函数极限存在的条件_第1页
函数极限存在的条件_第2页
函数极限存在的条件_第3页
函数极限存在的条件_第4页
全文预览已结束

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、3 函数极限存在的条件1、 叙述函数极限的归结原则,并用它证明不存在.解:设定义在上,则存在的充要条件是:对任何数列,且,极限都存在且相等.证: 设,(),则显然有,(),()故由归结原则知不存在.2. 设为定义在上的递增函数,证明存在的充要条件是在上有上界.证: 必要性. 由题设存在,记为,即.由局部有界性定理可得,存在,使在上有界,即存在与,对任给,都有 (1) .又由在上递增知:对任给,有(2).由(1)(2)可得,对任一,有.故在上有上界.充分性 设在上有上界,则由确界原理知在上有上确界.设,则对任给正数,存在,又因在上递增,从而当时,有.因此当时, ,故.3. (1)叙述存在的柯西准

2、则;(2)正面陈述极限不存在的概念;并用它证明不存在.解: (1)设在内有定义,则存在的充分必要条件是:对任给的正数,总存在某一正数,使得对任何,都有(2)设为定义在上的函数,若存在正数,对任给正数,总存在、,尽管,，而，则称不存在.以下用此定义证明不存在.取,对任给自然数,取,于是,而.故不存在.4. 设在内有定义,证明:若对任何数列,且,极限都存在,则所有这些极限都相等.证: 对任意两个满足题设条件的数列,设,下证. 考虑数列:,易见,且,则由题设存在,于是作为的两个子列, 与必有相同的极限,因而.由,的任意性知结论成立.5. 设为上的递增函数,证明和都存在,且,证: 仅证的存在性及有关等

3、式.因为上的递增函数,则对,及任给,有.由此可见在上有上确界,记.于是对任给正数,都存在,使.记,则当时,就有,从而由在上递增知.可见, 当时, ,因此存在且同理可证存在且6. 设为狄利克雷函数,证明不存在.证: 由第一章3知取,对任何,由有理数与实数的稠密性可知,在中必有有理数和无理数，即，使得，于是有，从而由柯西准则知不存在.7. 证明:若为周期函数且,则.证: 假设不恒等于0,则存在,使,又因为周期函数,不妨设周期为,记,则 (),由作法知 (1)又因,由归结原则有 (2)(1) 与(2)矛盾,故.8. 证明定理3.9.定理3.9 设函数在点的某个右邻域有定义,则极限的充要条件是对任何以为极限且含于的递减数列有.证: 必要性 设,则对任给正数,存在正数,当时,有.设含于且递减趋于,则对上述正数,存在,当时,便有,于是,当时, 便有,故.充分性 (反证) 假设,则存在某一个正数,不论正数多小.总存在一点尽管,但有.设,则对,存在一点,使且.对,存在使且,.一般地,对取,存在,使得且,.这

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论