解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

1、解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、 参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2 ）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题1 曲线的形状已知 这类问题一般可用待定系数法解决。2曲线的形状未知-求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1） 椭圆有两种定义。第一定义中，1+r2=2a。第二定义中，c=ed1r2=ed2。（2）

2、 双曲线有两种定义。第一定义中， * 2 2a，当12时，注意2的最小值为 c-a:第二定义中，1=ed1,2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与点到准 线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不 要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不

3、解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用点差法”，即设弦的两个端点 A(x i,yi),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo)，将点A、 B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：2 2(1) 务 岭 1(a b0)与直线相交于 A、B，设弦 AB中点为 M(xo,yo),则有a b笃卑k 0。(其中K是直线AB的斜率) a b(2)2 x -2 ab21(a0,b0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo)则有第 -yk0(其中K是

4、直线AB的斜率)a b(3)y2=2px( p0)与直线 I 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为，贝y |AB| . 1 k2 |xA xB|1 k2，若直接用结论，能减少配方、开|a|方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严

5、密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。女口 2x+y ”，令2x+y=b，贝U b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如x2+y2” ,令 Jx2 y2 d，则d表示点P (x, y)到原点的距离；又如 _3 ”，令_ =k，则k x 2 x 2表示点P (x、y)与点A (-2 , 3)这两点连线的斜率6、参数法(1) 点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”)，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如 x轴上一动点P,常设P (t , 0);直线x-2y+1=0上一动点P。除设P (xi,y 1)外

6、，也可直接设 P (2yi-1,y 1)(2) 斜率为参数当直线过某一定点 P(xo,y o)时，常设此直线为 y-yo=k(x-x 0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。(3) 角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件Pl,P2求(或求证)目标Q,方法1是将条件Pi代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件Pi,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八

7、、充分利用曲线系方程法、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点(2)抛物线C: y2=4x上一点QP到点A(3,4 、2 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标分析：(1) A在抛物线外，如图,连 PF，则PHPF，因而易发现,当A、P、F三点共线时，距离和最小。i 1HA/qBPF(2) B在抛物线内，如图，作 QR丄I交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最 小。解:( 1)(2， 2)连PF,当A、P、F三点共线时， AP PH AP PF最小，此时 AF的方程为4 201y (X 1)即 y=2j2(x-1),代入

8、 y2=4x 得 P(2,22),(注：另一交点为(一，42)，3 12它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)1(2) (,1)4过Q作QR丄I交于R,当B、Q、R三点共线时，BQ QF| | BQ QR最小，此时 Q一 1 1点的纵坐标为1，代入y2=4x得x=，二Q( ,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。2 2jyAHT-0F丿xfP为椭圆例2、F是椭圆x y 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点,43上一动点。(1) PA | PF |的最小值为(2) PA 2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线

9、作出来考虑问题。解：(1) 4 - . 5设另一焦点为F，则F (-1,0)连A F ,PFPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 显当P是FA的延长线与椭圆的交点时，PA PF取得最小值为4-J5。1(2)作出右准线 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1 , e=,21 PF ：|PH,即2 PFPH PA 2 PF PA PH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为2aXac例3、动圆M与圆Ci：（x+1）2+y2=36内切,与圆C2：（x-1）2+y2=4外切,求圆心轨迹方程。分析：作图时，要注意相切时的“

10、图形特征”：两个圆心与切点这三点共线图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的解：如图,MCMCMD )。MD，MAC MA MB DB 即6 MA MB 2MA MB 8( *)点M的轨迹为椭圆,2a=8, a=4, c=1 , b2=15 轨迹方程为2x162y15点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出.（x 1）2 y2. （x 1）2 y24，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3例 4、 ABC 中，B（-5,0）,C（5,0）,且 sin C-s in B=si nA,

11、求点 A 的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R （ R为外接圆半径）可转化为边长的关系。解:si nC-si nB=3si nA532Rs in C-2Rsi nB=5-2RsinA AB AC即 AB AC点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）/ 2a=6, 2c=10-a=3,c=5,b=422所求轨迹方程为x1(x3)916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（* ）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴 的最短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(xi,x

12、i2), B(X2, X22),又设AB中点为M(xoyo)用弦长公式及中点公式得出y。关于xo的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2) M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(x 1， xi2)， B(X2, x22)， AB 中点 M(x0，yo)(xi X2)2 (xi2 X；)2 则 Xi X2 2xo22Xi X22 yo由得(Xi_X2)2I+(x i+X2)2=9即(X1+X2)2-4XiX2 I+(X 1+X2)2=9由、得 2xix2=(2xo)2-2yo=4xo2-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) i+(2

