恒定电流的电场和磁场

1、第三章恒定电流的电场和磁场3.1恒定电流的电场（第一部分）3.2磁感应强度 3. 3恒定磁场的基本方程3.4矢量磁位 3. 5磁偶极子3.6磁介质中的场方程 （第二部分）3.7恒定磁场的边界条件 3. 8标量磁位3.9互感和自感3.10磁场能量3.11磁场力丿主要内容恒定电流的电场的基木特性（第一部分）磁感应强度与磁场强度恒定磁场的基本方程 （第二部分）磁介质中的场方程恒定磁场的边界条件自感与互感的计算磁场能量与能量密度丿第一部分11恒定电流的电场基本概念：电流：电荷在电场作用下定向运动形成电流，习惯 上规定正电荷运动的方向为电流的方向。恒定电流：电流不随时间变化而变化恒定电流场：恒定电流的空

2、间存在的电场 1 L 1电流密度一、电流强度（标量）（A）单位时间通过某导线截面的电荷量：=吧；=善 a A/ dti为时间的函数，若电荷流动的速度不变，称恒定电流 即直流电流/=/dtAStD二.电流密度（矢量）（A/m2） 体电流密度 大小：与正电荷运动方向垂直的单位面积上的电 流强度。方向：正电荷运动的如图，设通过的电流为/,该点处的电流密度为7. AZ _ 刃-J = lim n =ndS1.体电流密度Z _ din =ndS与的关系J = limAS TO AS与I的关系/=Jj 亦2.面电流密度若电流仅分布在导体表面的一薄层内，引入面电流密度=与1的关系心卩so A/ dlA/-0

3、 Z3、线电流密度如果电流流过一根非常细的导线时，引入线电流密度Jt =Iii =电流密度动态演示： 312电荷守恒定律与“S的关系J = psv电荷定恒定律：任一封闭系统的电荷总量不变。即任意体积内的电荷增量必定等于流入这个体积的电荷增量。电荷守恒的数学表达式（电流连续性方程的积分形式）电流连续性方程的微分形式+恒定电流场的基本方程之一：积分形式：7=0微分形式：v-J = o表明：无散，即电流密度矢量线是无起点无终点闭合曲线 3丄3欧姆定律的微分形式电流分类：传导电流：指导体中的自由电子或半导体中的自由电 荷在电场作用下作定向运动所形成的电流。如金属中、 电解液中的电流。运流电流：指带电粒

4、子在真空中或气体中运动时形成 的电流。如真空管中的电流。欧姆定律微分形式：j =葩其中o为电导率，单位：西门子/米(S/m) 恒定电场中，仅理想导体(Ofg)内才有：E=O 静电场中，导体内有：E=O注意只适用于传导电流, 电源外部；不适用于运流 欧姆定律积分形式：U = RI 电流.电源常温下(209)常用材料的电导率材料电导率(S/m)铁（99.98%）107黄铜1.46 X107铝3.54 X107金3.10 X107铅4.55X1M铜5.80X107银6.20X107硅1.56X10 3电动势Z2）：?aoo(T设经引线由0点流入半球形电极的电流为则距球心为 /处的地中任一点的电流密度

5、为：I则电场强度为：e = -L-2兀or由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处所以电极在大地中的电压为：u =J “2/rar故得接地电阻为：R = %丄/ Inaa同理，全球接地电阻 = ! 接地电导G=4兀ar 4兀g结论：当流入地面电流一定，电阻越小，电压越小，因1:1此为了使人接近接地电极时更安全，应该减小接地电阻。电阻越小，接地仪器设备的外壳越接近大地的电位减小接地电阻方法：Mg增大半径Q采用大块接地导体采用若干个具有一定粗细，一定长度的导体柱组成的 接地系统采用多根细长导体辐射状散开平铺于地下。增大电导率O在接地电极附近的地质中灌入盐液或其他导电液体。例：如图一半径为l（）c加的

