint-Venant 假设下的估算结果相比较。形状扭转刚度Mp椭圆33ab22ab正方形40.1406a4半圆0. 29756a 4正三角形ah 330h 3 a( h 23 a)等腰直角三角形40.026091a4b aN1234568101001/3(ab)矩形ab3N ba3. 求裂纹尖端第二项所对应的平面位移 u3和剪应力 31 , 32 。论述该项对于何种边值问 题8. DATE: 2001-10-20考虑无体力的平面问题，此时 Airy 应力函数 满足双调和方程220。1. 证明对两个调和函数 程。0 ), 可构造x2满

12、足调和方和 表达的应力式。x211x2 022x2 0A)2. 利用应力的 Airy 应力函数表达式(无体力) ，构造以3. 考虑一个半平面问题， x2 0 ，且在边界上仅承受正应力，即 12 x 0 0x1 ，证明其所对应的解答可写为4. 由此证明在边界仅受正应力的半平面沿边界必然有5. 你认为上述导致（ A）的证明是否严格有无例外情况9. DATE: 2001-10-311. 书中设在厚壁管外套以绝对刚性的外套， 使管不能发生轴向位移。 厚壁管受均匀内压力 q（图 7-50 ），试求厚壁管中的应力及位移。图 7-502. 图 7-51 所示薄圆环，在 r a 处固定，在 r b 处受均匀分

13、布的剪力 。以位移法及 应力函数法求圆环中的应力和位移。图 7-513. 考虑无穷远处受均匀剪切 xy 的无穷大平面弹性体， 平面内有一半径为 a 的刚性体，它与弹性体理想粘合，即 ur u 0, on r a ，求解该问题的应力场，并确定 沿孔边环向应力的最大值及位置。 若要保持该刚性体既不移 动也不转动，需要在该刚性体施加力或力偶吗10. DATE: 2001-11-11习题1. 图 7-53 所示曲梁 （二分之一圆环） ，其上端周向应力 （ ） 0 的合力为 P ，对坐标原 点 O 的力矩为零。求曲梁的应力。图 7-532. 图 7-54 所示椭圆薄板中心有一小圆孔， 其半径为 a 。板

14、的外边界作用有均匀分布的 法向拉应力 p 。试求应力集中系数。图 7-543. 在距地面深为 h处，挖一直径为 d 的圆形长孔道，孔道与地面平行（图 7-55 ）。岩 石比重为 ，弹性模量为 E ，泊松比为 v 。试求孔边最大应力 （绝对值） 的值及发生的位置。4. 推导以复势 （z）和 （z）表示的最大剪应力 max及主应力 1、 2 的表达式。5. 图 8-19 所示悬臂薄板，厚度为 1，长为 l ，高度为 2h ，无体力作用。设复势为(z)(zi)a8hiz2a2iz8h图 8-19其中 a 为实数。求板所受的边界载荷与所发生的位移。6. 曲杆如图 8-21 所示。在每一端面上受弯矩 M

15、 的作用，杆由半径为 a和 b的圆弧确定， 径向线具有张角 ( 2 ) 。此问题可由形如(z) Azln z Bz， (z) C/z图 8-21 的复势解决，试确定常数 A、B 和 C (A、B、C可以是复常数 ) 。7. 图 8-22 所示圆柱体受内压 p1及外压 p2 作用。试作如下应力函数图 8-22B(z) Az， (z) z 确定其应力和位移分量。 (考虑平面应力情况)8. 思考题 求解下列曲梁11. DATE: 2001-12-211在 Boussnesq 解系中，利用解 E 并取 ，找出其对应的应力和位移场。证明由Rr ztan ( 为锥角)所定义的锥体表面无面力作用。并利用该结果求一个传递扭矩为T 的锥体中的应力场。10-4 用余虚功原理计算图 10-22 中半圆曲梁中