13、xo)2=9 4yo 4x：9i 4x：24yo 4xo4x(4x：i)94x( i2 9 i 5, yo 5当4xo2+仁3 即x0子时，(yo)min法二：如图，2MM2aa2 bb2| |af| |bf| |ab| 3yMBAcAir1Bx1IAMBI313MM 2即 MM1-21 42MM15当AB经过焦点F时取得最小值。45 M到x轴的最短距离为 -4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消xi, X2,从而形成yo关于xo的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距

14、离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性， 简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】2 2例6、已知椭圆 乂 1(2 m 5)过其左焦点且斜率为 1的直线与椭圆及准线m m 1从左到右依次交于 A、B、C、D、设f(m)=|ABCD| ,( 1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”A在准线上,B在椭圆上，同样C在椭圆上,D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可

15、得防f (m) (Xb Xa)J2 (Xd Xc)V2|2|(Xb Xa) (XdXc)2 (Xb Xc) (Xa Xd)2 (XbXc)1yC1D，-F1B7 A0卜2X此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。2 2解：(1)椭圆1 中，a2=m , b2=m-1 , c2=1，左焦点 Fi(-1,0)m m 1则 BC:y=x+1，代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=0/ (2m-1)x2+2mx+2m-m 2=0设 B(x1,y1),C(X2,y2),则X1+X 2=-2m2m 1(25)f(m) | AB CD| 血 |(X

16、b Xa)2(X1 X2) (Xa Xc)2x1(XdXc)X22m2m 1(2) f (m)，-2m 1 12m 1、2(112m当 m=5 时，f (m)min10、一 29当 m=2 时，f (m)max4.23y。0，将 yo=xo+1，k=1 代入得Xomm2m 1，可见Xb2m2m 1点评：此题因最终需求Xb Xc，而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设 BC中点为M(x0,y0)，通过将B、C坐标代入作差，得-m当然，解本题的关键在于对 f (m) J AB CD|的认识，通过线段在 x轴的“投影” 发现f (m) xB xC是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的

17、问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1, y1)、B(x2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差， 得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为点差法”。1. 以定点为中点的弦所在直线的方程x2例1、过椭圆162y41内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为 A(x1, y1)、B(x2, y2)

18、M (2,1)为AB的中点x1 x24y1 y22又A、B两点在椭圆上，则2 2 2 2X1 4y116，X2 4y2162 2 2 2两式相减得(人x2 ) 4(y1y2 ) 0于是(X1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y?)0y1y2x-ix241X1X24( y1y2)4 221即 kAB1，故所求直线的方程为 y1扣 2)，即 x 2y 4 0。2例2、已知双曲线x2 y 1，经过点M (1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于 A、B，且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，

19、然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点 M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)则X1X22y1y22222X11，X22 上122两式相减，得1 y.| y2(xi X2)(X! X2)(yi y2)(yi y?) okAB - 22 x-i x2故直线 AB: y 12(x 1)y 12(x 1)由 2 y2消去y，得2x24x 30x122(4)4 2 380这说明直线 AB与双曲线不相交，故被点 M平分的弦不存在，即不存在这样的直线I。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判

20、断点的 M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点 M平分的弦一 般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点 M平分的弦可能不存在。2. 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹221例3、已知椭圆 J 1的一条弦的斜率为 3,它与直线x丄的交点恰为这条弦的中点75 252M，求点M的坐标。1解:设弦端点 P(x1，y1)、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中点 M(x,yo)，则冷 -人 X22x01 ， y1 y2y02 又y12X121，y22X2175257525两式相减得25( y1y2)(y1y2)75(x1X2)(X1X2)0即 2 y0(y1y2)3(X1X2)0y1y23X

21、1X22 y0ky1y2333，即y。1X1X22y02点M的坐标为G，2)。2 222例4、已知椭圆- X 1 ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。7525解：设弦端点P(x1, y1)、Q(X2, y2)，弦 PQ 的中点 M (x, y)，则2 又y12X112y22X2175257525两式相减得25( y1y2）（y1y2)75(x1X2)(X1 X2) 0即 y(y1y2) 3x(X1X2）0，y1即竺-y3xX1X2yky1y233x3，即xy 0xiX2y由 X 駡 得 P（ 5J3 5V3）Q（5V35j3）由丄 m 1，得P（ w,_r）Q（丁，丁）7525点M在椭圆内5/