6、半球形接地导体电极，电极平 面与地面重合，已知土壤的导电率为a=10-2S/no求:1）接地电阻；2）若有短路电流1004流入地中，某人正以05皿的步距向接地点前进，前脚距半球中心点的距离为2加，求此人的已知流入地中电流为则在距求心处的电场强度为E 一 2跨步电压UU=匸：Edr = 159.2V损耗功率 / = /2/? = 159x106W 315恒定电流场的基本方程（适应于电源外部）散度方程微分形式：v j = o积分形式：7-=0物理意义：恒定电场无散场，其电流密度矢量线是无起 点无终点闭合曲线。对应电路理论中基尔霍夫电流定律旋度方程微分形式：VxE=0积分形式：血左/=0物理意义：恒

7、定电场是保守场。对应电路理论中的基 尔霍夫电压定律。恒定电流场的基本性质：无散无旋场 315恒定电流场的基本方程（适应于电源外部）由于恒定电场的旋度为零，可以引入电位|E=_w又由于= V= oV E + E = 0在均匀导体内部（电导率劲常数），有yE=v（-W）= -|vS=0|拉普拉斯方程物理意义：在恒定电场中，均匀导体中的电荷体密度为 零，电荷分布在媒质表面。 31. 6恒定电流场的边界条件在两种导体分界面上，导体性质有突变，电场也 会突变边界条件：场分量在界面上的变化规律恒定电流场的边界条件：不同导体分界面两边恒 定电流产生的电场突变所遵循的规律，称为静电 场的边界条件推导恒定电流场

8、边界条件的依据是恒定电流场方 程的积分形式电流密度的法向分量在分界面上构造如图非常薄的柱形闭合面，由血7亦由于力90、 一一b：帥7価=/価+以.亦厂汁 又ZS很小，所以/S上电流密应可看曲常数 0 血7 dS=J2 nS 一A 泌5 = 00 it - (J2 -J1)= O 或 Jg = J“或6叟6婪dndn表明：电流密度的法向分量在边界面两侧连续电场强度的切向分量在分界面上构造如右图狭长回路，由E-df=O VW由于力TO又如很小，所以乙/上电场强 度可看成常数0总 = -Ei-/oA/ + E2/oA/ = 0F 口/（-） = 0 或 wx（2-1）= 0 或 比=瓦表明：电场强度

9、的切向分量在边界面两侧是连续的分界面上电场的方向分析电场强度经过两种电介质界面时，其方向改变情况 n 爪t a AZ/r-0 IE.1、法线方向上：JM = J3二 bE cos =C()s022、切线方向上：E卄=E2( & si nq = E2 si i02特殊情况:tan q _ crt tan Oz a2垂直分界面入射时:Sf0说明：电场强度和电流密度矢量方向在经过分界面两边时方向将发 生改变，改变量与媒质性质有关方向不发生改变，类似光折射当叭巧：即第一种媒质为良导体，第二种媒质为不 良导体时，只要久力r/2,得“2=0，即在不良导体中，电力 线近似垂直于界面，可以将良导体的表面看作等

10、位面 3.1. 7恒定电流场与静电场的比拟恒定电场（电源外）静电场（=o的区域）VxE = OVxE = 0=0VD = 0J=aED = eEE = V(pvV=V2(p = 0Jh= J InEu = E2tE = 21t/=j dTU = EdT/=J j静电场：E、（p、D、q.、C静电比拟法：当某一特定的静电场问题的解已知时, 与其相应的恒定电场的解可以通过对偶量的代换直 接得出。恒定电场：EMIqG漏电电导定义：两个导体之间的漏电流/与它们之间 的电压”的比值为该导体系统的漏电导，用G表示。而 导体与大地之间的漏电阻一般称为接地电阻。说明：漏电导与形状、位置、介质有关，与/和无关。

11、 孤立导体与无穷远处的导体之间存在漏电导。利用静电比拟法，直接由电容得到漏电导常见导体系统的电容平行板：c = 其中S：面积，d：距离。同轴线:C = -nba其中L：长度,;b：内外导体内外半径平行双导线：C = .2DIn其中L：长度，D：导线间距，d：导线直径。同心球：c =业其中a, b：内外球半径。孤立导体:C =g 其中肌 球半径。由静电比拟法可行常见导体系统的漏电导平行板：G =其中S：面积，d：距离。 d同轴线:G = nb a其中L：长度,;b：内外导体内外半径 平行双导线：6=込.2DIn其中L：长度，D：导线间距，d：导线直径。同心球：g二如竺其中a, b：内外球半径。

12、b a孤立导体：G=4/nya其中a：球半径。漏电导的计算方法 从比拟法出发，利用CG和的比拟关系，直接由电容值得到对应的漏电导值。从定义出发，设两导体之间的漏电流求值，得G假定八例31设同轴线的内导体半径为a.外导体内半径儿 其 间媒质的电导率为，求同轴线单位长度的漏电电导。解：漏电电流的方向是沿半径方向从内导体到外导体， 如令沿轴线方向单位长度从内导体流向外导体电流为/, 则媒质内任一点的电流密度和电场为Znrer两导体间的电位差为：U = Edr = In- J “2 兀b aG=$ =2兀b.b Ina漏电电导为:2兀or例32 个同心球电容器的内、外半径为a、b,其间媒 质的电导率为

13、6求该电容器的漏电电导。解：媒质内的漏电电流沿径向从内导体流向外导体， 设流过半径为的任一同心球面的漏电电流为/,则媒 质内任一点的电流密度和电场为漏电电导为：g=兀bubU b作业：教材习题三2 6第二部分恒定电流的磁场 3.2磁感应强度 3.3恒定磁场的基本方程 3.4矢量磁位 3.5磁偶极子3.6磁介质中的场方程 37恒定磁场的边界条件 3.8标量磁位 3.9互感和自感 3.10磁场能量 3.11磁场力主要内容:磁感应强度与磁场强度恒定磁场的基本方程磁介质中的场方程恒定磁场的边界条件自感与互感的计算磁场能量与能量密度基本概念（高中范畴）恒定磁场：磁场不随时间变化而变化（如恒定电流产生的磁

14、场）。磁通量：聲空二面积所通过的磁力线的多少。=BS （Wb）磁感应强度；厌小为穿过单位面积的磁通量。方向为磁力线的切线方向。（Wb/m2）（T）特斯拉（卩）单位太大，工程上常用高斯（G）单位。通电导线所受的力：在磁场中垂直于磁场方向的通 电导线，所受的磁场力（安培力）FBIL （左手定 则）。基本概念（高中范畴）（续）左手定则：伸开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，并且都跟手掌在一个平面内，把手放入磁场中,让磁感线垂直穿入手心，并使伸开的四指指向电流的方向。那么，拇指所指的方向，就是通电导线在 磁场中的受力方向。磁场强度：辅助物理量。在线性各向同性磁介质中,磁场强度的大小为磁场中某点的磁感应

15、强度与同一点的磁导率的比值。方向为磁力线的切线方向。H=B/ (A/m)12磁感应强度一、安培定律：描述电流回路间的相互作用力的大小。 安培定律指出：在真空中载有一$厂dl.电流的回路G对另一载有电 流的回路的作用力为： A 4厉一fX）a-/其中:/画和/庞是和C?回路上的电流元矢量 斤是妬到爲的距离矢量,R =网如为真空中的磁导率 从=4兀0一7日/加二、毕奥一萨伐尔定律：描述回路G在P点产生的磁感应强度将安培定律改写为L可理解为C产生磁场，C2在磁场受力则回路G在P点产生的磁感应强度为:源点：rt C= rf场点：r,(= r则线电流中:(ffx = dr体电流中：单位特斯拉，简称特(巧