22、35,3它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 x y 0（x）2 22x例1已知椭圆 y2 1，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.2解 设弦的两个端点分别为 P x1, y-! , Q x2, y2 ， PQ的中点为M x, y2 2则X12y11，（ 1）牛 y221，（2）222 2X1X222X,X2y1y2门12得:-y1y20，y1y2022XX2又xX2y12x, y1y2 2y,y22，x 4y0.X1X2Q弦中点轨迹在已知椭圆内，所求弦中点的轨迹方程为 x 4y 0 （在已知椭圆内）2例2 直线l : ax y a 50 （ a是参数）与抛物线 f ： y x 1的相交弦是AB，则

23、弦AB的中点轨迹方程是解设 A x1, y1、B X2,y2，AB 中点 M x, y，则XX22x.Q l : a x 1y 50，l过定点N 1,5，kABkMNy 5x 122又 y1X11 ，（ 1）y2X21 ，( 2)12 得：yiy2Xix21XjX2X1X2 yiy2kABX1x2XiX22.2x2Q弦中点轨迹在已知抛物线内,所求弦中点的轨迹方程为y 2x27 (在已知抛物线内)3. 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0, .50)的椭圆被直线l : y3x 2截得的弦的中点的一 i横坐标为一，求椭圆的方程。22解：设椭圆的方程为与a，则a2 b2

24、50设弦端点P(x1, y1)、Q(X2, y2)，弦 PQ 的中点 M(Xo,y)，则Xo2 ,y3X0XiX2 2x0 i, yi y2 2yi2 2 又生生 又 2.2a b2 2y2X21ab两式相减得b2(yiy2)(yi y2)a2(XiX2)(XiX2)0即 b2( yy2)a2(XiX2)02%y2a2XiX2b联立解得a275 ,b2252y所求椭圆的方程是-752xi25例3已知 ABC的三个顶点都在抛物线y232x上，其中A 2,8，且 ABC的重心G是抛物线的焦点，求直线 BC的方程.解 由已知抛物线方程得 G 8,0 .设BC的中点为M x0,y0，则A G、M三点共

25、2 2xouuuu_了线，且AG 2GMG分AM所成比为2，于是 128 2yo1 2x 11解得，M 11, 4 .y 4设 B Xl , y1 ,C X2, y2 ，则 y1 y28 .22又 y132x1，（ 1） y232x2，（ 2）2 212 得：y,y232 为 x2 ，kBCy1y232y y2324.BC所在直线方程为y 44 x 11，即 4x y 400.例4已知椭圆2 x2 ab 0的一条准线方程是x1，有一条倾斜角为7的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为C1 11 1 ，求椭圆方程24解设A s、BX2,y2，则%22xy22亍 1，（2）ab222212 得：x

26、1X22y12y2ab,y1y2b221kAB2， aX1X2a222b ， （3）12口X12y1x1,y1y2且 21，（ 1）2ab2y1y2b2 x1X2b2122AX1X2ay1y2a12a又 1，a2 c，（ 4）而 a2c由（3），（4），（5）可得 a2-,b22b2c2，（ 5）221Xy所求椭圆方程为1411244. 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题2 2例6、已知椭圆 1，试确定的m取值范围，使得对于直线 y 4x m，椭圆上总43有不同的两点关于该直线对称。P(x, y)为弦 RP2解：设R(xi，yi)，P2(X2,y2)为椭圆上关于直线 y 4x m的对称两点,的中

27、点，贝V 3xj 4y1，解得 12，3x22 4y22 122 2 2 2两式相减得，3(X1 X2 ) 4( y1y2 ) 0即 3(X1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y2)0禺X22x,y1y22y,y 3x这就是弦P F2中点P轨迹方程。它与直线4xm的交点必须在椭圆内联立yy3x4x，得Xy3m则必须满足即(3m)22.13132 13135.求直线的斜率2X例5已知椭圆一252y9上不同的三点AX1, y1,B94, C x2, y2与焦点5F 4,0的距离成等差数列.(1)求证:x(x28 ； (2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T ,求直线BT的斜率k.(

28、1) 证略.(2) 解QX1 X2 8 , 设线段AC的中点为D 4,y。又A、C在椭圆上,2X12y121, (1)堂2宜 1,(2)2592592 2yy22 得:x-|2x22256.7.yiy2X1x2直线DT9 xix23625 yiy2252y。25y。的斜率kDT确定参数的范围例6若抛物线的取值范围.25 yo36直线DT的方程为25yy0厉6425，即 T 64 ,025， 直线BT的斜率9 0 k -L4 6425C : y2x上存在不同的两点关于直线I : y解当m0时，显然满足.当m 0时，设抛物线C上关于直线l : y m x 33对称，求实数对称的两点分别为Xi,%、

29、Q X2,y2，且PQ的中点为X。， yo ，则2y1X1，2（1）y2X2，（ 2）2y2X1X2，kPQy1 y2XiX2y1 y22 yo又kPQm y。Q 中点 M x0 ,y0在直线l :y m x2Q中点在抛物线y2m yX0，即综上可知，所求实数证明定值问题例7已知AB是椭圆X区域内2m5 肋/且，解得22上,yom x03，于是Xo,10m的取值范围是10. .2X2a占 1 a b 0不垂直于x轴的任意一条弦,bP是AB的中点，O为椭圆的中心求证:直线AB和直线OP的斜率之积是定值.证明 设 Ax1,y., Bx2,y2且x1x2，yi2y12得:y2X1x2又koP上X12

30、X2(1 )刍a2X2a.2b%x22ay1y2y2X1x28.其它。看上去不是中点弦问题,2 y2 b2-2y2(2)b2b2a丄kOPy1 y2XiX22b x1x22a% y22 (定值).a但与之有关，也可应用。例9,过抛物线y2 2px(p 0)上一定点P( xo, yo)( yo 线于 A( X1,Y1)，B( X2,y2).(1) 求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点F的距离；2(2) 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求0 ),作两条直线分别交抛物y1yo里的值，并证明直线 AB的斜率是非零常数.2 2解(1)略:设 A(y1 ,y1),B(y 2 ,y2)，则kAE=y2y

31、j2y1y2y1yo kP半 2y 1yoy1,kpB yo上yo2y22yoy2yo由题意，kAB=-k AC,y1 yoy2yo，则Y1y22 yo则：kAB=2yo为定值。例1。、抛物线方程y2 p(x 1)(p o)，直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1) 求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B，且OA丄OB ,求p关于t的函数f(t)的表达式。(1 )证明：抛物线的准线为1: x 1卫4由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得t 1 ，而4t p 4 04x y t22由 2消去 y得 x (2t p)x (t p) 0y p

32、(x 1)2 2(2t p) 4(t p) p(4t p 4)0故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(X1, y1),点 B(X2, y2)2x1 x2 2t p, x1x2 tQOAOB koAkoB则 x1x2y“2 0又y2(txj(tX2)x1x2.2y*2 t(t 2)pp f(t)丄t4t0得函数f (t)的定义域是(2 , 0)(0, )【同步练习】1、已知:F1,22xyF2是双曲线一22ab1的左、右焦点，过Fi作直线交双曲线左支于点A、B，若 AB ABF2的周长为(A、4aB、4a+mc、4a+2mD、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0

33、的距离小1,贝U P点的轨迹方程是A、y2=_16xB、 y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x且 AB AC ，点3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,的坐标分别为(-1 , 0), (1 , 0)，则顶点A的轨迹方程是()2 x2y12 x2y1(x0)A、B、43432222xC、y1(x0)xD、y_1(x0 且 y0)4343()A、(x 1)22 y9(x1)B、(x$! 2y!x1)C、x2 (y$1)2D、x(yylx1)5、已知双曲线x22 y1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中

34、点的轨迹方程是 7、 已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为 10、设点P是椭圆2x251上的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点，求 sin/ F1PF2的9、 直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线I与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2,1), AB 4丿3 ,求直线I的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线2 x2 a2与 1(a 0,b0)及其

35、渐近线的交点从左到右依次为bA、B、C、D。求证:ABCD1、Caf2二 AF22、C参考答案AF, 2a, BF2 BF,y2=16x，选 C3、D2a ,AB 4a, AF2 BF2 AB 4a 2m,选 C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为/ ABAC2 2，且 AB AC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又 A、B、C三点不共线，即y丰0，故选4、A设中心为得 1(2x1)2(2y)2(x, y),则另一焦点为(2x-1 ,1 224，二(x 卫2y25、35 29 离为ed3 56、x (y22y)，则原点到两焦点距离和为又 ca,. . (x 1

36、)2 y2(x-1)2+y2 -)227、y2=x+2(x2)设 A(xi, yi),B(X2,y2), ab中点M(x , y),则2小2y1 2X1, y2c22x2, y12y22(XiX2),竺X1y2(Y12)2X2 kAB kMPy 0x 2又弦中点在已知抛物线内yx 2P,即 y22x，即 x+222y2，即 y2=x+228、4 ab24,c8, c 2 2，令 x 2、. 2 代入方程得 8-y 2=4 y2=4 , y= 2，弦长为49、2 或1 y=kx+1代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-仁0 (1-k2)x2-2kx-2=00 得 4k2+8(1-k2