16、或(Wb/M) 按习惯“带撇号”表示源点，“不带撇号”表示场点面电流中：此三个公式作用：已知回路的电流分布可求磁感应强度例判断下列各点磁感应强度的方向和大小1、5 点：d = ()3、7点：dB =丛纠4tt R22. 4、6、8 点：d二如尘 sin 45由陥“I皿XIdi、xR4兀R2- “Of IdlxR而 =-4zrJc 卅可得电流元加/在外磁场中所受的力为:dfi = IdT 汉 R已知外磁场B,回路C受到的力为：以速度”运动的点电荷g在外磁场中受到的力为:F =qvxif以速度”运动的点电荷g在外电磁场(艮中受到的力为:F=q(EvxB)洛仑兹力公式例：一根沿2轴放置长度为2/的直

17、导线通过z方向的电流为 人求其在周围产生的磁感应强度。P(qz)解：选择柱坐标系，源点坐标/为（0,0疋），场点坐标为（p , 2亦氓緘 也邑城血Rxdg4zr血譽血i-由于K苛I由于VxAdV =一血月 xdfu血収亦=0 3. 32安培环路定律积分形式血事帀=如/诵根尊线电流或血0血二如多根导线电流或f.B dT = sJ dS分布电流物理意义：磁感应强度沿任意回路姻量聲于寡空磁导 率乘以该回路包围的电流的代数和。汙蠡籐台 注意：用安培环路定律求解磁场分石贈甬手籍議对称分布的磁场的求解 微分形式：VxB = 推导用斯托克斯定理表明：恒定磁场是有旋场，旋涡源为电流3. 3. 2安培环路定律总

18、结：真空中恒定磁场的基本方程 积分形式：护屈*01微分形式：V-=0 VxB = xV表明:厂无散场，磁力线连续，无头无尾且不相交，磁 力线构成闭合回路；厂有旋场，电流是磁场的旋涡源。例：一根沿Z轴放置无限长直导线通过Z方向的电流为人 用安培环路定律求其在周围产生的磁感应强度。解：取圆柱坐标系，由对称性可知，磁感应线是圆心在 轴线上的圆。沿磁感应线取半径为p的积分路径C,依安梧环路定律&1与前面解法相比：用安培环路定律求解 对称分布的电流产生的磁场要简单得多例39半径为a的无限长直导线，载有电流L计算导体 内、外的磁感应强度。解：取圆柱坐标系，z轴与导体中轴线重合。由对称性 可知，磁感应线是圆

19、心在导体中轴线上的圆。沿磁感 应线取半径为的积分路径C,依安描环路定律得e. I/rua1 r a当rWa 时 HlnrOP当 ra 时 Blnr = g例：内、外半径分别为乩方的无限长中空导体圆柱，导 体内沿轴向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为/ 导体磁导率为“。求空间各点的磁感应强度。解：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布，取柱坐标系，依安摘环路定律得在TS区域：血直帀二“Jj亦G B. = 0Earb 区域：dT = j dSC B. 27iT =山（启-賦）r在r区域：耳2时=乂,/（加一兀刊匸严嚳（方2_“2） 作业：教材习题三113.4矢量磁位(磁矢位)一、矢量磁位的引入VB

20、 = OV-(Vx4) = 0恒定磁场的矢量磁位单位：特斯拉米(Tm 或 Wb/m)引入矢量磁位的意义：引入辅助函数，某些场合可简化 电磁问题求解，如通过间接方法求解空间磁场分布。二.库仑规范 要求：磁感应强度与矢量磁位满足一一对应关系 矢量磁位的任意性：矢量磁位不是唯一确定的，它加上 任意一个标量0的梯度后，仍然表示同一个磁场若 = VxA贝IJ对于 Ar = A + V 有：Vx4r = VxA-FfyxV= Vx A =而 V Ar = V A+V V(= V Ar-V A=V V?t() 上式表明：力和才是性质不同的两种矢量场，这意味着 满足p = Vx久的I有很多库仑规范条件：必须引入新的限定条件，对矢量磁位进 行限定，这种新引入的限定条件称为库仑规范。由亥姆霍兹定理可知：矢量场的性质由其散度和旋度确 定，对于矢量磁位，其旋度已确定(等于磁感应强度), 只须对其散度进行限定即可唯一确定。在恒定磁场中一般采用库仑规范条件，即令注意：规范条件是人为引入的限定条件三、矢量磁