37、)=0， k= -i 2 1-k2=0 得 k= 110、解：a2=25, b2=9, c2=16设 F1、F2 为左、右焦点，贝U F1(-4 , 0)F2(4 , 0)、 设 PF1r1 PF2r2 F1 2则 r1 r22r： r/ 2 r! r2 cos(2c)22-得 2门r2(1+cos 0 )=4b2ypF1F2X4b2- 1+cos 0 =2叩22b2 r1+r22, nr2的最大值为a2- 1+cos 0的最小值为2b22，a即 1+cos 01825cos0725，7arccos -25则当2时，sin0取值得最大值1，11将x 代入y=2x2得y ,轨迹22即sin /

38、F1PF2的最大值为1。2 211、设椭圆方程为笃71(a ba b2由题意：C、2C、 c成等差数c列,椭圆方程为2x2bc即a22c2,1，设 A(x 1, a2=2(a2-b2), / a2=2b2yi), B(X2, y2)2X12b2竺2b22b2-得2 2x-ix22b22y1b2尘与k2b bk 0 二 k=1直线AB方程为y-1=x+2即 y=x+3 ,代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0二 3x2+l2x+18-2b2=0,ABX21 3 ； 12212(18 2b2) 24.3x2解得b2=12,椭圆方程为242y12直线l方程为x-

39、y+3=012、证明:设 A(x 1,y1), D(X2, y2), AD中点为M(xo, yo)直线I的斜率为k，则2X12 a2X2 2 a2b22y2b22x0 2y0-得孑总B(xyJ,C(X2, y2), BC中点为 M (x。, yo)，12x则歹12X2a212笃0b212与0b22yJ成立2x由、知M、M均在直线I :2a岸k若I过原点，则B、C重合于原点，命题成立0上，而M、M又在直线l上，若I与x轴垂直，则由对称性知命题若I不过原点且与x轴不垂直，则 M与M 重合CD四、弦长公式法若直线l : y kx b与圆锥曲线相交与 A、B两点，A (x1, y1), B(x2, y

40、2)则弦长 AB , (xi X2)2 (yi y2)2.(X) X2)2 kxi b (kx2b)2Ji k2|x1 x2|AB|=、111 y2特殊的，在如果直线1 k2 i (% x2)2 4x1x2 同理:yil .(y2 yi)2 4丫2力AB经过抛物线的焦点，则|AB|=?般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如2ax bx c 0的方程，方程的两根设为xA， xB，判别式为，则|AB| i k2 |xA xB| i k2 上仝，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过|a|程。例 求直线x y 1 0被椭圆x2 4y2 16

41、所截得的线段 AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例题1 :已知直线y x 1与双曲线2C:x2 壬41交于A、B两点,求AB的弦长解：设y由2XA (X1, yj, B(X2, y2)x 12y_42 2得 4x (x 1)14 0 得 3x22x 5ABX1则有X1X2X2练习1 k2 1 (X1X2)24x1x2x21：已知椭圆方程为一22y23舟相交于A、B两点，求AB的弦长练习2:设抛物线y2 4x截直线y 2x m所得的弦长 AB长为3、5，求m的值分析：联立直线与抛物线的方

42、程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 A( x1, y1), B(x2, y2)y联立方程2X得 6x2 4xX1则X2X1X2AB2 2k (X1X2)4x1x22.(2)214( 2)2 113解：设 A(x1, y1), B(x2, y2)2联立方程：yyX212m4X 得 4x2(4m2x m4)xX1则X1X2AB $1 k2&X例题2:已知抛物线yab分析：a、b两点关于直线 的中点在已知直线上解： A、B关于l : Xx2)24恥2m 43上存在关于直线x y5、.(厂m)20对称相异的两点 A B,求弦长0对称，则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为1且ABo对称ki k

43、AB 1ki 1kAB 1设直线 AB 的方程为 y x b ， A( x-i , y1), B(x2, y2)y x b2联立方程2化简得X2 X b 30yx2 31 1x1 x21AB中点M( , b)在直线x y 0上2 2b 1x2 x 2 0“ X1 x21则12x1 x22AB 1 k2 ,(Xi X2)2 4xiX22( 1)2 8 3 2小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点联立方程 消元韦达定理弦长公式作业：(1)过抛物线y2 4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于A , B两点，且AB 16 求的值3 ,(2)2已知椭圆方程 Xy21及点B(0,22)，过左焦点 F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为椭圆的右焦点，求CDF2的面积。【典型例题】 五、数形结合法b2 4a 6bt o例1:已知P(a,b)是直线x+2y-仁0上任一点，求S= a2分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S= (a 2)2 (b 3)2 设 Q(-2,3),则S=